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Full text of "Lezioni di calcolo infinitesimale"

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MANUALI HOEPLl 



LEZIONI 

DI 

ALCOLO INFINITESIMALE 

DETTATE DA 

ERNESTO PASCAL 

PROFESSORE NELLA R. UNIYERSITI DI PAYIA. 

PARTE II. 

CALCOLO INTITGRALE 



Cox\ 15 incisioni 




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• 



ULRICO HOEPLT 

EDITORE-LIBBAJO DELLA BEAL CASA 

MILANO 
1895. 

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THE NEW vor- :: ! 

IPUBLICUBH/.- t 

256833 



L 



A4T0II, LENOX ANI 
■^11X>€W FOUNDAT|wN6. 

P 1902 L j 



PROPRIETÀ LETTERARIA. 



AlilanOf Tip, Ueniardoni di C. HcbcscUiui « C, 



INDICE 



CAPITOLO I. 



GLI INTEGRALI DEFINITI E INDEFINITI. 



§ 1. Definizione di integrale definito Pag. 

§ 2. Proprietà elementari degli integrali definiti. 
Formola del valor medio 

§ 3. L'integrale definito considerato come fun- 
zione dei limiti. La funzione integrale . 

§ 4. L'integrale definito in due casi singolari. 

§ 5. Integrali indefiniti 

§ 6. Trasformazione di nn integrale semplice 

§ 7. Derivazione rispetto ad un parametro. In- 
vertibilità dei segni di limite e integrazione; 
invertibilità dei segni di derivazione e in- 
tegrazione 

§ 8. Invertibilità di due segni d'integrazione 



u 



11 



11 



11 



ri 



9 
12 
20 
25 



28 
43 



CAPITOLO II. 

l'integrabilità DELLE FUNZIONI. 

^ L Prima forma delle condizioni ài \Tvt©gx«L\yX\\.\ji. ^^^' ^ 
§ 2. Seconda forma del criterio d* \iit^gTa\iVNÀV*V . ^^ ^^ 



IV Indice. 

§ 3. Funzioni integrabili e non integrabili. Ap- 
plicazione dei criteri dimostrati Pag. 

§ 4. Teoremi sulle funzioni integrabili. Integra- 
zione per serie „ 

CAPITOLO III. 

CALCOLO DEGLI INTEGRALI INDEFINITI E DEFINITI. 

§ 1. Integrali indefiniti fondamentali .... Pag. 

§ 2. Artifizii di integrazione. Integrazione per 

parti. Integrazione per serie , 

§ 3. Integrazione delle funzioni razionali . . . 

§ 4. Integrazione delle funzioni irrazionali. Inte- 
grali binomi!. Integrali ellittici 

§ 5. Integrazione delle funzioni trascendenti 

§ 6. Calcolo di integrali definiti. Integrali Eu- 
leriani 



lì 



11 



r 



!1 



CAPITOLO IV. 

GLI INTEGRALI MULTIPLI. 

§ 1. Definizione di integrale doppio e multiplo. 

Condizioni di integrabilità Pag. 

§ 2. L'integrale multiplo come funzione dei li- 
miti ; sua definizione nei casi singolari . . ,, 

§ 3. Trasformazione degli integrali multipli . . „ 

§ 4. Proprietà degli integrali doppi. Teorema di 

Green 



Indice, 



CAPITOLO V. 

INTEGRAZIONE DEI DIFFERENZULI TOTALI Pag. 160 

CAPITOLO YI. 

GEOMETRIA INTEGRALE. 

1. Area delle curve piane Pag. 167 

§ 2. Arco di curva piana ,,182 

§ 3. Arco di una curva storta „ 194 

§ 4. Area delle superficie „ 202 

§ 5. Superficie di rotazione ,, 207 

§ 6. Zona sferica . ,211 

§ 7. Superficie deirellissoide di rotazione ... „ 212 

§ 8. Yolumi racchiusi da superficie , 213 

§ 9. Volume del solido di rotazione „ 218 

§ 10. Yolume delPellissoide qualunque. Solido ge- 
nerato dalla cicloide ,, 220 

CAPITOLO YIL 

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 

§ 1. Considerazioni e definizioni fondamentali . Pag. 226 
§ 2. Esempio di un problema di geometria la 
cui soluzione conduce ad un' equazione dif- 
ferenziale „ 232 

§ 3. Equazioni differenziali di l.o ordine. Equa- 
zioni in cui si possono separare le variabili „ 233 
§ 4. Equazioni differenziali omogenee .... „ 235 

§ 5; Equazioni lineari di l.o ordine „ 237 

§ 6. Equazioni differenziali di 1.'» oi^m^ wotìtV 

Bolubili rispetto a ^/ ^ "^^"^ 

dx 



VI 



§ 7. Del fattore integrante i 

§ 8. Equazione a derivate parziali a cui soddi- 
sfano i fattori integranti 

§ 9. Integrrali singolari delle equazioni differen- 
ziali ordinarie 

§ 10. Equazioni differenziali lineari omogenee . 

§ 11. Equazioni lineari omogenee con coefficienti 
costanti 

§ 12. Equazioni lineari non omogenee .... 

§ 13. Teoremi sulle equazioni differenziali lineari. 
Formola di Liouville 

§ 14. Sopra certe classi particolari di equazioni 
differenziali lineari 

§ 15. Equazioni lineari di 2.o ordine 

§ 16. Sistemi di equazioni lineari simultanee . . 

§ 17. Equazioni differenziali d'ordine supcriore . 

§ 18. Integrazione per serie 

§ 19. Equazioni a derivate parziali 



CAPITOLO I. 

GLI INTEGRALI DEFINITI E INDEFINITI, 



^)^ 1. Definizione di integrale definito. — Si abbia 
jà funzione f{x) finita in tutto un intervallo da 
ja 6; si divida quest'intervallo in altri n inter- 
parziali che chiameremo \ Sg . . . 8^ ; sia 
il valore della funzione in un punto qualunque 
irintervallo 8^ , o anche il limite superiore o 
Iferiore dei valori di f in K; formiamo il som- 
latorio 

2 fy 8^ 



f 



fcteso a tutti gli intervalli parziali. Tale somma- 
lorio ha un valore finito, e avrà sempre un valore 
finito comunque noi facciamo crescere il numero 

j» degli intervalli, facendo impiccolire ciascuno di 

iessi. 

^ Se il limite di tal sommatorio, quando ciascuno 

[degli intervalli parziali impiccolisce indefinitiva' 
mente mentre il loro numero n tende, alV mtimto ^ 

' éfs/s^^ ed è indipendente dalla maniera còUa qxiole. 

9$ fanno decrescere le ampiezze degli mleYV)aV\i^ <^ 

Pascal, Calcolo integrale, ^ 



«!■ I !■*— ^.^^^i* 




Capitolo L — i? 1, 



Indipendentemente dalla scelta dei valori fr , allora 
esso limite si chiamerà V integrale definito della 
funzione f (a?) da a sino a b. I numeri a e ft si 
chiamano rispettivamente limiti inferiore e supe- 
riore dell'integrale definito, e il tratto da a sino 
a i si chiama cammino dHntegrazione, L'integrale 
definito si rappresenta con una notazione speciale, 
e propriamente col simbolo 

I f{x)dx; 

a 

si premette cioè il segno / (che e una degenera- 
zione del segno della lettera S iniziale della pa- 
rola somma) e poi si scrive la funzione /*(^), di 
cui si vuol calcolare l'integrale, moltiplicata per 
il differenziale doo della variabile indipendente. 

Perchè esista il limite del sommatorie di cui 
si è parlato sopra, è necessario che la funzione f (x) 
soddisfi a certo condizioni che considereremo nei 
paragrafi seguenti; inoltre perchè valga la data 
definizione di integrale definito, è necessario che 
la funzione f{x) non sia mai infinita nell'inter- 
vallo da a a è, e inoltre che tali limiti sieno finiti. 

Occorrerà poi estendere la data definizione an- 
che nei casi in cui o la funzione diventi infinita 
in qualche punto, ovvero uno dei limiti d'inte- 
grazione è l'infinito. 

Riserberemo ad un apposito capitolo lo studio 
dell' integrabilità delle funzioni ; per ora nei para- 
grafi seguenti supporremo che le funzioni di cui 
si tratta sieno sempre integrabili. 



Definizione di inte(/rale (Jefinito. 



Secondo la definizione data calcoliamo V integrale 
da a a 6 della funzione semplicissima {oo — e), cioè 

fa 

j {x — c)dx . 

a 

Dividiamo per semplicità l'intervallo da a a h 
in n parti eguali ; ponendo b — a = A, ciascuno 
degli intervalli parziali Sr sarà 

8 -^* 

Or = - - , 

n 

I punti di divisione degli intervalli saranno ri- 
spettivamente 

h 2h 

Xo = a Xi=a ^ - , x, = a -\ .... 

n ^ n 

In ciascuno di tali intervalli parziali dobbiamo 
scegliere un punto in cui calcolare il valore della 
funzione ; scegliamo tal punto proprio nell'estremo 
di ciascuno intervallo ; il sommatorie fondamentale 
resta dunque costruito cosi: 

^^ che è eguale a : 

h \ . .^n{n- 1) h ] 
ni 2 n\ 

=-(b'-a) {a -c)^-^ -^ - - ^b - ciY . 

2 11 



Capitolo L — § 2. 



l 



Passando al limite per /^ = oo si ha pel valore 
dell'integrale definito: 



cioè 



- e (6 — a). 



Come si vede, il processo del calcolo per questa 
via è certamente complicato dal punto di vista pra- 
tico; per funzioni più complicate il calcolo del li- 
mite potrebbe riuscire praticamente impossibile. In 
seguito però noi mostreremo come, per mezzo di 
una proprietà fondamentale degli integrali delle 
funzioni continue, questi si possono calcolare me- 
diante le note nozioni e formolo di calcolo differen- 
ziale; in ciò i due calcoli, differenziale e integrale, 
si uniscono sostanzialmente fra loro. 

§ 2. Proprietà elementari degli integrali definiti. 
Forinola del valor medio. — In questo paragrafo 
fisseremo alcune proprietà generali che risultano 
senz'altro dalla data definizione di integrale de- 
finito. 

1. Se si invertono i limiti di integrazione il 
valore del nuovo integrale è eguale a quello del- 
Vantico ma col segno cambiato. 

Infatti eseguiamo, secondo la data definizione, 

la integrazione da a sino a &, e poi T integrazione 

in senso inverso da ?> arno aà. a. 1^ er^^^xì^^ ^<ìì 

sm nelVuno che nell'altro ca^o \>^^^\amo l^^Tcsa.^^ 

gli stessi intervalli paTzAaW ò^, ^o\o e\v^ \ -^^q>^V ^ 



Proprietà elementari degli integrali definiti. 5 

questi, nei due casi dovranno considerarsi di segno 
contrario. Onde tutti i termini del sommatorie del 
primo caso riusciranno tutti di segno contrario, 
sebbene del medesimo valore dei termini del som- 
matorie del secondo caso. 

2. E evidente inoltre la formola 

j cf(x)don^cì f{x)(1x 



a u 



essendo e uaa costante. 

3. Se fi/r) = ^, allora l'integrale da a a 6 si 
riduce alla somma di tutti gli intervalli o^, cioò si 
riduce alla lunghezza del cammino d'integrazione 
b — a, 

4. Immaginiamo che ia tutto un intervallo 
da a sino a P una funzione sia integrabile, e sce- 
gliamo in tale intervallo tre punti in un ordine 
qualunque a, 6, e. Si può facilmente dimostrare che 






a 



Infatti immaginiamo che e sia compreso fra i 
due punti a, b. Formiamo l'integrale da a a 6 
giusta la definizione. Essendo a nostro arbitrio la 
scelta degli intervalli B,., noi possiamo fare in ma- 
niera che uno dei punti di divisione sia proprio 
il punto e, e questo resti sempre punto di divi- 
sione in tutti gli stadii del pa8aage\Q ^\ \\\a\^fò^ 
essendo arbitraria la maniera coWa ^xu-aXa ^\ vcc 
tervalli o,. si debbono far teuierc a 7.^^^. 



6 Capitolo I. — ,? 2. 



Cosi facendo è evidente che il somraatorio 

^ fr S, 



'r 



resta scisso in duo parti, una che va da a sino 
a e, l'altra che va da e sino a b ; passando quindi 
al limite resta dimostrato il nostro assunto. 

Se poi il punto e 6 esterno all'intervallo a, i, 
p. es. è a destra di />, allora per ciò che abbiamo 
dimostrato si ha 



r^M' 



a a 



ed essendo 



V 4'b 



possiamo ricavare anche qui: 

\'h re rb 



i=,rri. 



a a 



5. Se f^^^ {Jo) f^'^ (a?) . . . sono funzioni inte- 
grabili^ sarà integrabile la loro somma, e Vinte- 
graie di questa è eguale alla somma degli inte- 
grali delle singole funzioni; in altri termini, il 
segno di integrale fi invertibile col segno di somma. 
Formiamo iafatti il sommatorie 

con cui si viene a costruire, col passaggio al li- 
mite, l'integrale corrispondente alla somma 

/9) f^'^Hx)^f^^-){x) V 



Proprietà elementari degli integrali definiti. 



Evidentemente quel sommatorio è eguale a 
(3) . 2 5,. /•,. (1) -f 2 8,. /•,. (2) + ... 

e avendo supposto che ciascuna delle funzioni date 
è integrabile, e che quindi esistono i limiti di 

ì:8,./;.(i) , ^o,./',.(2),... 



V 



esisterà anche il limite della somma di quest 
espressioni, e quindi possiamo conchiudere la prima 
parte del nostro assunto, cioè che la somma dello 
funzioni in numero finito è una funzione integra- 
bile, luoltre passando al limite nella espressione (3) 
che è eguale alla (1), si vede che ciascuno dei 
termini di (3) diventa l'integrale corrispondente 
ad una delle funzioni f^^^ /'^2) . . . . ^ e quindi resta 
dimostrata anche la seconda parte del nostro as- 
sunto. 

6. Possiamo infine ricavare una formola sul 
valore di un integrale definito. 

Immaginiamo di prendere tutti eguali fra loro 
gli intervalli 8^, e di conservarli sempre eguali fra 
loro in tutti gli stadi del passaggio al limite; in 
altri termini dividiamo tutto l'intervallo h — a 
d'integrazione in un numero sempre maggiore di 
parti eguali. Allora ogni intervallo K è eguale 

a ^, e quindi per la, definizione 



n 



f{a:)dJ^ = \im- ^:^fr 

rt=00 il \ 



8 Capitolo L — /? 2. 



donde 



f 



b 

f{x)(lx it 



a ,.1 

= hm 

O — a n=oo it 

cioè: il rapporto fra il valore delV integrale defi- 
nito e V intervallo d* integrazione^ può considerarsi 
come il limite della media aritmetica dei valori 
che la funzione prende nei singoli punti dell'in- 
tervallo totale. 

Di qui possiamo ricavare un teorema che ci sarà 
utile varie volte. Indichiamo con f o F rispetti- 
vamente il limite inferiore e superiore della fun- 
zione neir intervallo da a a 6. Allora è evidente 
che la espressione 

n 

^fr 
1 



n 

che ò una media aritmetica non può essere minore 
di f né maggiore di F^ e quindi avrà un valore 
compreso fra tali due estremi, valore che possiamo 
indicare con f+^(F — f) dove e un numero 
compreso fra e 1. 
Abbiamo quindi la formola 

''f(_x)dcc = {b-a)[f+HF~n\- 



/' 



Se la funzione f{oc) è una funzione continua, al- 
lora nell'intervallo acquisterà qualunque valore 
compreso fra il massimo e \\ \w\w\mo^ ^ o^wiv 



L'integrale definito funzione dei limiti. 9 

esisterà nelV intervallo un punto in cui la funzione 
avrà il valore [/*^- 0(F— f)\ Chiamando 

a + ^{h-a) 

tale punto dove al solito «5 ò un numero com- 
preso fra e 1 possiamo scrivere l'altra formola 
valevole pel caso in cui f sia funzione continua 



/ 



a 



f{cc)dx = ib-a)f{a-^^{h -a)). 



Questa formola si chiama la formola del valor 
medio, e, come faremo vedere a suo tempo, ha 
una relazione con quella trovata nel calcolo dif- 
ferenziale, e similmente denominata. 

§ 3. L integrale definito considerato come fun- 
zione dei limiti. La funzione integrale. - In un 
integrale definito lasciamo fisso uno dei limiti 
p. es. il limite inferiore a e facciamo variare il 
limite superiore che chiameremo rz?, facendolo però 
variare in modo che nell' intervallo da a ad ^ la 
funzione data sia sempre integrabile. Allora è evi- 
dente che per ogni valore di x^ vi sarà un valore 
unico e determinato per l'integrale definito, il 
quale quindi potrà considerarsi funzione del limite 
superiore oc. 

Ora noi vogliamo dimostrare prima di tutto che 
tale funzione è una funzione continua. 

Facciamo variare il limite superiore ^, di una 
quantità h che poi faremo decrescere sino a zero. 

Formiamo la differenza fra i due integrali de- 
finiti, quello da a sino ad a; + ft, ^ ci^^W^ vk'^ ^\ 



10 'Capitolo L — § 8* 



sino ad x. Si ha: 



f{x)(lx-\ f(x)(hv=\ f{x)d(v, 

a a X 

Per effetto del teorema del valor medio dimo- 
strato al § precedente, noi possiamo scrivere ^ 

^''^'^f{cc)dx=h[f+nF-f)] 

X 

dove /*, F sono rispettivamente, il minimo e il 
massimo valore che la funzione f ha nell' inter- 
vallo da X sino ad ^ 4- h. 

Essendo f{x) una funzione sempre finita, il se- 
condo fattore del secondo membro della formola 
superiore non potrà che essere una quantità finita, 
e, diminuendo A, non potrà che restare sempre 
finito. Quindi il secondo membro della formola 
superiore, avendo per fattore U^ tenderà a zero 
con A, e con ciò resta dimostrata la continuità 
della funzione integrale. 

Passiamo ora alla sua derivabilità. 

Dalla formola superiore si ricava 



r-r 



lim^ -'^ -=\xm\f-vHF-f)l 

Il primo membro non è altro che la formola 
che dà la derivata dell'integralo, quindi tale de- 
rivata esisterà o no, secondochè esisterà o no il 
limite indicato dal secondo membro. 



r- 



tr. 



i-i 
II 

h 

.'I- 

0- 



n- 

ta 

•io 

;o- 
al 




li- 
e- 
ia 



12 Capitolo L ~ § 4, 



e, applicando il teorema della derivazione rispetto 
al limite superiore, si ha 



;l r=-«* 



a 



Nel caso in cui la funzione non è continua nel 
punto a?, allora la derivata dell' integrale avrà un 
valore diverso, e potrà anche non esistere. 

Si vede quindi che per le funzioni continue il 
problema dell'integrazione si riduce al problema 
inverso di quello della derivazione, si riduce cioè 
e trovare un'altra funzione tale che la sua deri- 
vata sia proprio la funzione data. 

E di questo fatto fondamentale che noi ci ser- 
viremo in seguito per trovare le principali formolo 
del calcolo integrale. 

§ 4. L'integrale definito in due casi singolari. — 

Nella definizione che abbiamo data nel § 1 del- 
l'integrale definito, abbiamo dovuto supporre prima, 
che la funzione resti sempre finita in tutto il cam- 
mino d'integrazione, e inoltre che i limiti d'inte- 
grazione sieno ambedue finiti. Ora vogliamo esa- 
minare a parte i due casi singolari in cui queste 
condizioni non sono soddisfatte. 

Supponiamo che la funzione diventi infinita in 
UQ punto, e per fissare le idee, supponiamo che 
diventi infinita proprio nel limite superiore h. 

Allora noi consideriamo una quantità piccolis- 
sima ^, e l'integrale 

Jì}—S 

a 



V integrale definito in due casi singolari. 18 

il quale potrà calcolarsi secondo l'antica defini- 
zione, perchè, per ipotesi, in tutto T intervallo da a 
sino a 6 — s (per quanto piccolo sia e ma diverso 
da zero) la funzione non diventa mai infinita. 

Questo integrale riuscirà una funzione di e, e 
potrà avere un limite determinato per s — 0. Vo- 
lendo dare la definizione di 

f 

a 

noi faremo naturalmente in modo da conservare 
le proprietà più fondamentali della funzione inte- 
grale; p. es. la proprietà della continuità rispetto 
al limite superiore; quindi vien spontanea l'idea 
di assumere come valore di 



f 



a 

il limite dei valori di 

rb-€ 



a 



per e = 0, nel caso che questo limite esista. 

Se poi il punto in cui la funzione diventa infi- 
nita non è un punto estremo dell' intervallo d' in- 
tegrazione, cioè uno dei limiti, ma è un punto 
intermedio, allora, sempre nell'intento di conser- 
vare le proprietà generali degli integrali definiti, 
si può procedere nel seguente modo : sia e il punto 
fra a, b (limiti d'integrazione) in cui la funzione 
diventi ìnfìnita. 



14 Capitolo L — § 4, 

Spezziamo V integrale da a a 6 in due parti nel 
punto e, estendendo così la proprietà nota degli 
integrali ordinarli, ponendo cioè 

'b 



j = fVf 



a a 



e definiamo ciascuno degli integrali del secondo 
membro colla formola già indicata. Per modo che 
infine avremo per definizione 

Jb rc-s rb 

= lim + lim 

f.=o J e'=o J 

a a c-f«' 

supposto naturalmente che i limiti indicati nel se- 
condo membro esistano. 

Se in luogo di un solo punto d'infinito ve ne 
fossero varii non vi sarebbe che applicare ripetu- 
tamente questi stessi concetti. 

E facile trovare la condizione necessaria è suf- 
ficiente per l'esistenza di tali limiti. 

rb - f-. 

Se deve esistere il limite di 1 per e = o, giù- 

a 

sta la teoria generale dei limiti, è necessario ed 
ò sufficiente che dato <y si possa trovare un tratto 
di variabilità di £ in modo che per due £ compresi 
in tale tratto, e^, ^^ sia sempre in valore assoluto 

7v— ^f, fb—t. 



-J 



-- (7 



a a 

cioò 



rb—f., 

J ='• 



Vintegrale definito in due casi singolari. 15 



Un' analoga condizione può stabilirsi per gli altri 
casi. 

Possiamo stabilire un tipo di funzione in cui 
questa condizione è soddisfatta. 

Immaginiamo che la funzione f{x) nel punto h 
diventi infinita ma sia tale che il suo valore asso- 
\ luto sia sempre inferiore o eguale al valore asso- 
. luto di una funzione del tipo 

[X - 6/ 

dove V è positivo minore di 1 e <p {x) sia una fun- 
zione che nel punto h acquista un valore fluito, e 
che in tutto il tratto da a a 6 non diventi infinita 
in alcun punto. 

In particolare la f[x) potrebbe essere proprio 
di quel tipo. 

Sia allora M il limite superiore dei valori asso- 
j luti di «p {x) in tale tratto. Per le ipotesi fatte tal 
numero è finito. 

Si ha dunque in valore assoluto 

•^-* M 

d X. 






{x — by 



a 



Questa disuguaglianza si ottiene ricorrelido di- 
rettamente alla definizione fondamentale di inte- 
grale definito, osservando cioè che, se si ha da 
calcolare l'integrale definito corrÌ8poiiA^\\\.^^^\«NS!^ 



16 Capitolo I, — ,s^ 4. 

funzione che è minore in valore assoluto di un'altra 
per qualunque punto del cammino d'integrazione, 
i diversi termini del sommatorio relativo alla data 
funzione sono rispettivamente minori di quelli re- 
lativi alla seconda, e quindi l'integrale corrispon- 
dente alla prima funzione sarà certamente minore 
di quello relativo alla seconda. 
Ora sarà dimostrato in seguito che (v. Cap. IH, 

§1). 

p-' ^ _ , _ ^ [_i L_ 1 

.1 (r - b)r 1-^ b'-i (a - b/'H • 



a 



Onde si vede che se v — 1 è una quantità minore 

di zero, cioè se >f è minore di 1, allora ^_^ per 

e = tende a zero e quindi quell'integrale tende 
ad una quantità finita. Possiamo dunque conchiu- 
dere: 

Se una funzione integrabile diventa infinita in 
un punto b, e il suo valore assoluto si mantiene 
sempre inferiore o eguale a quello di una funzione 
del tipo: 

9 (a?) 

dove v<l, in cui cioè V ordine delV infinito è mi- 
nore di 1, allora V integrale definito da a sino a b 
è una quantità finita. 

Immaginiamo invece che la funzione diventi in b 
infinita ma il suo valore si mantenga sempre mag- 
<^Jore del valore di una txmiioxi^ ^<è\ ^\^<^ 



U integrale definito in due casi singolari, 17 



dove V 5 1, e 9 {a) sia sempre positiva e non di- 
venti infinita in nessun punto nell'intorno die, e 
non diventi zero in b. In particolare la f(cc) po- 
trebbe essere proprio una funzione di quel tipo. 

Sia m il limite inferiore dei valori di cf (a) nel 
tratto da a a Z>. 

Allora sarà 

J-ft-f rh-6 jp (ce) 



a a 

dx 



a 



Ma, come sopra, quest'ultimo integrale ò 
m_ r 1 _ 1 ■ 

che per v>l e per £ = tende all'infinito, dun- 
que il nostro integrale non tenderà ad alcun limito 
finito. 

Se poi V = 1 allora sarà in* seguito dimostrato 
che quell'integrale ha per valore 

m [log £ — log (a — h)] 

che per e = tende anche all'infinito. 

Quindi possiamo dire: 

Se una funzione diventa in un punto b infinita 
e il suo valore si mantiene maggior e> di quello dv 

im'altra funzione della forma . L A^*^^ "^^^^ 

(^n; — by 

Pascal, Calcolo integrate. '^ 



18 Capitolo L - § 4, 



e ff{x) è sempre positivo^ allora V integrale defi- 
nito da Q, a h non ha un valore finito. 

Passiamo ora al caso ìii cui uno dei limiti è 
riqfinito. 

Tenendo anche qui presente la proprietà fon- 
damentale della funzione integrale, di essere cioè 
una funzione continua dei limiti, abbiamo il mezzo 
di definire l'integrale 



a 



f {X) d X 



supposto che la f (x) sia integrabile in qualunque 
tratto a cominciare da a sino ad un punto qua- 
lunque verso la parte positiva^ o rispettivamente 
la parte negativa^ secondochè si vuol calcolare Vin- 
tegrale da a sino a + cx>, ovvero da a sino a — oo. 

Scegliamo un limite superiore qualunque x e 
calcoliamo l'integrale da a a ^, e poi calcoliamo 
il limite di tale espressione por x=-<x>. 

Se questo limite esiste^ lo chiameremo il valore 
dell'integrale da a ad oo. 

Si ha dunque , 

J X=(X) J ' 

a a 

Anche qui può trovarsi la condizione necessaria 
e sufficiente per l'esistenza di tal limite. Ricor- 
dando la teoria generale dei limiti, ricaviamo che 
perchè quel limite esista è necessario e sufficiente 
che dato t piccolo a piacere si possa trovare un 
punto a tale che per due qualunque punti x' x" 



L'integrale definito in due casi singolari, 19 



compresi fra a e l'oo si abbia sempre in valore 
assoluto 



/■ 



Possiamo dimostrare un teorema che ha molta 
analogia con quello dimostrato sopra pel caso in 
cui la funzione diventi infinita. 

Se la funzione da integrare ditmita zero per 
X = 00^ e propriamente in modo che il suo valore 
assoluto resti sempre minore eguale al valore 
assoluto di una funzione del tipo 



a; 



y 



dove V sia maggiore di U e ^ (x) sia sempre finita 
e per x = oc abbia un valore finito diverso da zero, 
allora V integrale definito da a ad oc avrà un va- 
lore finito. In paHicolare la f (x) potrebbe essere 
proprio una funzione di quel tipo. 

Sia M il limite superiore dei valori assoluti di 
^(a?), e si ha allora 

r f(x)dcu = ìim {''f{x)dx^\im ^^^^dx 

J X Oò J x=oo I X^ 

a a a 

['' M 



^ lini ( 



a 



dx. 



Ma, come abbiamo già detto sopra, 

r^d^=j^_.rj LI 



a 



20 Capitolo L — § 5, 

e, se V > 1 l'espressione del secondo membro tende 
ad un valore finito per j* = cx), dunque resta di- 
mostrato il nostro assunto. 

In simile maniera può dimostrarsi che se f fx) 
si mantiene sempre maggiore od eguale al valore 
ili una funzione del tipo 

dove f (x) è sempre positiva j e v è minore o eguale 
ad 1, anche^ in particolare^ è una funzione di 
questo tipo^ allora V integrale sino ali/ <x> non ha 
mi valore finito. 

Nei paragrafi seguenti sarà fatto vedere, man 
mano che ne capiterà l'occasione, quali cangia- 
menti subiscono i teoremi fondamentali sugli in- 
tegrali definiti nei due casi singolari di cui abbiamo 
qui trattato (v. p. es. il § 7 di questo Gap. I). 

§ 5. Integrali indefiniti. — La definizione che 
abbiamo data di integrale definito suppone essen- 
zialmente la esistenza di due limiti d'integrazione 
determinati e fissi. 

Noi abbiamo visto che pel caso della funzione 
f{x) continua, il problema dell'integrazione si ri- 
duce a trovare una funzione F(w) la cui funzione 
derivata sia proprio quella data. 

Ora di funzioni le quali abbiano per derivata 

/*(.>t), ve ne sono infinite, e tutte, come si sa dal 

calcolo differenziale, differiscono fra loro per una 

costante; in altri termini trovata una di tali fun- 

-^/OT/, se vi aggiungiamo wxva c^yva^wcvcvvsifò ^<à^\ax^ì^^^ 

SI ha ancora una funzione AeVVa ^^^^^^ ^\>^^\^. 



Integrali indefiniti. 21 



Formiamo quindi la espressione generale 
F(x)^ ( /■ (.^) t/ a? + cosi ; 



a 



si ha una funzione generale di ce che si chiama 
V integrale indefinito della funzione data. In questa 
formola per a si intende un determinato valore 
numerico. 

Si chiama indefinito^ volendo contrapporlo al- 
l'integrale definito in cui i limiti sono fissi, mentre 
che in esso, da un certo punto di vista, i limiti 
possono considerarsi come mobili, dipendenti cioè 
dalla variabilità della costante arbitraria. 

Se noi consideriamo l'integrale definito 



X 



f {r) d X 



J 

a 

e mutiamo il limite inferiore a, abbiamo l'inte- 
grale 

"x 



che è eguale a 



Jx rx ra 



a h 



e il secondo integrale non dipende più da a; e 
(luindi è una costsmtQ rispetto aà x. 

Si vede quindi che, mutando \\ WvcvMqì \\^Jivi\V^\^^ 
l movo integrale definito è eguaVe «OCCw^^X^^ ^^^ 



22 Capitolo L — ,s^ ò. 



giuntavi una certa costante il cui valore dipende 
naturalmente dal nuovo limite inferiore scelto. 

L'integrale indefinito è una funzione di a?, non 
dipendente più dal limite inferiore dell'integrale. 

Esso si indica col solo simbolo di integrazione 
senza alcuna designazione di limiti particolari. 

Conosciuta questa funzione, se ne può dedurre 
il valore di qualunque integrale definito. 

Sia F{x) tale funzione, e se ne voglia dedurre 
il valore dell'integrale definito 

f[x)dx 

a 

dove a p sono due numeri fissi. 
La F(po) e della forma 



^^(^) = J'' 



-f e. 

a 

Poniamo ^ ==- P e si ha 



m=\' 



^ e 

a 



e per ^ = a 



F{^) = J' 



-f e 

a 



e sottraendo queste due eguaglianze si ha: 

A9 ra rp 



a a a 



Integrali indefiniti, 23 



e con ciò resta calcolato il nostro integrale de- 
finito. 

Si ha dunque che, dato V integrale indefinito^ 
per calcolare un integrale definito qualunque^ 
basta sostituire nel primo^ in luogo di x, il limite 
superiore^ poi il limite inferiore, e sottrarre i due 
risultati. 

Viceversa, se è dato il valore di un integrale 
definito, non se ne potrà in generale ricavare l'in- 
tegrale indefinito, cioè la funzione di x. Avver- 
tiamo però esplicitamente che quando diciamo 
dato V integrale definito^ intendiamo che di questo 
è dato il valore numerico fra limiti numerici dati ; 
che non sarebbe più naturalmente lo stesso, se 
di esso fosse conosciuto il valore fra limiti inde- 
terminati indicati p. es. colle lettere a, b perchè 
allora quella conosciuta, funzione di a o di è, sa- 
rebbe essa stessa, salvo il nome della variabile, 
l'integrale indefinito. 

Prima di terminare questo paragrafo vogliamo 
mostrare che la relazione fondamentale fra gli in- 
tegrali definiti e indefiniti continua a sussistere 
inalterata anche nei due casi singolari di cui ab- 
biamo trattato nel § 4, cioè o quando la funzione 
sotto il segno integrale diventa infinita in un 
punto del cammino d'integrazione, ovvero quando 
uno dei limiti è l'infinito. 

Infatti la funzione f(x) diventi infinita nel punto e 
compreso fra i limiti a, b dell'integrale definito 



f 



h 

f{x)dx. 



24 Capitolo I. — § 5. 



Per definizione tale integralo sarà eguale a 
lim ( '^' f(x) dx+ lini I f{x)dx 

€=0 J £'=0 J 

a c-\-6' 

e se F(x) ò l'integrale indefinito, il primo dei 
due integrali sarà 

F{c -e)-i^(a) 

e il secondo sarà 

F{h)-F:c+-t') 

Ora la funzione F{x) è una funzione continua 
anche nel punto e, supposto verificate le disugua- 



glianze fondamentali 



/ 



c—e 



(<T piccolo a piacere) 

J <' 

(senza di che non esiste l'integrale definito da a 
a &) ; onde 

lim Fio - e) = lim F{c 4- e') ^ F{c) 

6=0 S'=:0 

e quindi T integrale dato ò eguale a 

F{h)—F{a\ 

con che ai dimostra il uo^tto «i.^^\xTy\,o, 



Trasformazione di un integrale semplice, 25 

Supponiamo ora inoltre che uno dei limiti d'in- 
tegrazione sia l'infinito. Allora per definizione e 
conservando le stesse notazioni: 

J'oo rx' 

f{x) dx ^\\m 1 f{x) d X 
x'z=:oo J 
a a 

= Iim Fix')-F{a)\. 



Ma per la solita continuità della funziono F{x) 
anche nel punto all'infinito si ha 

hm F{v') = Fioo) 

dunque resta dimostrato il nostro assunto. 
§ 6. Trasformazione di un integrale semplice. — 

Si abbia un integrale indefinito (che chiameremo 
semplice per distinguerlo da altri integrali che 
studieremo in seguito e che chiameremo multipli) 

f ix)dx 

dove f{x) sia una ìmiìzìoiìq continua. 

Si sa che la ricerca di tale integrale si riduce 
alla ricerca di una funzione la cui derivata sia 
f (a?), anche, il cui differenziale sia f(x)dx cioè 
la espressione che .figura sotto [il simbolo di in- 
tegrale. 

Vogliamo ora esaminare concia ^\ Ytt>\\». ^^^-^^ 
integrale se noi voglianvo mwtaYoì , e,ow w^^ ^^V^ 
trasformazione, la variabile iV intcgvu^loue -^w. 



26 Capitolo L - § 6. 



Noi faremo vedere che l'integrale si trasfor- 
merà in modo che sotto il simbolo / occorrerà 
porre ciò che risulta dalla trasformazione del- 
V espressione differenziale f(x)dx. 

In effetti si ponga ^ = 9 iy) e sia // la nuova 
variabile indipendente. Il calcolo dell' integrale si 
riduce a quello di una funzione la cui derivata 
rispetto a a: sia /^(ic ; quindi, la derivata sua ri- 

n OC 

spetto a y sarà f (a?) - — . Ora se esprimiamo tutto 

dy 

r integrale colla variabile 1/, abbiamo una funzione 

la cui derivata rispetto ad y deve essere proprio 

(luesta ora scritta; cioè la funzione di integrare 

espressa in y è 

Af(.))g; 



l'integrale quindi è 



\ 



f{^{y))\-/y. 



Nel calcolo degli integrali la trasformazione 
degli integrali può essere assai utile; perchè è 
evidente che tanto piii complicata sarà la ricerca 
di un integrale indefinito per quanto più compli- 
cata è la funzione che comparisce sotto il segno ; 
ora naturalmente potrà accadere che con oppor- 
tuna trasformazione di variabile indipendente, l'in- 
tegrale dato si riduca ad un altro meno compli- 
cato, di un tipo che sia già noto. 

Di questo principio avremo spesso occasione di 
servirci. 



Trasformazione di un integrale semplice. 27 

Si abbia per esempio da calcolare 

dx 



i 



sen X 

Qui la funzione che sta sotto il segno e una 
funzione trascendente. 
Poniamo 

X ^= are cos y 
cioè 



y =^ cos rr 



Allora 



sen X ~\l \ — y^ 
dx 1 



dy v/1 — 2/2 

e quindi l'integrale diventa 

dy 

e si ha così da integrare una funzione algebrica 
razionale^ invece di una funzione trascendente. 

Se ora si tratti di un integrale definito fra i 
limiti tìf, &, il nuovo integrale nella variabile J/, 
bisognerà naturalmente definirlo fra due limiti che 
corrispondono ai due dati. Mediante la relazione 
data 

noi possiamo trovare qual valore di y corrisponde 
al valor a di a;, e qual valore di y ^0Ym^<5>\\&fò ^ 



28 Capitolo L — § 7. 



valore b di ^, Sieno a' b' tali valori di y ; essi do- 
vranno assumersi come nuovi limiti d'integrazione. 
Così nell'esempio dato, se l'integrale rispetto 

ad X bisognava definirlo da ^ = sino a a? = — , 

quello trasformato in y, bisognerà definirlo da 
y -^ 1 sino ad 2/ = perchè è facile verificare che 
si ha proprio una siffatta corrispondenza fra i va- 
lori di ^ e di y. 

§ 7. Derivazione rispetto ad un parametro. In- 
vertibilità dei segni di limite e integrazione; Inver- 
tibilità dei segni di derivazione e integrazione. — 
Cominciamo collo studiare l'integrale definito di 
una funzione che contiene, oltre la variabile d'in- 
tegrazione, anche un'altra variabile y. 

Per maggiore generalità supponiamo che i limiti 
d'integrazione sieno anche funzioni della varia- 
bile 2/, a {y\ b (y). 

La data funzione f(xy) sia continua rispetto 
ad ambo le variabili in nn certo campOj e sieno 
continue le funzioni a(y)b(y). Allora prima di 
tutto si può far vedere che l'integrale definito da 
x==aiy) sino ad x = b y) e anche una funzione 
continua di y. 

Poniamo 

Avvertiamo una volta per sempre che pei teo- 
remi di questo paragrafo e dei paragrafi seguenti, 
noi in generale non daremo che dello condizioni 
sufficienti per la loro sussistenza, ma non necessarie. 



Derivazione rispetto ad un parametro. 29 



Le condizioni puramente necessarie^ se anche pos- 
sono trovarsi, sono quasi sempre di una compli- 
catezza, che quasi inutilizza quei teoremi, per la 
difficoltà delPapplicazione ai casi speciali. Questa 
osservazione capita continuamente in tutto il cal- 
colo infinitesimale, come noi a suo tempo abbiamo 
avvertito (vedi prefazione del calcolo differenziale). 
Allora sarà: 

f{x,tj + k)doC'- 

rHy) rb{y) 

- ) f{x,y)dx--- j \f{x,y*kyf(^x,y)\dx- 

a(y) à(y) 

f«(y-|-A:) my-^h) 

— I f^x,y-\-h)dx-\-\ f[x,y-\'k_dx. 
Ora consideriamo: 

faiy+k) 

I f{x,y^k)dx. 

Essendo a una funzione continua di y si ha che 
la differenza fra a 'y -+- h) e a yj tende a zero col 
tendere di A: a zero. 

Se per un momento indichiamo con F[W^y -\- k] 
l'integrale indefinito, si ha che l'integrale definito 
sarà 

F[a{y + k),y ^ k\ - F[a{y) ,y + k]. 
Ora per la continuità di F e ^^t \w\ \.^55\^\^^^ 



30 Capitolo L — !? 7. 



noto, si ha 

F[a(y + l'),y i k]- F[a{y) ,y + 1:] -= 

-[a{y + k) - a (y)] F' [a{i, -V^h) ,y + k] = 

= [a{y + fc) -a{y)]f[a {y^^h),y^-k] 

e per la continuità delle funzioni f od a (y) pos- 
siamo sempre porre: 

f[a(y^^k),y + k] = f{a,y)i'e 

essendo e una quantità che si può rendere piccola 
a piacere diminuendo opportunamente k, onde 

fix^y * k)dx=^ [a{y * k)'-a{y)][f{a,y) * e], 
«(y) 
Analogamente 



f 



f{x.y*k)dx--=[b{y-k)-b(y)][f{b,y)^e'] 

Hi/) 

indicando semplicemente con a, fi, i valori di queste 
funzioni nel punto y. 
Onde infine: 

cp (y -r k) — <p (2/) = 
= f[f{x,y + k)~f{x,tj)]dx- 



a 



— la(y-i-k —a(]/][f(a,y) + i] + 
+ [b(y + l)-biy)][nb,y) + t']. 

Ora, supponendo la fuuziowe f uw?^ ^xiwiàoyv^ co^v- 
//uua delle due yariabiU oc y , v^t VxsXXV \ ^^^vv 



Derivazione ricetto ad un parametro. 31 

di X compresi fra i limiti d'integrazione, dato un 
numero <r piccolo a piacere, si potrà sempre tro- 
vare un valore di k tale che, per ogni x compreso 
nell'intervallo (V integrazione sia sempre in valore 
assoluto 

f{x,y-^ k) — fixy]<'7. 

Ciò si ricava subito dal teorema di cui abbiamo 
discorso nel § 9, Cap. I del calcolo differenziale, 
cioè che anche per le funzioni di più variabili, la 
continuità semplice è contemporaneamente contì- 
nnità uniforme per tutto il campo. 

Si ha quindi che l'integrale 

I \fix,y i k)-'f{xy)\dx 

a 

è minore in valore assoluto di 



CI 

j <5 dx 

a 



cioè di 



(J 



I dx=^^{b — a) 



a 



la quale quantità può rendersi piccola a piacere 

diminuendo (7. 
Si vede quindi che tutti i termini del secondo 
i membro della formola superiore ai i^o^^owo \^w\^\^ 
\ pìoooli a piacere, e quindi il limita i\\ ^^^o ''^ ^'^^'^ 

ciao la funzione f è continua. 



32 Capitolo L - § 7. 

Si ha dunque: Se la ftmzione integranda è ima 
funzione continua delle due variabili xy, allora 
il segno di limite è invertibile col segno di inte- 
grale. 

In formola 

Cb fb 

lim I f (x y)d x ^ j lim f(x y) d x 



y=y' 7 J tr=y' 

a a 



f(ocy')dx. 



a 



Supponiamo ora che le funzioni a {y) p {y) f(x y, 
oltre che continua, sieno anche derivabili rispetto 
ad y, e che inoltre la derivata fp sia contìnua 
rispetto ad ambedue le variabili. 

Si ha intanto 

f{x,y + k)-f(xy) = krAo^,y + ^/c) 

essendo un numero compreso fra e 1, onde 

a 

\ a(ì/ + k)—a( j/) 

k 
\h{y + k)-h{y) 



-[/■(«, y) + ^] 



Ora per le ipotesi fatte si ha 



1 



essendo e'' una quantità che converge a zero per 
l'-^Oj e inoltre^ per la solita Tag\oxve^ ^\v^\^^^^- 



Derivazione rispetto ad un parametro. 33 

jk 

j4nuità semplice è anche una continuità uniforme 
in tutto il campo, si ha che si può trovare un k 
tale che per qualunque coppia di valori x, y del 
campo^ in quella eguaglianza sia sempre e" < <7 
quantità piccola a piacere. Allora per qualunque 
valore di y compreso nel campo e per qualunque 
compreso fra e 1 sarà sempre in valore assoluto 
r integrale 






a 



differente dall' integrale 

fy {xy)dx 






a 

di una quantità 



ps"dx 



a 

che è minore di 



<y j dx-^(^(Jb — a) 



a 



cioè di una quantità piccola a piacere. 

Ciò significa che il limite per k = dell'inte- 
grale rappresentato dal primo termine della for- 
mola superiore è 

) f'y{xy]dx 
a 
PASOALf Calcolo integrale. ^ 



■'■!•■■. » J 



34 Capitolo I. — § 7. 



e quindi sì ha la forinola (passando al limite ped^ 

k = 0). 

¥(l/) — \ f'yi:^y)dx-f{a,y)a' {y) 



a 



indicando con 'f ', a', V le derivate delle funzioni 

?, «, S- 
Se in particolare a, i non sono funzioni di y, 

ma costanti, allora la formola si riduce .semplice- 
mente a 

a a 

Come si vede dunque, nel caso in cui la fan' 
zione f soddisfi alle condizioni dette y cioè che 
essa e la sica derivata rispetto a y, sieno funzioni 
continue rispetto ad ambedue le variabili x, y, sus- 
siste il teorema della invertibilità dei due segni 
di derivazione e di integrazione. 

Questo teorema si chiama il teorema della de- 
rivazione sotto il segno. 

Dalla formola superiore possiamo subito ricavare 
le già note formole di derivazione di un integrale 
definito rispetto ai limiti (v. § 3). 

Infatti basta supporre che f non contenga v/, e 
che delle due funzioni a (y), b (g) una sia costante, 
e l'altra sia la variabile stessa y. 

Si può notare che il teorema della invertibilità 
di cui si è parlato sussiste ancora semprechè la 



\ Derivazione rispetto ad un parametro. 35 

|?funzione rappresentata dall'integrale definito 

F{xy)= j f{xv)dx 



a 



è mia tal funzione di x y che per essa sussiste il 
teorema della invertibilità delle due derivazioni 
rispetto ad X e y. 
Infatti si ha 

3'^ F ?ì^ F d 

dx ^^ ^^ ' dvd^' du'^ ^^ 



a^ F & 



dxd u d^d 



f{xy)dx. 

u - 



a 



Per r ipotesi fatta si ha intanto 

d'F ^ JJ F 
dydx dxd?/ 



• * 



Cloe 



Ó (^ 

■^A^y) = ^-Z^, f(xy)dx 

!J xd y j 



a 



e integrando rispetto ad >' si ha 

j v y J 



a a 



la quale forinola dimostra il nostro assunto. 

Dobbiamo ora passare a considerare il teorema 
della derivazione sotto il segno, ìì^\ ^^^\^\\ì^^^^^ 



36 Capitolo L - § 7. 



in cui uno dei limiti d'integrazione hVinfinL^ 
ovvero la funzione integranda è infinita in quala^|^ 
punto. 

In tali casi le condizioni poste non bastano I>5^^ 
e noi potremo aggiungerne delle altre, espresse e^z?-^ 
che sotto una forma semplice, e che sono suffi- 
cienti per la validità del teorema. 

Supponiamo prima che uno dei limiti d'inte- 
grazione sia V infinito^ che cioè si abbia da deri- 
vare l'integrale 



j 



a 



CX) 

f[xy)dx. 



Noi abbiamo visto che in generale perchè un 
integrale definito sia funzione continua di un pa- 
rametro y contenuto nelF integrando, basta che la 
funzione integranda sia una funzione continua di 
ambedue le variabili x , y. Ora una tal condizione 
non basta più se uno dei limiti è l'infinito. 

Per convincersi di questo basta ricorrere ad un 
esempio. 

Si può trovare che 



J X ^" 2 





°°sen2/a; , 1 

dX=^ -TC 



per ogni valore finito di //; ma per y --- eviden- 
temente essendo zero l'integrando, per qualunque a;, 
anche per x=:<x) tutto l'integrale sarà zero, e 
quindi quell'integrale definito non resta una fun- 

zione continua di j/, sebbene la funzione ^— 

X 

sia una funzione continua ài aTcJoo \^ ^a\\a5«^. 



Derivazione rispetto ad un parametro, 37 

Questo esempio basta per intendere che nel caso 
in esame occorrono altre condizioni. 

Noi dimostreremo che nel caso in cui la fun- 
zione da integrare oltre che continua è tale che 
per 'K = <xt diventa zero algebricamente di ordine 
maggiore di 1, allora si consenta la continuità 
dell'integrale definito considerato come funzione 
del parametro j anche quando uno dei limiti è V in- 
finito, e se poi lo stesso si verifica anche per la 
derivata di quella funzione rispetto al parametro y, 
allora si conserva il teorema della derivazione 
sotto il segno. 

Infatti nel caso in cui la funzione f{^y) per 
x = oc diventa zero algebricamente di ordine maji^- 
giore di 1, sappiamo (v. § 4) che l'integrale de- 
finito sino all'oc ha un valore finito, e quindi che 
potrà sempre trovarsi un numero a tale che, scelti 
due qualunque numeri x' x'' fra a' e <» si abbia 
sempre che l'integrale definito da:?;' f\.x" sia mi- 
nore di ff, ovvero anche, scegliendo in particolare 
x' = a' : 

f (oc y)dx<^ 



a' 



e quindi analogamente anche 

rx" 



1 

a' 



donde 

f [f(x,tj-\-k)-f{xy)\dcc<2^ 



a' 



38 Capitolo I. — § 7. 



e quindi anche il limite di questo integrale per 
.r" - oo sarà minoro di 2 <r. 
Ora 

f~[/'0'^,2/ + /.-)-/'('?')]rf.r = 

(l 

)' a' j'c» rn' ( x" 

a a' (t a 

latanto per effetto della continuità della fun- 
zione f(xy) si potrà sempre trovare un valore 
di k tale che per o^ni k^ minore di esso e per 
qualunque x sia sempre in valore assoluto 

\f{x,y^-k,)-f{xy)\<\f(:V,y + k)--f{xy)\ 

e allora fissato un tale k si potrà trovare il punto a 
per il quale sussiste la disuguaglianza 

rx" 
lim < 2 (7 

x"-=co J 
a' 

fissato cosi a' , si potrà poi diminuire il k in 
maniera che sia anche 



J 



a 



a' 



e ciò per effetto della dimostrata continuità del- 
l'integrale definito fra limiti finiti. 

Si vedo dunque che si potrà sempre, sotto lo 
ipotesi fatte, rendere piccola, a. piacete eoi dimi- 



Derivazione rispetto ad uìì jxtra metro, B9 

nuire fc la quantità 

\^[f('^.y'^l')''f{'ry)](ìx 



a 



con che si dimostra la continuità rispetto u<l y 
(leir integrale. 

Supponiamo ora che anche fj/ sia zero di or- 
dine maggiore di 1 per x — <x>. 

Allora per effetto della dimostrazione ora fatta 
ricaviamo che 



I 



a 



'^[f'A^,y+^k)-ry{Ty)],1x 



converge a zero col diminuire di ^r; ma intanto 

a a 

onde la differenza 

» • 

a a 

per k^^Q converge a zero, cioè 

''^f{^,y + k)-f{xy) 



lim f 

k=o J 



doc^ 

a 



che è la derivata dell' integrale rispetto a ?/, è 
proprio eguale all'integrale della derivata; con 
ciò resta dimostrato il teorema della detWaTÀc^w^ 
sotào l'I segno anche ;iel caso in cui uwo ìVcv\vkv\Na 
? rinfìnito. 



40 Capitolo I. — § 7. 

Passiamo ora all'altro caso singolare in cui la 
funzione sotto il segno diventa infinita in un punto; 
per fissare le idee supporremo che diventi infinita 
nel limite superiore. 

Dimostreremo il teorema: 

Se le funzioni {{^^y) e f (xy) diventano in un 
punto X {qualunque sia il valore di j compreso 
ìlei campo] infinite algebricamente di ordine mi- 
nore di \^ e se inoltre sono continue rispetto ad 
ambo le variabili j allora sussiste ancora il teorema 
della derivazione sotto il segno. 

Infatti se & è il punto d'infinito, nelle ipotesi 
fatte i due integrali 

I f{,ocy)dx , ( f'y(x,y + ^k)dx 
J J 

a a 

sono finiti per un qualunque y compreso nel campo, 
giusta un teorema del § 4. 

Quindi per i risultati dello stesso citato para- 
grafo l'integrale 

b 

fy{^yy^-^k)dx 






h-E 



si potrà rendere piccolo a piacere, opportunamente 
dimiauendo s. Quindi anche il suo limite per A; = 
potrà rendersi piccolo a piacere. 
Intanto 

dyJ A-=o J h 



a a 



4- lira, l f\Uc^M^^k)dx 

k=o3 



Derivazione rispetto ad un parametro. 41 



(applicando alla seconda parte il noto teorema del 
valor medio); e inoltre evidentemente, per effetto 
del teorema generale di derivazione sotto il segno, 
si ha che 

k=0 J k 

a 



-i 



h-8 

f'y {ocy)dx 



a 



perchè fra i limiti a, 6 — £ non esiste alcun punto 
in cui la funzione diventa infinita. 

Si può dunque fissare £ in modo che la diffe- 
renza fra 

d i'^ 

~r,-\ f{^y)dcc 
ó y J 

a 



e 



i' 



f'p{xy)dx 



a 



sia minore di una quantità piccola a piacere ; per 
2=0 si ha dunque l'eguaglianza della derivata 
dell'integrale coli' integrale della derivata. 

Prima di terminare questo paragrafo vogliamo 
notare che il teorema della derivazione sotto il 
segno può servire alcune volte utilmente per la 
ricerca di certi integrali definiti ricavaudoU d^ 
altri gìh noti. 



42 Capitolo L — § 7. 

Cosi p. es. si sappia che 

r~ dx ^ 

,1 ?/- — ./ - 4 // 

o 

Applicando la derivazione rispetto ad y si ha 
evidentemente l'altra formola 



(50 



dx 



(^2 _|_ ,^2^2 4 ^J2 



o 



e da questa riapplicando la derivazione rispetto 
ad ,v si potrebbero ottenere altre formole. 

Inoltro c'ò anche un'altro modo con cui appli- 
care il teorema della derivazione sotto il segno, 
per ricavarne il calcolo di integrali definiti. 

Si vogh'a p. es. calcolare 

j X" log xdx. 

o 

Si può osservare che ■'^^ log co è la derivata ri- 
spetto ad a di x/^; quindi possiamo scrivere 

j x''\ogx di)o = ì I r « j ^Z :V 

o ò 

per il teorema della derivazione sotto il segno, 
possiamo invertire il segno di derivazione col segno 
di integrale e scrivere che quell'integrale è uguale a 

d n , 

-r- l X" a X 

o 



Derivazione rispetto ad un parametro. 43 

ed evidentemente abbiamo cosi ottenuto una rile- 
vante semplificazione, perchè è naturalmente assai 
più facile il calcolo dell'integrale della funzione ^'' 
che quello della funzione x« log x. Ed in effetti 
possiamo subito osservare che essendo .r'^ una fun- 
zione continua, il calcolo dell'integrale corrispon- 
dente si riduce al calcolo di una funzione la cui 
derivata sia .'r«, e d'altra parte tale funzione ò 
semplicemente 

et -T- 1 



la cui derivata ò proprio ^^. 
Abbiamo quindi 

J U+i 



1_ 1 



o 



quindi 

fi , , rf 1 1 

X" log xdx = - -— .^ 

..' f/aa -h 1 (a + 1)- 



§ 8. Invertibilità di due segni d'integrazione. — 

Nel § precedente abbiamo supposto che la fun- 
zione sotto il segno d'integrale contenga un pa- 
rametro 2/, e abbiamo studiata la derivazione del- 
l' integrale rispetto ad y. Ora consideriamo invece 
l'integrazione rispetto ad y dell'integrale dato. 
Posto, come nel § 7, 

*(//)=! f{'^y)dx 



44 Capitolo L — ,? 8. 



consideriamo 














r 

e 


? (//) d !/ 


cho è 


eguale 


a 












dy 


fh 

f{xy)dx. 



a 



Una tale espressione si chiama un integrale 
doppio; noi in seguito avremo occasione di dedi- 
care agli integrali multipli un capitolo speciale. 

Per ora vogliamo solo rispondere alla domanda: 

Si può invertire l'ordine delle due integrazioni? 

Questo problema è l'analogo di quello già trat- 
tato nel calcolo differenziale suU' invertibilità delle 
derivazioni. 

Si può far vedere che se i limiti a, b sono co- 
stanti, cioè non dipendenti da y, e sono natural- 
mente anche costanti i limiti e, d, e se la funzione 
f(xy) è una funzione continua delle due varia- 
bili in tutto il campo che si estende, per x da a 
a h, e per j da g a d^ allora si può invertire 
Vordine delle integrazioni. 

E facile infatti far vedere che le derivate delle 
due espressioni 

Cd rb 

^ = I rf ?/ I dxf{nc y) 

e a 



fh fd 

7i= j d.T \ dyf{xy) 



a 



Invertibilità di due seyni d^inteyrazlone. 45 



considerate come funzioni delle quattro quantità 
a, 6, e, d, sono fra loro tutte eguali; donde si con- 
chiuderà che le due espressioni A B nou possono 
che differire per una costante che poi sarà facile 
dimostrare eguale a zero, 

Facciamo p. es. le derivate rispetto ad a. 

Neir integrale A^ la quantità a ò uu parametro 
che compare nella funzione che ò sotto il primo 
integrale che ò quello da e a n?; e tale funzione 
che ò poi 



j dvf{xy) 



a 



è una funzione continua di a e di y in virtù delle 
ipotesi fatte e dei teoremi noti; e inoltre la deri- 
vata di questa funzione rispetto ad a cioè —i(ay) 
(v. § 3) è anche una funzione continua delle due 
variabili a, y. 

In virtù quindi dei teoremi del § precedente 
noi possiamo operare la derivazione sotto il segno 
e otteniamo quindi 



dA 

d 



^ = (' d.v- - j dxf{a:y) 
a j dei J 



a 



^ - \ dyfiay) 



e 



Deriviamo invece B rispetto ad a. 
Essendo a il limite inferiore del primo \w\,^^^«^fò 



46 Capitolo L — § 8. 

che compare in B si ha 
dB r /</ 



d 



= - d!/f[^!/)\ 

(' L .' J.C a 



d 



= - I duf{ ay) 



cioè si ha lo stesso risultato di prima. 

Nella stessa maniera si possono riconóscere 
uguali le derivate rispetto a tutte quattro le va- 
riabili a, S, e, d. 

Le due espressioni A^ B non possono dunque 
differire fra loro che per una costante C, cioè per 
una quantità che non dipende da nessuna delle 
quattro variabili a, i, e, d. Ponendo allora a = J, 
tale quantità costante C non può che conservare 
il medesimo valore; ma in tal caso sia A che B 
diventano zero, dunque è zero anche la loro dif- 
ferenza, cioè possiamo scrivere C = 0, e quindi 
A - 5. 

Il teorema dimostrato si suol chiamare il teo* 
rema della integrazione sotto il segno^ 

Resta ora ad esaminare i soliti due casi singo- 
lari di cui abbiamo trattato nel § 4. 

Esaminiamo se sussiste ancora il teorema del- 
l'integrazione sotto il segno, se uno dei limiti è 
l'infinito, lo sono ambedue. 

Supponiamo che si verifichi la relazione. 

y\i ri ri) Cd 



Invertibilità di due segni d/ìntegrazioìic, 47 



qualunque sieno i limiti è, d finiti, ma grandi a 
piacere. Facciamo tendere uno di essi all'infinito, 
p. es. è, e supponiamo naturalmente che esistano 
limiti determinati dei due membri per h — cx>. Al- 
lora il secondo membro diventa senz'altro per le 
definizioni del § 4. 

'oo rd 



rd 
da) ^ dyf{Xy) 



a e 



mentre il primo membro lo indicheremo con 

rd fb 
lini I dy \ dxfixy). 



b'zzoo 

e a 



Questa ultima espressione non può farsi eguale a 

rd fb fd foo 

I dylìm I dxf{ooy)= dy I divf{xy) 



a e a 



almenochè non si possa mostrare che il segno di 
limite rispetto al parametro h ò invertibile col 
segno di 

^d 



; 



Ora pei teoremi del § precedente tale inverti- 
bilità sussiste senz'altro condizioni, perchè sap- 

[ piamo che essendo finiti i limiti e, d, per tale 
invertibilità, cioè per la continuità dell'integrale 
considerato come funzione di J, basta che la fnn- 

\ zione racchiusa sotto il segno ài ta\^ VcA^^^^^^ 



f 



48 Ctqntolo L — ,s^ 8. 

cioè che 

I dxf{xìj) 

a 

sia funzione continua di 6 e //, il che 
mente si verifica. 

Ricaviamo quindi che se uno solo de 
limiti è r^o, allora il teorema della inU 
sotto il segno sussiste^ senza aggiungere ( 
dizioni sulla natura della funzione dai 
naturalmente quelle che si riferiscono al 
bilità sino al limite oo. 

Ma non è più lo stesso se due dei lii 
infiniti, cioè se si fanno convergere a 
sia b che d. 

Ed infatti nella relazione 

I dj/ I dxf(xy)= I dx j dijt 

e a a e 

se vogliamo passare al limite per d — ^. 
membro diventa esattamente 



Too Te» 

j dy \ dxfi-cy) 



a 



ma il secondo diventa 



dx I duf[xìj) 

a e 



Invertibilità di due segni d'integrazione, 49 
che non è eguale a 

/oo rd foo roo 

do? limi dyf(xy) = l dx j dyf{xy) 



a e a 



almenochè non si verifichino altre condizioni. 
Sappiamo infatti dal paragrafo precedente che 

perchè un integrale I di una funzione di d e x 

a 

sìa funzione continua del parametro d, non basta 
più che la funzione sotto il segno sia funzione 
continua delle due variabili rf, x. 

Abbiamo trovata una condizione sufficiente por 
questo caso, ma tale condizione adattata al caso 
nostro non ci si presenterebbe sotto una forma 
facile. 

Possiamo invece tener conto di quest'altra con- 
dizione anche solo sufficiente, che cioè sussiste la 
invertibilità se la funzione f (xy) si conserva sem- 
pre minore in valore assoluto del valore di 

dove 9 (x) sia una funzione integrabile in un qua- 
lunque intervallo sino alV<^. 
Infatti in tal caso avendosi 

Joo re» roo ri 

dx I dyfixy):^ j dx | dyf{noy) + 

ne a e 



-^ 



/oo /"oo 

dx dyf{xy) 



a 

pASOALf Calcolo f'niegraìe, ^ 



50 Capitole I. — §: 8. 



e potendosi sempre scegliere b tale che il secor 
termine del secondo membro diventi piccolo a p 
cere, (perchè tal termine è minore in valore as 
luto di 

1 1 r~ 

a 

che tende a zero per b = cx>), si ricava che il lira 
del primo termine del secondo membro per b = 
è eguale al primo membro. 

Passiamo ora al caso in cui la funzione dive 
infinita in un punto p. es. x^=b. 
Allora nell'eguaglianza 

Jd rb-e fb-e fd 

dy ì dxf(xy)= l dx ì dy f {x 

e a a e 

passando al limite per e -- si ha 

rd Cb-e rb Cd 

lim dy \ dxf[xy)^ dx dyf{or 

e a a e 

e nel primo membro, come già sappiamo dal § p 
cedente, il segno di limite non è invertibile 
segno di integrale, almenochè la funzione f{x 
oltre la continuità, non soddisfi ancora ad al 
condizioni. 

Possiamo trovare una condizione sufficiente so 
la seguente forma: 

Sussiste V invertibilità delle due integrazii 
anche nel caso in cui fa fmxzimie diventi infin 



Invertibilità di due segni dUntegr azione, 51 



in un punto x == b, se la funzione oltre alla so- 
lita condizione della continuità^ si conservi poi 
nel suo valore assohito minore di una espressione 
della forma 

'^"^ (v<l) 



{X - h) '' 

dove <p (y) sia sempre finita. 

La dimostrazione anche qui può procedere come 
quella di sopra osservando che 

J^d ri) rd rh-8 ni rh 
J =J J \) J 

e a e a r h—e 

e che nelle supposte ipotesi il secondo termine 
del secondo membro tende a zero coli' impiccolire 
di £. 



Prima di terminare questo paragrafo vogliamo 
notare che si potrebbe passare allo studio degli 
integrali doppi, non nel caso in cui i limiti sono 
costanti, ma nel caso più generale in cui i limiti 
della prima integrazione (quella rispetto ad x) sono 
funzioni della variabile y. 

Con ciò si farebbe la ricerca più generale ana- 
loga a quella fatta a proposito della derivazione 
sotto il segno. 

Ma di ciò tratteremo nell'apposito capitolo sugli 
integrali multipli. 

Vogliamo poi ancora notare un esempio in cui 
non si può invertire l' ordine deWe àxi^ \\v\,^^\^TAs>ràv. 



52 Capitolo L — § 8, 



Tale esempio è 



•1 (y2 , ^2) 






Facendo V integrazione prima rispetto ad x e poi 
rispetto ad ?/ si ha per risultato -+- v i o si ha in- 

vece — — eseguendo le integrazioni nell'altro or- 
dine. Si può osservare che la funzione data è di- 
scontinua nel punto (^ = 0, y -= 0). 



CAPITOLO IL 

l' INTEaRABlLITÀ DELLE FUNZIONI. 



§ L Prima forma delle condizioni di integrabilità. 
— Finora noi abbiamo supposto che le funzioni 
(li cui ci siamo occupati nei vari teoremi dei pa- 
ragrafi precedenti erano tutte integrabili. 

Ora ci si presenta naturalmente il problema : A 
quali condizioni deve soddisfare una funzione per- 
chè sia integrabile fra limiti dati? cioè perchè, 
formato il sommatorie indicato nel capitolo pre- 
cedente con 

questo abbia un limite determinato e finito? 

Cominciamo coU'osservare che, per ciò che ab- 
biamo già detto nella definizione fondamentale di 
integrale definito, tale limite deve essere indipen- 
dente: 

1.® Dal modo col quale gli intervalli òy si fanno 
tendere a zero. 

2.® Dalla scelta dei valori fr in ogni inter- 
vallo 5,. . 

Ora supponiamo di fissare che ogni volta i^ei! 
valore di fr bì debba scegliere W mammo ^ '^ 



54 Capitolo IL — § L 



limite superiore Ly dei valori che la funzione f(x) 
ha in tutto l'intervallo o,. compresi gli estremi; 
allora il limite del sommatorie corrispondente 

sarà il valore dell'integrale definito; e se invece 
scegliamo ogni volta per valore fr , il minimo o 
il limite inferiore Ir dei valori di f in S^ , il li- 
mite dell'altro sommatorie 

- Ir Or 

sarà anche il valore dell'integrale. Per modo che 
la differenza dei due limiti cioè il limite della dif- 
ferenza 

lim - Or [ Lr — Ir] 

dovrà essere zero. 

Chiamando oscillazione della funzione nell'in- 
tervallo òr la differenza (Lr — Ir ), e indicandola 
con Dr , si ha che 

lim - ò,. 7>r = 

Dalla data definizione di integralo ci appare dun- 
qne come condizione necessaria per la esistenza 
del limite del sommatorio^ che sia zero il limite 
della somma dei jjrodotti degli intervalli parziali 
per le oscillazioni che la funzione f fa in essi 
intervalli. 

Dimostreremo ora che tale condizione è anche 
una condizione sufficiente. 

Facciamo vedere che se 

lim - ^r Dr = 



Prima forma delle condizioni di integrabilità, 55 

allora esiste il lìmite 

lim 2: fr òy 

ed ha un valore indipendente dalla scelta degli 
fr e dalla legge colla quale i ^r convergono a 
zero. 

Supponiamo in effetti che si considerino due 
diverse divisioni dell'intervallo totale ; gli intervalli 
parziali della prima divisione sieno indicati con 
§1 . . . Sr . . . e quelli della seconda con S'^ . . . o'g . . . 

Queste due divisioni sieno fra loro indipendenti. 

Consideriamo come punti di una terza divisione 
dell'intervallo quelli che stabiliscono la prima in- 
sieme a quelli che stabiliscono la seconda, e gli 
intervalli di questa terza divisione chiamiamoli p ; 
per modo che ogni S e ogni S' sarà la somma di 
un numero intero di intervalli parziali p. 

Sia 

e quindi 

fr ^r = fr P7/+1 + • . • + /"r ^h-^t 

e chiamando 

fh+l , fh+2 . . . fh-\-t 

dei valori della funzione f negli intervalli p;* + i . . . 
ph + t, possiamo scrivere identicamente 

fr Or = (A+1 P^+1 + . . • + fh-\-t pji+t) +• 
+ Ufr - fh+l) 9h-\-l + ... + (/»•— A-hO Ph+tl 

Ora le differenze 

fr — A-fl , , , .fr — f H-Vt 



1 

56 Capitolo IL - § 1. ■ 

sono differenze fra due valori di f nell'intervallo 
Sr , giacche ognuno degli intervalli pn + i .. .ph+t 
è sempre una parte dell'intervallo 3,. ; quindi quelle 
differenze saranno certamente minori o al massimo 
eguali al valore della oscillazione in Sr cioè a 
quella quantità che abbiamo chiamata Dr . 
Ponendo dunque 

possiamo dire che in valore assoluto 

03 :^ [Dr P/j-hl + Dr p/t+S + . . . 4" l>r p/*+ J 

cioè 

w ^ Dr ^r. 

Formando quindi il sommatorie facendo variare 
l'indice r, abbiamo 

2 /V 0,. = 2 /7j p^ 4- 2 0) 

dove abbiamo indicato con ^ fh ph il sommatorie 
analogo, in quanto al modo di formazione, a quello 
del primo membro ma formato cogli intervalli p. 
La espressione ^ «o soddisfa alla disuguaglianza 

^ ti) ^ ^ òy Dr 

e quindi, per le ipotesi fatte, converge a zero. 

Se ora rifacciamo le stesse considerazioni, ma 
partendo dagli intervalli o'^ anziché dagli inter- 
valli 0,. , otterremo la formola 

2 fs ù's = ^ fh p7* 4- ^ w' 

dove ^ oJ convergo anctve a -L^to. 



Prima forma delle condizioni di integrabilità» 57 



Sottraendo si ha dunque 

^ fr ^r — 2 /s 5's = ^ w — *^ to' zz=. Q 

dove ii è evidentemente una quantità che converge 
a zero. 

Supponiamo ora che la seconda divisione, quella 
cioè che dà luogo agli intervalli o', non sia pro- 
priamente indipendente dalla prima divisione, ma 
rappresenti uno stadio successivo alla prima di- 
visione; in altri termini che nel far tendere a zero 
gli intervalli parziali, in un precedente stadio, 
questi sono rappresentati dai S, e in un seguente 
stadio, sono invece rappresentati dai S'. 

Allora r ultima formola trovata ci dice che la 
differenza fra i valori della espressione 2 fr ^r in 
due stadi successivi si può rendere piccola a j)ia- 
cere; questa, come sappiamo, ò condizione neces- 
saria e sufficiente per conchiudere che quella espres- 
sione converge ad un limite determinato e finito. 
Resta con ciò dimostrato il nostro assunto. 

Si può ora far vedere che questo limite è indi- 
pendente : 

1) Dalla legge colla quale si e stabilita la 
divisione in intervalli parziali e si fanno tendere 
questi a zero; 

2) Dalla scelta dei valori fr . 

Ed infatti dall'ultima formola ottenuta, supposto 
che gli intervalli 5 e o' sieno fra loro assoluta- 
mente indipendenti, si ricava che 

lini [2 fr òr — - fs ò'^] = 

e quindi se esiste il limite del primo termme \^<^^^ 



5S CAipìtolo ri - !? 1. 

possiamo scrivere 

lim ^ fr o> — lim ^ fs ^' 8 ■= 

donde concludiamo che esisterà anche il limite del 
secondo termine e sarà lo stesso del primo. Se poi 
inoltre stabiliamo un'altra legj^e per la scelta dei 
valori fr e formiamo ^8,. /^;. lO e supponiamo che 
esiste il limite - e,- fr , possiamo subito dimostrare 
che esiste anche il limite della prima espressione 
e che è lo stesso dell'altro. Perchè evidentemente 

1 Or fr - 2 a,. ^.(1) z= V 8,. [fr - /;.(!)] , 

ed essendo {fr — fr ^^0 1^ differenza fra due valori 
di f nell'intervallo S,. , sarà minore o eguale al- 
l'oscillazione l)r , e quindi 

:£ Ir fr — 2 K fr^^^ ^ ^ K Dr 

cioò il primo membro, per le ipotesi fatte, con- 
verge a zero, e quindi, esistendo il limite di una 
(il quelle espressioni^ esisterà^ e sarà lo stesso^ an- 
che il limite delV altra, 

§ 2. Seconda forma del criterio d'integrabilità. — 
11 criterio d' integrabilità trovato nel paragrafo 
precedente ci si presenta sotto una forma che nel- 
1' applicazione pratica potrebbe riuscire diflScile ; 
cercheremo perciò di trasformare quel criterio in 
un altro che sia di più facile applicazione. 

Se 

lim - òr Dr ----- 

vuol dire che possiamo Tendete - ^r Dr TcÀwote 
dj qualunque quantità assegnabile ^ ', eìofe ^om^\!Ckft 



Seconda forma del criterio d'integrabilità. 59 

trovare uno stadio di impiccolimento degli inter- 
valli S, tale che per esso e per tutti i successivi 
stadia sia sempre 

2: Ir Dr < ^ 

Sia allora t la somma di tutti gli intervalli par- 
ziali nei quali 1' oscillazione sia maggiore di un 
certo numero fissato <?'. 

Sarà evidentemente 

T (7' :^ i 8,. Dr < <^ 

donde 

(7 

Lasciando dunque fisso cr', facendo diminuire 
ff, diminuirà il valore di t, cioè il limite di t, per 
un qualunque <?' fisso, è zero. 

Resta dunque trovata come condizione necessaria 
per V integrabilità che la somma degli intervalli 
parziali nei quali V oscillazione della funzione si 
può rendere maggiore di una certa qualunque 
quantità assegnata^ deve tendere a zero. In for- 
mala : lim T = 0. 

Ed è facile dimostrare che questa è anche una 
condizione sufficiente. 

Perchè chiamando D la massima delle oscilla- 
zioni di f nei vari intervalli la cui somma è t, 
e osservando che in tutti gli altri intervalli Toscil- 
lazìone è minore eguale a cr', abbiamo eviden- 
temente la disuguaglianza 



60 Capitolo IL — § 2, ■■ 



:. 



indicando con T tutto l' intervallo d' integrazione 
e quindi con T — t la somma di tutti gli inter- 1 
valli che non compongono la somma t. Da questa 1 
relazione si vede che, se t può rendersi piccola a ^ 
piacere, cioè se lim t = o, poiché ^' è arbitrario 
e quindi può farsi piccolo a piacere, anche il primo 
membro potrà farsi piccolo per quanto si vuole, 
cioè converge a zero. 

Possiamo dunque conchiudere che le due con- 
dizioni espresse dalle due formolo 

lim 2 Or Dr = 
lim T :^ 

sono fra loro perfettamente equivalenti. 

§ 3. Funzioni integrabili e non integrabili. Ap- 
plicazione dei criteri dimostrati. — Applicando i 
teoremi dimostrati nei due paragrafi precedenti, 
possiamo trovare delle classi di funzioni integra- 
bili. E prima di tutto è facile vedere che ogni 
funzione contìnua è integrabile. 

Basta infatti ricordare i teoremi dimostrati nel 
Cap. I, § 8 del calcolo differenziale sulle funzioni 
continue. Ivi abbiamo fatto vedere che ogni fun- 
zione continua ò anche uniformemente continiuij 
e di qui ne abbiamo dedotto che data una fun- 
zione continua in tutto un intervallo si può divi- 
dere tale intervallo in altri intervalli parziali tali 
che in ognuno di questi V oscillazione sia minore 
di una quantità «r' piccola a piacere. Tenendo dunque 
presente il criterio del paragrafo precedente, pos- 
siamo dire che per le funzioni continue il numero 
^ può rendersi sempre zeto^ pex c\\3Ltwcv\,o v^^wJ.' 
sia ^' dato, e quindi le t'un7Àom Goxvlmwa ^qwì l 



Funzioni integrabili e non integrabili, 61 

Sono anche integrabili le funzioni finite discon- 
tinue aventi un nnmero finito di pìinti di dis- 
continuità in ciascuno dei quali la funzione 
abbia naturalmente un salto finito. Queste fun- 
zioni si sogliono chiamare funzioni generalmente 
cofifinue. liicordiamo a questo proposito che per 
una funzione discontinua in un punto a si chiama 
salto della funzione in a la differenza del valore 
della funzione in a, e del limite dei valori della 
funzione avvicinandosi al punto «, supposto che 
tale limite esista. Che se poi questo limite è in- 
determinato allora per salto della funzione in a 
può intendersi la diiBFerenza fra i due valori estremi 
dentro i quali oscilla il valore della funzione col- 
l'avvicinarsi ad a. Se. come abbiamo supposto, la 
funzione è sempre finita, allora naturalmente il 
salto della funzione è sempre finito. 

Per dimostrare ora il teorema enunciato, indi- 
chiamo con «1 ao . . . an gli n punti di discontinuità 
della funzione, e circondiamoli con n intervalli 
piccoli a piacere. Se d è il massimo di tutti questi 
intervalli, la somma di tutti essi è minore di nd. 
In tutto il rimanente tratto dell'intervallo totale 
di integrazione la funzione è continua, e quindi 
si può fare la divisione in intervalli parziali tali 
che l'oscillazione in essi sia sempre minore di una 
qualunque quantità fissata <j'. Gli intervalli in cui 
dunque l'oscillazione della funzione potrà essere 
maggiore di o' sono solo quelli attorno ai punti 
di discontinuità; ma la somma di essi è minore di 
n rf, e può perciò rendersi piccola a nostro piacere 
perchè n è finito, e d è arbitrario •., c\u.md\ ^wr)sìRì 
nel nostro caso il numero t: i^ub T«vÀet«v ^\^^Ova 
a piacere, cioè ha per limite xeto. 



■■.=r 



62 Capitolo IL - § 3. 



Esistono poi anche altre classi di funzior 
scontinue integrabili, e per trovarle occorrerà 
trarci in qualche considerazione sulle varie s 
di discontinuità delle funzioni. 

I punti di discontinuità di una funzione poi 
formare un gruppo infinito di punti (v. Gap. 
Calcolo differenziale). Ora un gruppo infini 
punti può essere di due specie; può cioè acci 
che si possano racchiudere tutti i punti del gì 
in intervalli la cui somma si possa rendere m 
di qualunque quantità assegnabile; ovvero q 
non possa farsi. Nel primo caso il gruppo di 
niti punti si suol chiamare un gruppo discre 
punti, e nel secondo caso un gruppo linea 
punti. Questa denominazione di gruppo li, 
vuol ricordare il fatto che per tutti i punti < 
tratto di linea effettivamente non si verifica q 
proprietà. 

Un esempio di un gruppo discreto di pui 
un qualunque gruppo avente un numero fini 
punti-limiti (v. Gap. I, § 1 del Calcolo dlffer 
Perchè circondando allora tali punti limiti 
intervalli piccoli a piacere, al di fuori di q 
resteranno solo dei punti del gruppo ma in nu 
finito, e ciascuno di questi perciò potrà ci 
darsi con intervalli la cui somma sia anche 
cola a piacere. 

Ciò premesso diciamo ancora che una fun 
discontinua si chiamerà una punteggiata di 
tinua, se i punti di discontinuità formano un gr 
discreto; e si dirà invece una funzione discom 
lineare se quei punti formano un gruppo lir 

Possiamo allora subito dedwtve il teoreti 



Funzioni integrabili e non integrahili, 63 

Riemann: Una funzione punteggiata discontinua 
è integrabile. 

La dimostrazione può procedere esattamente 
come quella fatta sopra per il caso in cui è finito 
il numero dei punti di discontinuità, giacche anche 
per la punteggiata discontinua si verifica la pro- 
prietà fondamentale che ci è servita per quel caso, 
che cioè tutti i punti di discontinuità possono rac- 
chiudersi in intervalli la cui somma può rendersi 
piccola a piacere. 

Un esempio di una funzione punteggiata discon- 
tinua può esser dato da una funzione cosi definita. 
Abbia f{x) il valore 1 in tutti i punti del gruppo 

Ili 1 

' 2 ' 3 ' 4 ' • • * n^ * • * 

e il valore zero in tutti gli altri punti del tratto 
da ad 1. Una tal funzione è integrabile in tale 
intervallo. Applicando la definizione di integrale 
definito, è facile trovare che il valore dell'inte- 
grale di una tal funzione ò zero. Perchè infatti 
facciamo la divisione di tutto il tratto da ad 1 
in intervalli parziali, e di questi distinguiamone 
due specie, cioè quelli attorno i punti di disconti- 
nuità, e quelli che non comprendono quei punti. 
Quella parte del sommatorie 

corrispondente a questi secondi intervalli ò evi- 
dentemente zero, perchè f{x) è sempre zero in 
qualunque punto di essi ; e la parte del sommatQ\\Q^ 
GOTTÌsponàente invece ai primi \T\letN^\ ^^\vy. '^^xtv- 



64 Capitolo IL — § 3. 



pre un valore minore o eguale al prodotto della 
somma di tutti gli intervalli, per 1 che è il valore 
della funzione nei punti di discontinuità. 

Ma la somma di tutti i primi intervalli può 
impicciolirsi a piacere, dunque il limite del som- 
matorio non può essere che zero. 

§ 4. Teoremi sulle funzioni integrabili. Integra- 
zione per serie. — Una domanda che ci viene 
spontanea sulle funzioni integrabili è la seguente: 
Componendo fra loro, con segni di operazioni ana- 
litiche, più funzioni integrabili in numero finito o 
infinito, si ha una funzione integrabile? 

In quanto alla somma di due funzioni integra- 
hili^ è evidente che essa è anche una funzione in- 
tegrabile e a questo risultato si può giungere di- 
rettamente colla definizione di integrale definito, 
anche senza ricorrere ai teoremi di integrabilità 
sviluppati in questo capitolo; ed è perciò che noi 
nel capitolo precedente abbiamo potuto già ser- 
virci di questo teorema. Ed infatti se si suppon- 
gono cp (x), '\> (x) funzioni integrabili e quindi che 
i due sommatorii 

hanno limiti determinati e finiti, avrà anche lìmite 
determinato e finito la somma di tali due somma- 
torii; e tenendo cura di scegliere i valori di ©r , 
•i'r sempre nei medesimi punti, la somma di essi 
nel limite sarà precisamente l'integrale della somma 
delle due funzioni. 
Un poco pia difficile è invece (V\mo«\.T%x% V^W**^ 
toorema : 



Teoremi sulle funzioni integrabili, 65 



Il prodotto di due funzioni integrabili è anche 
Pia funzione integrabile. 

Infatti cominciamo coir esaminare roscillazione 
el prodotto 9 (x) J' (a?) neirintervallo 3r . 

Supponiamo per un momento che i valori di 
, i sieno sempre positivi per tutto il cammino di 
itegrazione. 

Indichiamo con Mrp^ mtp i limiti, superiore e in- 
ìriore, dei valori di 9 in o^. , e così analogamente 
on Mtp^myj quelli di 'i', e con M<pip^m<pt!> quelli 
3lativi al prodotto cp^. 

Allora le differenze 

M(p — m(p 

Myj — mxì) 

Mtpxfj — mqìW 

3no le oscillazioni di 9, ]/, 9 •}, rispettivamente in 
• . Essendo intanto positive tutte le quantità 3/, 
I, possiamo senz'altro scrivere le disuguaglianze 

Mcpxp ^ M(p M,p 
niipxfj ^ m</) niìij 

onde 

I(pu> — Mfpxfj ^ M(p Mìfj — m(p niì/j 

^ M(p (Mìfj — myj) -H myj [M<p — mcp) 

indicando con D^'')^ 1/^, D^^\^ 2)^^^o le oscilla- 
ioni delle tre funzioni 9 •]/, 9, 4^, abbiamo 

Dipip^"-) ^ Mcp Dipo') + mip D<p^''\ 

se in luogo di m*/ poniamo M^p rinforziamo la 
iisuguaglianza e quindi possiamo scrivere 

Pascal, Caieolo integrale. ^ 



H6 



Capitolo II, — § 4: 



\i 



Questa disuguaglianza vale per un qualunqitt; 
intervallo O/- ; se dunque si indicano con MW; 
i limiti superiori dei valori di cp, ^l in tutto ^inte^.|cE 
vallo d' integrazione, e se sostituiamo in queUt» 
formola, M^ M' in luogo di M(f^M\p evidentemente i 
((uella disuguaglianza si rinforza ancora, perchè - 
Jtf, M' non possono essere minori di M<p^Mìi> ri- 
spettivamente. Abbiamo dunque 

e di qui si ha 

Supposto ora le due funzioni date integrabili, 
tenderanno a zero le sommatorie 

2 8,. D^(r) 

per effetto del teorema dimostrato nel § 1, e quindi, 
in forza della relazione di sopra, tenderà a zero 
anche 

2 8,. IX^yp') 

e quindi il prodotto v •{; ò integrabile. 

Abbiamo fatta (juosta dimostrazione facendo la 
i|)otesi che le due funzioni cp, •} sieno sempre po- 
sitive per qualunque punto dell'intervallo d'inte- 
grazione. Ma ò chiaro che dimostrata la cosa per • 
quel caso resta dimostrato anche in generale, per- 
chè noi possiamo sempre aggiungere alle due fun- 
zioni 9, 1' due costanti (\ C tali che le somme 



Teoremi sulle funzioni integrabili. 67 

bbiano sempre valore positivo; basterà perciò 
rendere C, C maggiori dei valori assoluti dei 
miti inferiori delle due funzioni cp, ]/ in tutto Tin- 
ìrvallo dato. 
Allora il prodotto 

er le dimostrazioni fatte, è integrabile, e quindi 
irà integrabile anche il prodotto ? •}, che è e- 
uale a 

{^ + C){^ + C') — C^—C^^-CC' 

oè che si compone mediante la somma di fun- 
oni integrabili. 

Vogliamo ora supporre che il numero delle oj)e- 
Lzioni non sia più finito^ ma infinito, cioè p. es., 
16 si tratti di una somma di infiniti termini ognuno 
3Ì quali rappresenti una funzione integrabile, 
ntriamo così nel cosiddetto problema delY inte- 
'azione per serie. Questo problema è analogo a 
lello trattato nel volume primo e riferentesi alla 
srivazione per serie (v. voi. I, Gap. II, § 2). 

Immaginiamo data una serie convergente, i cui 
jrmini sieno funzioni integrabili di x in un in- 
Tvallo da a a, b. Noi ci domandiamo: 

In quali casi una tal serie rappresenterà una 
unzione integrabile di .r, e quando potrà farsi 
integrazione di tutta la serie facendo la somma 
3gli integrali dei singoli termini? 

Al solito noi non vogliamo le condizioni lìura- 
'ente ìiecessarie perchè questo accada '.^ ci b^.'&t^^k 
)]o trovare una condizione sufficiente ^q\»\»<^ >axi»* 



68 Capitolo IL - § 4. 

forma facile, di uso frequente e di facile appli- 
cazione. 

Noi dimostreremo il teorema: 

Se la serie data è una serie convergente in ugual 
grado ^ e se tutti i snoi termini sono funzioni in- 
tegrabili^ allora la serie rappresenta una fun- 
zione integrabile e l^ integrazione si fa facendo 
la serie degli integrali dei singoli termini. 

Sia infatti 

f K^) = ^i (^) + ^2 (^J + . . . 

oo 

1 

Indichiamo con Rn(x) il resto di questa serie; 
si ha allora 

f{oo) = 'l' un (x) + Rn i-Jc) 

hz=\ 

e per le ipotesi fatte sulla convergenza in ugual 
grado della serie^ la (luantità Bn (x) può rendersi 
minore di o per (qualunque punto x. 

Dimostriamo prima che f{x) ò integrabile sup- 
posto che sieno integrabili i diversi termini u {x). 

Indichiamo con 

IM^) D;.(2) . . . 

je oscillazioni dei termini 

Ui (x) U2 («^0 • • • 

nell'intervallo parziale ^^r , che è al solito uno degli 

intervaìlì in cui si è diviso V intervallo totale di 

mte(^rei,^ion^^ mentre po\ m^\e\àsos\Q ^wi \>^*^ 



Teoremi sulte funzioni integrabili, 69 

D,.(^) le oscillazìoDi di f e R nello stesso inter- 
vallo ^r\ 

Allora è evidente che il valore del limite su- 
periore neir intervallo o,. della funzione f che è 
la somma di %%..,!? non può superare la somma 
dei limiti superiori dì tutte queste funzioni; se 
queste p. es., hanno i loro valori massimi tutte nel 
medesimo punto a?, allora e allora solo il mas- 
simo di f corrisponde alla somma dei massimi; 
ma in generale, non avverandosi questa specialità, 
il massimo di f sarà minore della somma dei mas- 
simi; e così anche il minimo di f sarà maggiore 
della somma dei minimi. Onde abbiamo, indicando 
con M{f),m(f)^ MO)^ m^^\ . . . W^\ m^^\ rispettiva- 
mente i massimi e i minimi di f^ u^, , . , È : 

Min , ^ M (1) 4- Jtf (2) -h . . . + M(«) 

w fn ^ m(i) -4- W2(2) f _.+,^(/^), 

donde sottraendo si ha 

Dr(f) ^ DA^^ + A'(2) + . . . + 7),.(^>. 

Se ora per qualunque x è in valore assoluto 

Rn i'V) < a 

è evidente che l'oscillazione di R non può supe- 
rare la quantità 2(t^ q quindi 

e osservando che 2 o,. = /; —a cioè ò eguale a 
tutto l'intervallo d'integrazione, che tuU,^ \^ ^q.\sv- 
matorie del secondo membro convev^owci ^ ^et^ 



70 Capitolo IL - § 4. 



perchè abbiamo supposto che i termini Wj {x)^ 
fi2 (ir) . • . sono funzioni integrabili, e che <y può 
rendersi piccolo a piacere, si ricava che anche il 
soramatorio del primo membro può rendersi pic- 
colo per quanto si vuole, e (luindi che la funzione 
f è^ integrahile, 

E facile ora dimostrare infine che il suo integrale 
è la somma degli integrali dei singoli termini. 

Ed infatti formiamo 

J6 ri) fb 

f[x) (1 x = \ Ui (oc) d .^' + I ?i2 (^)dx-]- ,..+ 



a a a 

+ 

a 



ì Rn (or) d oc 



dove nel secondo membro possiamo, appunto come 
abbiam fatto, distribuire il segno d'integrale a 
ciascun termine perchè il secondo membro è la 
somma di un numero finito di termini. 
Se noi dimostriamo che 



/ 



a 



h 

Rn {oc) d X 



col crescere del numero n può rendersi minore di 
qualunque quantità assegnabile, cioè tende a zero, 
allora è chiaro che la serie degli integrali 

h-=zoo rb 

^ I Uh(x)dor 
h=l J 



a 



è una serie convergente e il suo valore è propri^ 
il valore dell'integrale Ai t\^V 



Teoremi sulle funzioni integrahili. • 71 



Ora se Rn (a?) può rendersi minore di ^^ per qua- 
lunque X compresa nell'intervallo d'integrazione, 
è chiaro che quell'integrale 

Rn [oc) d X 



f 



a 

è in valore assoluto minore di 

h 



Gdx = {h — a) ff 



a 



cioè è minore di una quantità che può impiccio- 
lirsi per quanto si vuole. Resta con ciò dimostrato 
il nostro assunto. 

Applicando il teorema ora dimostrato ad una 
serie di potenze^ che, come si sa, (v. voi. I, Gap. I, 
§ 7) quando è convergente in un certo campo com- 
presi gli estremi^ è anche sempre certamente coìì- 
vergente in ugual grwlo nel medesimo campo ma 
esclusi gli estremi^ otteniamo il teorema: 

Una serie di 'potenze della variabile x, è una 
funzione integrabile^ e il suo integrale si calcola 
facendo la somma degli integrali dei singoli ter- 
mini. 

Facciamo ora vedere come i teoremi dimostrati 
possono utilizzarsi per lo sviluppo in serie di alcune 
funzioni. 

Si voglia p. es., sviluppare iii serie la funzione 
are sen x. 

Noi cominciamo coll'osservare che ta.\^ ?\voLiÀo\vè 
può esprìmersi mediante un mte^TaXe vtóoA\\\»<^ 




72 • Capitolo IL - § 4. 

Perchè sappiamo che la derivata di are sen x è 

1 

e quindi, per le cose note sugli integrali, possiamo 



scrivere 

are sen ce 



r^ dx 





supposto che la funzione sia definita in modo che 
per x=--o, sia zero. 

Ora per lo sviluppo binomiale (v. voi. I, Gap. IH, 
§ 3) si ha (se x^<]): 
_ 1 

essendo questa una serie di potenze, possiamo al- 
lora effettuare l'integrazione per serie. E evidente 
che l'integrale di ogni termine è un integrale 
del tipo (a meno di fattori costanti) 






r- 



.t2« d oc 



o 



e quindi eguale a 

2n*ì\ "^2w + l 



perchè infatti la derivata di questa espressione 
proprio :r^'* (v. Gap. I, § 3). 
Onde la serie degli integrali è 

. \ x^ 1.3 x^ , 



Teoremi sulle funzioni integrabili. 73 

Si può osservare che questa serie è convergente 
iche per x^'^=l^ sebbene allora la serie bino- 
iale da cui si è partiti non è più convergente. 

a funzione sotto il segno integrale diventa allora 

1 
finita di ordine —, ma l'integrale resta finito 

1 suo valore è — j. 

Un bell'esempio di integrazione per serie è 
lello dato da 



\ 



log (1 -- 2 p cos X -V fi d X 



Essendo molto complicata la funzione sotto il 
jgno integrale, non riuscirebbe facile eseguire 
li direttamente l'integrazione; invece si può far 
3dere che se si sviluppa in serie la funzione, si 
lò poi fare l'integrazione per serie, e quindi ot- 
nere il valore dell'integrale, sebbene sotto forma 
i serie. 

Un esempio di una serie che non essendo con- 
ergente in ugual grado, non può dar luogo al- 
Integrazione per serie, e dato da Darboux, ed è 



oo 
♦1=1 L 



n X g-"*^'" — {n -+- 1) X g-("+i)-^' 



cui valore è semplicemente 

Non entriamo ora nei dettagli di questa discus- 
one che del resto sarebbe facile. 



CAPITOLO III. 

CALCOLO DEGLI INTEGRALI INDEFINITI 

E DEFINITI. 



§ 1. Integrali indefiniti fondamentali. — Nei due 

capitoli precedenti abbiamo considerato le proprietà 
generali che derivano dalla definizione di integrale; 
passiamo ora alla parte pratica del calcolo inte- 
grale, cioè passiamo a rispondere a questa do- 
manda : 

Data una funzione come se ne può calcolare 
V integrale inde fin ito '^ 

Nel calcolo differenziale il problema della deriva- 
zione si può risolvere in modo completo, supposto 
che nella data funzione entrino solo gli ordinarli 
simboli di operazioni analitiche ; ma non è più lo | 
stesso nel calcolo integrale; infatti qui, almenochò ; 
non si tratti di tipi elementari di funzioni, noi non 
possiamo stabilire delle proprie regole d' integra- 
zione, ma il successo dipende dall' adoperare un 
artifizio piuttosto che un altro, e non sempre si 
riesce a trovare l'artifizio che fa giungere alla 
meta; oltre di che, meutte eoWa (i^\:v?«jiK.wv^ \^\ 
tipi ordinarli di iuimoni a\ otle^w^owo ^^vw^^^ Ixwsr 



Integrali indefiniti fondamentali, 75 

?'ào!ii che non escono dall'orbita di quei tipi, non è 
più lo stesso per l'integrazione; perchè integran- 
do gli ordinari! tipi di funzioni si ottengono alle 
volte funzioni che non sono più rappresentabili, 
come quelle da cui si è partiti, con un numero 
finito delle ordinarie operazioni analitiche fatte 
sulla variabile indipendente, intendendo per ordi- 
narie operazioni analitiche tutte quelle che capi- 
tano nelle matematiche elementari, cioè le sei 
operazioni fondamentali dell'algebra, e poi l'ope- 
razione logaritmica ed esponenziale, le operazioni 
trigonometriche e le inverse di queste. 

Per convincersi che coli' integrazione si possa 
giungere a delle funzioni nuove più complicate, 
facciamo la seguente considerazione. 

1 
Noi sappiamo che la derivata di logx è -, e 

« Su 

quindi ne deduciamo che l' integrale indefinito di 
1 ^ 1 

è logx, essendo - una funzione continna 

X X 

(v. Gap. I, § 3). 

Ora immaginiamo per un momento che la fun- 
zione logaritmica non entri ancora nell'orbita delle 
funzioni che vogliamo considerare come ordinarie, 
e quindi non vi entri neanche la sua inversa, cioè 
la funzione esponenziale; è chiaro allora che col 
semplice processo d' integrazione della funzione 

i . 
razionale semplicissima si sarà i^ià introdotta 

X 

la funzione logaritmica. 

Ponendo in una prima classe \e ^wmxovvv \^^ia^- 
naU, in una seconda classe le ?\xw7Aow\ \^\^^A<ò^^\^ 



76 Capitolo IH. - § 1. 

■ ■ I ■ I 11 j - - — — — 

e in una terza classe le funzioni trascendenti (tri- 
gonometriche e loro inverse, logaritmiche ed espo- 
nenziali), colla derivazione delle funzioni di una 
classe non si hanno mai funzioni di una classe 
superiore, ma si hanno funzioni o della stessa 
classe di una classe inferiore, mentre coll'inte- 
grazione si possono avere funzioni di una classe 
superiore. 

Nei paragrafi seguenti noi, stabiliremo alcuni 
fondamentali artifizii di integrazione; ma intanto 
per ora dobbiamo stabilire le cosiddette formoìe 
fondamentali di integrazione. 

Consideriamo tutte le funzioni che abbiamo 
sopra distinte in tre classi; esse sono tutte fun- 
zioni continue, e derivandole si ottengono ancora 
funzioni continue. 

Ricordando ora che Tintegrale indefinito di una 
funzione continua è una funzione la cui derivata 
è proprio la funzione data, noi possiamo stabilire 
alcune formole che saranno per noi le formole 
fondamentali. 

Dalle undici relazioni: 



1. 


d ^"''+1 
d on m ■\- 1 


^,„ (per m qualun- 
que ma diverso 

da —1) 


2. 


d X ^'^ '' 


_ 1 

X 


3. 


d 

' e'' 

(ì X 


^x 


4. 


d 

- - seu X 
dx 


— eo^x 



I 



Integrali indefiniti fondamentali, 11 



^ d 

5. -7— coso; = — seri': 

6. 3- tg (T = — _— 
a X cos'* X 

rr d ^ 1 

7. -r- ctga: = 



rf X sen^ ^^' 

8. -r— arcsenic =: -• 

9. -;— arccos^' = , 

rf ic \/ 1 a;'' 

10. - — are tg j:; 



2 



rf a? '' 1 -f rr^ 

il. -— arcctga7= — -— — -, 
dx ^ ì+x^' 

icaviamo nove forinole fondamentali: 
1. a?"*c/a? 



J m + 1 

(per m diverso da — 1) 

2, \ —dx = log ^ 

J ^ 

S. i e^dx =e^ 

5. j sena^dx = — cosoc 



4. I cos a; rf a; = sen a? 



78 Capitolo III, — .^' ./. 

6. I — -^— d X = tg iC 

7. I - -,,-- dx == — ctg .r 

8. 1 v-^:-:-^-^ <^^ ^ == are sen a; = — are eoa x 
J v/l + a* 

C 1 

9- I ;~"; — 9 ^ ^^^ ^ ^"^^ tg ;r -^ — are ctg a?. 
} \-\- x^ 

S'intende che ai secondi membri di queste nove 
formole si può aggiungere sempre una costante 
arbitraria, per la formazione completa dell'inte- 
grale indefinito. 

Dato che sia ora da calcolare l'integrale di una 
funzione che non comparisce in questa tabella, 
bisognerà cercare con opportuni artifizii, di ridurre | 
il calcolo a uno di (juesti già noti. 

Di ciò saranno dati vari esempi nel paragrafo 
seguente. 

§ 2. Artifizii di integrazione. Integrazione per 
parti. Integrazione per serie. — Si abbia da cal- 
colare 

( dx 



.' sen.r 

che non ò uno dei nove tipi stabiliti nel para- 
grafo precedente. 
Si ha 

sen ic ■— 2 seii ^ x eoa - x 



Artifizii di integrazione, 79 



1 


1 1 d X 

2 2 1 dx^ 2 


sena; 


X X . X ^ X ^ X 

cos-g 8en 2 cos^ 2^ *^ 2 ^ 2 



Ora una funzione la cui derivata rispetto ad ./* 
è quella contenuta in quest'ultima es{)ressione, h 
proprio 

log tg 2 
dunque possiamo conchiudere 



J 



=- log tg — 4- Costante. 



sen^ 2 



Un metodo che si può adoperare frequentemente 
per la ricerca degli integrali definiti ò (jnello cosi 
detto di sostituzione,, e che consiste nel trasfor- 
mare la variabile indipendente in un'altra (v. ( Jap. i, 
§ 6) in modo che la nuova funziono da integrare 
sìa più semplice per l'integrazione che ciucila data. 

Naturalmente non possono stabilirsi regole pei' 
riconoscere quale sia la sostituzione da farsi, e il 
successo dipenderà sempre dalla maggioro o minor 
pratica che si ha in calcoli di tal genere. 

Lo scopo della sostituzione sarà sempre di giun- 
gere ad un tipo di funzione il cui integrale sia 
già anteriormente noto, anche che qualche volta 
la nuova funzione sia di una si)ecie più elevata 
che quella da cui si ò partiti; che cioè p. es., la 
nuova sia una funzione trascevidewl^^ \w^\i\?t^ ^vi, 
h data aia aig-ebrica. 



80 Capitolo HI. - § 2. 

Così p. es., l'integrale 



■? 



_ 1 — 072 

colla sostituzione 

X = cos y 

si trasforma in (v. Gap. I, § 6j 

dy 
sen 2/ 

che per le considerazioni fatte sopra è eguale 



-J 



— log tg |- + Cost. 

onde l'integrale dato è 

— log tg — are oos x + cost. 

Questo risultato può semplificarsi giovand 
delle formolo di trigonometria. 
Infatti si ha: 

1 
^ sen-g-y 

ts^y = — r^ 

cos — 2/ 



2sen ^.-v/cos -^f/ 
2 co«? -_y 



Artifizii di integrazmie. 81 



seii V 



1 4- cos y 
Diide infine il nostro integrale è eguale a 



log rr-; h cost. 

l + .T 

Si abbia da calcolare 

dx 



/ 



oc .^2 + 2 P a: -f- Y 



che non è compreso nella tabella fondamentale. 
Poniamo identicamente 

a .t2 + 2 6 07 + Y = (a .r f- ì)f -\- e 

dove «, i, e sono tre costanti da determinare. 

Sviluppando il quadrato e eguagliando i coeffi- 
cienti delle potenze di x si ha 

a = a^ 



donde 



a = yj (X. 

a 

e quindi l'iategrale dato resta \\\ta\\\.o ^x^'ekov- 

Pascal, Calcoìo integrale, ^ 



J^ 



inato in 

dx 

(a X + 6/ + e ' 

Facciamo ora la sostituzione 

a X '^- h = y 
donde 

d X = -^ 
a 

e quell'integrale diventa 

dy 



a J il" 



•2 + c 
il quale colla nuova sostituzione (se e è positivo 

y = ^ cz 

dy^=\J ed z 
diventa 

dz 



— -f 

a\f e J 



z^ h 1 



e, se e è quantità negativa, facendo invece la 
stituzione 



y^\/ — cz 









dy = 


■■s/- 


cdz 






ha 






















1 


d 
. 1 


z 
-z^ 






Nel 


primo 


caso 


V inte 


graie 


cui 


ci 


siamo 



è di un tipo compreso neWa \,a\>fe\\a. Iq\ì<1 



Artifizìi di integrazione, 83 



e nell'altro caso è del tipo di un integrale eho 
abbiamo già sopra calcolato. 

Si ha quindi per risultato, nel primo caso 

1 , l , a>r + h 

• — .-_ are tjj^ z= — 7- are tg -.^ 

ay e (f\l e SI e 



e nel secondo caso 

1 



log tg are cos ~ ~ 



1 , , (IX -V b 

l(>g tg are cos 



i Potremmo continuare a dare esempii di integra- 

zioni fatte col metodo dello sostituzioni, ma ci 
bastino per ora questi dati. 

Passiamo invece ad esporre i principi di un 
altro metodo che può rendere moltissimi servizi i 
nella pratica, intendiamo parlare del metodo di 
integrazione per parti. 
j Siano u{x)jv{r) due funzioni derivabili; per le 

regole di derivazione del prodotto si ha 

6- ■ 7 J 

ì 7— [n (a?) V (a?)] ^ u (oc) — - v (x) + v (oc) - - a (v) 
\ a X a X a X 



l donde 

^1^4 ^Facendo le integrazioni dei »\w^o\\ \.^\\\v\\\\ ^ 
ut&m tenendo preaeiìte che l'integraVe à^W^k. àerà^^»^ ^>^ 



84 Capitolo III. — § 2. 



una funzione è la funzione stessa, si ha la fc 
fondamentale 

Fermiamoci un momento su questa formo 
intendere in che modo essa può essere u< 
nostro scopo. 

Si abbia da calcolare l'integrale di una fu 

continua f ix). Noi potremo sempre imma 

questa f{x) scissa nel prodotto di due fatt 

cui uno lo chiamiamo u {x) e l'altro lo chiai 

ci V (x) 

— ; , cioè il secondo lo poniamo eguale al 

a X 

rivata di una ignota funzione di x che chiai 

V ix). 

Ciò fatto, noi possiamo con quella formo 
durre il calcolo dell'integrale dato, al cale 
un altro integrale in generale assolutamen 
verso dal primo, e che potrà essere più sen 
o già noto. 

Noi possiamo fare in infiniti modi la dee 
sizione di cui si è parlato; ma naturalmen 
tutti questi infiniti modi noi sceglieremo que 
esiste se lo possiamo trovare) che soddisf 
temporaneamente a queste due condizioni: 
1.° Che si possa conoscere immediata 
la funzione v (x)\ 

2.** Che la funzione 

. .clu (x) 
sia pia facile da integrare c\v^ \»- ^\3ìwja^\ì^ 



Artifizii di integrazione. 85 



Anche qui tutto dipende dall' acume personale 
3 dalla perizia che si è acquistata in siffatta specie 
il calcolo. 

Alcuni esempi rischiareranno meglio la cosa. 

Si abbia da integrare 



J 



log X d X, 



Consideriamo la funzione log x come il pro- 
dotto di 

log X . 1 
e il primo fattore lo chiamiamo h {x)^ mentre il 

secondo lo chiamiamo — 7-^. 

dx 



Dalla relazione 



si ha subito 



e da 



si ha 



d V 

dx 



V = X; 

u = logx 

dìi 1 

dx X 



Applicando la formola dell'integrazione per parti 
si ha dunque 

I log ^' dx :iz X log X — ìdx 

= X log X — X -\- cosi. 

) wA resta calcolato l'integrale àa\.o. 



86 Capitolo HI. — § 2. 



Alcune volte non si riesce a compire l'integra- 
zione applicando una sola volta il metodo svilup- 
pato, ma applicandolo più volte di seguito. 

Diamo un esempio di (|uesto caso. 

Si abbia 



/ 



x^ sen X d j\ 



Scindendo la funzione sotto il segno nei due 
fattori 

j:^ = n 

d 
sen X — , 
dx 

donde 

d u 

—-- = 2 .<; 
dx 

V = — COS X 

si ha 

j x^ sen X d v = — ci^ con oo -\-2 \ x cos -e d x 

Ora l'integrale del secondo membro neanche si 
conosce, ma evidentemente esso 6 più semplice di 
(luello dato perche l'esponente di a: è restato di- 
minuito di un' unità. 

Applicando di nuovo l'integrazione per parti ai 
riuscirà al risultato finale. 

Infatti si ha colla solita formola 

I X cos oc dx =^ X Ben. ^ — l sen xdiv 



Aìiìfizii di integrazione. 87 



onde infine 

I x^ sen OS dx=^ — x^ cos x + 2 x sen on -f- 

■I- 2 cos X -| cost. 

Nei paragrafi seguenti noi ci proporremo il pro- 
blema dell' iategrazione di alcuni tipi speciali di 
funzioni, e per alcuni tipi anche abbastanza gene- 
rali potremo dare le formolo generali di risolu- 
zione. 

Ma quando la funzione data non è riducibile a 
nessuno dei tipi che si sanno integrare, quando 
cioè sono riusciti vani tutti i tentativi e gli arti- 
fizi! adoperati, allora non resta altro espediente 
che ricorrere sAVintegrazione per serie la cui teoria 
noi la abbiamo sviluppata nel § 4 del Cap. II; si 
cercherà cioè allora di sviluppare la funzione in 
una serie che sia integrabile termine a termine, 
e si otterrà cosi il risultato espresso sotto forma 
dì serie. 

A questo proposito sviluppiamo il seguente esem- 
pio. Si voglia calcolare l'integrale 

d^ 



J 



Vi — fc^ sen^ cp 



(P<1). 



Esso si suol chiamare integrale ellittico., e nelle 
matematiche superiori si studiano estesamente que- 
sti integrali che danno luogo a delle funzioni più 
elevate che le ordinarie funzioni trascendenti, me- 
diante le quali essi quindi non possono esprimersL 

È naturale quinàì che se li vogWamo ^^^YVKvst^ 
mediante le ordinarie funzioni, qviaVvwicj^^ \»^\5^^- 



88 C(fpitolo Iff. — i? 2. 



tivo ed artifizio, deve riuscire vano, e non si potrà §> 
elio applicare l'integrazione per serie. 

Per non ridurre molto complicato quest'esempio, 
noi ci limiteremo a calcolare non l'integrale inde- 

finito, ma il definito fra o e -^. 

La funzione sotto il segno sviluppata in serie dà 

1 

" 2 1 

(l — k^ sen^ 9) =il + — k^ sen^ 9 + 

+ r-^ k'^ sen'' cp + o ;~"n /^^ sen^ <? + ... 

Questa serie è convergente in ugnai grado^ per- 
chè ponendo per sen © il suo massimo valore che 
è /, la serie dei massimi 

ò una serie convergente i)cr k^ < ^, e quindi i)er 
un principio noto (v. Calcolo differenziale, Gap. I, 
§ 7) la serie in esame ò convergente in ugual 
grado. 

Può quindi farsi l'integrazione termine a ter- 
mine e si ha 

-. - = ? + "o ^'*^ I sen^ <p (/ q> H- 

JVl-~^''sen^cp ^ 2 J 



f ^: /.•* j sen* 9 (/ <p + . . . 



J'er ^jun/^ere al risviUato ftna\e à.0Nt«vxvKvii ^ycì^ 



Artifizii di integrazione. 89 



conoscere un integrale della forma 

sen^'* cp d (p. 



J 



Un tale integrale lo possiamo calcolare col me- 
todo d'integrazione per parti. 
Si ha 



/ 



gen2n (p gì (j, = — sen-'*'"^ ^ cos 9 -f 



+ (2 w — 1 I sen2'*-'^ cp cos^ <p (/ 9 

e ponendo 

cos''^ <p — 1 — sen- ^ 

e raccogliendo poi i termini simili, si ha infine la 
formola 



J 



„ , sen^"— ^ cp cos 9 

sen^»» © c^ cp = (- 

2 w. 

, 2 w - l /' ^ ., , 
-r — sen-""^ cprt cp. 

2n ! 



Con questa formola V integrale corrispondente 
air esponente 2 n, si fa dipendere da quello cor- 
rispondente all'esponente 2 M—^; applicando quindi 
ripetute volte questa formola, sino a che ci ridu- 
ciamo all'esponente zero, possiamo ottenere il va- 
lore finale del primo membro. 

Il calcolo si semplifica, so come abbiamo detto, 
vogliamo limitarci al calcolo dell'integrale definito 

ir 

fm e —, Allora l'ultima forvuoV^ òlVs^wX». ^^Nxvr 



90 Capitolo IIL — § 2, 



plicemente 



:r 






o o 



e (luindi applicando (luesta forinola n volte di se- 
guito si ha 



J 



o 






,., , (2« — 1)(2m-3)...1 n 



il qual valore sostituito nella serie dà 



J 



o 



JC 



2 ^/ ? 

Vi — /t'^ sen^ ^ 



-|l"(-JF-(;f-(klr?)'--l- 

v:^ 3. Integrazione delle funzioni razionali. - I 

metodi indicati nei capitoli precedenti servono a 
trasformare mi integrale dato in un altro il cui 
calcolo sia in molti casi piìi facile. 

Ora sui)porrenio che la funzione da integrarsi 
sia di una specie particolare e propriamente sia 
una funzione razionale. Allora possiamo eflPetti- 
vamente indicare un metodo generale col quale 
calcolare l'integrale in ogni caso. S'intende però 
che la soluzione supporrà sempre in generale quella 
di un altro problema di una natura mono elevata, 
come p. es., la risoluzione OlV ww' feQ^^Tl\Q\vfò ^\y6- 
brJca, risoluzione che pralìcamevi^,^ V^Vx^tJ^^ ^^esKts 



r 



Integrazione delle fanzioni razionali. 91 



difficile e anche inattuabile; il che però non toglie 

che dal punto di vista teorico il [)robleina doirinto- 

grazione resti considerato conio risoluto. 

Supponiamo dunque una funzione razionalo <jua- 

lanque che sarà il «luoziente di due funzioni intero 

F{x) . . ... 

.,— X , che possiamo sempre immaginare primo 

fra loro. 

Dividiamo il numeratore pel denominatore (sup- 
posto che il grado di jPsia maggiore di (luello di 
f) ci riduciamo ad una parte intera più una 
parte frazionaria in cui il grado del numeratore 
è minore di quello del denominatore. 

In quanto alla parte intera, la sua integrazione 
BÌ riduce ad integrare termini del tii)0 



a a?" 

dove a e una costante; tali integrali si calcolano 
colle regole note. 

La questione si riduce dunque ad integrare una 
funzione dal tipo: 

F{x) 

dove h\ f sono prime fra loro, q F h di grado 
minore di f. 

Siano ^1 «2 . . . ar le radici di f che sni)porrcnio 
per ora tutte reali e sieno rispettivamente n^ n^ . . • 
n,- i loro gradi di molteplicità. Allora si ha dal- 
l'algebra (come faremo vedere alla fine di questo 

F(x\ 
paragrafo) che la " "sione -irr4 può ftCO\xv\iCim 



92 



Capitolo ni. — § S, 



nella somma di tante altre frazioni nel seguente 
modo : 



— i- 



♦ .. .♦ 



h' 



f{x) {x — a,)"» {x — «1 j"»-^ co -ai 

~-\~ - — —- ; ♦ ... •» — ^- 



4- 



{x — ^2)"» (^ — «2)"*-^ 



4- 



[x - qpYp {x — apy^p-^ 



♦ ... ♦ 



x-ap 



. ! 



dove le b sono costanti di cui alcune possono es- 
sere zero, ma certamente però sono diverse da 
zero le: 



b,M 



62^«2) , ... 6^K). 



Applicando allora l'integrazione al secondo mem- 
bro, si vede che ci riduciamo sempre ad integrare 
termini del tipo . 



J 



d X 



(x — ay 

(^ra per n — 1 tale integrale è 

log (x — a) 

e per n diverso da J, esso ò invece 

_ 1 Jt 

(w — 1) {x — à}''-^ * 

>Si vede quindi che in queef a maniera resta cop' 
pletanientG risoluta la df <ia\\\eviXt«k.TÀwv<ì ^ \ 




Integrazione delle funzioni razionali. 93 



inoltre che il risultato non è che un ameme di 
fuìiziofU razionali e funzioni logaritmiche. 

Facciamo un'applicazione di (luesto metodo. 

Si voglia calcolare: 

dx 



Le radici del denominatore sono tutte reali e 
sono 

X = 0, X = 1^ X == — 1 
e sono tutte di molteplicità 1, Allora poniamo 



ir (1 — a:^) x x -- \ x \ l 

Per calcolare a, 6, e, moltiplichiamo consecuti- 
vamente per x^x — i, X -^ l^Q poi ponianìo rispet- 
tivamente x^^O^ x = l^ .r =1 — /. 

Si ha così: 

a = l , ft=-y , c = -.~ 

onde infine 

f dx _ j rf£ J^ r dx L ( _^ *^_ 

I x{ì-x^)'^ J X ~Yjx-ì~~~2} x~i- l 

= loga; — —logCar-l)- -^ log(;r+l) f C 

= log — - — j- i a 
(^'- 1) 



^^^ 



94 Capitolo III. — !? 3, 



Questo metodo si può utilmente adoperare nel 
caso che tutte le radici aAìf sieno reali. Se alcune 
delle a sono immaginarie allora noi non possiamo .] 
procedere nel calcolo, perchè tutte le considera- 
zioni fatte fin qui sul calcolo differenziale ed in- 
tegrale si riferiscono essenzialmente a funzioni non 
complicate con immaginari. 

Bisognerebbe prima di tutto cominciare ad esten- 
dere tutte le considerazioni fatte fin qui al caso 
delle funzioni immaginarie, e si potrebbe effetti- 
vamente dimostrare che operando sulle quantità 
immaginario come se fossero quantità reali, si giun- 
gerebbe a risultati finali dai (inali l'immaginario 
deve sparire, ed i risultati che così si verrebbero 
ad ottenere sotto forma reale sarebbero esatta- 
mente i richiesti. 



Però è utile mostrare come anche nel caso che 
alcune radici di f sono immaginarie si può con- 
durre avanti il calcolo dell' integrale senza intro- 
durre alcuna quantità immaginaria. 

Supponiamo perciò che f abbia la radice imma- 
ginaria (a | i B) il cui grado di molteplicità sìa 
n. Avrà allora anche la radice coniugata (*—/?) 
collo stesso grado di molteplicità. Quindi avrà per 
fattore 

Allora si sa dall'algebra (e noi lo faremo vedere 
alla fine di questo paragrafo) che la frazione 

yr~< 8Ì può scomporre anche \xv wvC«\\.T«t \»a.\àKt«. 



Integrazione delle funzioni razionali. 95 



diversa da quella rappresentata dalla forinola ( /), 
cioè si può scomporre ia una serio di termini 
di cui alcuni sono come in {1\ e sono quelli c.or- 
idspondeuti alle radici reali di /', e altri sono del 
tipo 

cx-\-d 

(,r2 + acc-{- hy* 

dove le radici di 

.T^ -{• aon + h = 

w 

sono immaginarie 
Tutta la questione si riduce dun(|ue a calcolare 

fcX'V- d 

Se, come avanti, sono (a }- ;* 6), (a — / p) le radici 
del denominatore, si ha: 

^- x^-\- ax + h -=- (x - a)2 4- pa 

i e l'integrale diventa 

% 

Questo integrale può scriversi identicamente 
[• c(a?— g) + (ca + rf) ,^ _ 

[^ — a2; + p2]n ^^- 

f ip^—^) 7 , 7x r dX 

j [(pC — a^) + p2]" ' } [(.?; - a2^ + p2-|„ 

Il primo di questi integrali colla aoatitvk'LVQw^ 



96 Capitolo ITI. — ,? 3. 

diventa 

che e eguale a 



2n — 2 (y^-f 6*)"-^ 
oppure a 



(se //>1) 



2^ log ^2/2 X pii) (se n = ì). 

Kesta quindi a considerare solo l'altro iiìtegr 
il (inalo colla medesima trasformazione in y 
venta intanto 

dy 



Se n ~~ /, allora (questo integrale e eguale 

1 , y 

p are tg j . 

Se n > / facciamo le seguenti altro trasfoi 
zioni. 

Osservianìo che 

__ I yHy e dy 



Intel/razione delle funzioni razionali. 97 



e facendo Tintegrazioiie per parti si ha inoltre: 
y^dy y 



j 



{y^ + ?*y" (2 M — 2) (j/« + p»)«-i 

2n-2] (y» + PV-» 



+ 



la quale forinola combinata colla precedente dà 

dy 

V ■ 2 n - 3 r r/y 

Si vede che colla successiva applicazione di que- 
sta formola di riduzione, dobbiamo giungere (poi- 
ché n è un numero intero positivo) al calcolo di 
un integrale della stessa specie, ma dove l'espo- 
nente di (y^ + P^) è l'unità; un tale integrale si 
esprimerà allora mediante la funzione arco fan- 

i gente^ come abbiamo visto sopra. 

Resta cosi risoluta completamente l'integrazione 

{ della funzione razionale data, supposte natural- 
mente note le radici dell' equazione f ( r) = o, e 
si è visto anche che può condursi il calcolo in 
ogni caso, sempre colla introduzione di sole quan- 
tità reali f anche se le radici dell'cciuazione f{iP)=o 

\ sieno immaginarie. 

Come risultato di tutta questa ricerca possiamo 
dire : che l'integrale di una funzione razionale si 
esprime sempre mediante i soli tre tijn di funzioni^ 
i.® funzioni razionali^ 2.® funzioni logaritmxcAve^ 
8."* fnn^^wne arcotangente. Se nel calcolo uou §»i 

Pascal, Calcolo integrale, 1 



98 Ckipitolo III. — § 3. 



^ 



vogliono introdurre le qtmntità complesse occór» 
rono anche le funzioni della terza specie; si ptiò 
invece limitarsi solo alle due prime specie volendo 
introdurre gli immaginarli. 

Prima di terminare questo paragrafo, ci occorre 
ora, per rendere più completa la nostra trattazione, 
riassumere i teoremi generali dell'algebra relativi 
alla decomposizione delle funzioni fratte razionali 
in frazioni elementari, teoremi che sono il fonda- 
mento di tutti gli sviluppi fatti in questo para- 
grafo. 

Divideremo questa trattazione, che del resto è 
una parte puramente algebrica, in vari sottopa- 
ragrafi. 

a) Teoremi generali sulla decomposizione delle 
funzioni razionali fratte. Immaginiamo una fun- 
zione di cui il numeratore e il denominatore sieno i 
due polinomi in x 

fix) 

dei gradi m, n rispettivamente. 

Se il grado di i^ è maggiore o eguale di quello 
di /*, si esegua la divisione dei due polinomi, e 
si ha una parte intera Q (x) di grado m — n^ e un 
resto B 'x) di grado minore di n ; allora può scri- 
versi : 

fix) ^''"'^fix)' 

Prima di tutto dìmoatnamo cXi^ ^^otìsfca» %<io«i- 
pOBÌzione in una parte iuteta e V\i xMaa. Ix^v^'oa.Tss 



Integrazione delle funzioni razionali 09 



non può farsi che in un sol modo. Sia: 

F^x) = do ^^ +- ai a:»»-i + . . . + «m 

dico che in un sol modo si possono sempre tro- 
vare altri due polinomi Q ( r) di grado m — //, e 
£(r) di grado minore di n, tali che si abbia iden- 
ticamente^ cioè per qualunqtie valore di x: 

F{x)^Qix)f(x)-hR[xì. 

Poniamo : 

Allora si deve avere: 

aQXni-VaiX^*^"^ -^r .,,■\^am=■ 
^%x*^ *hiX*^'^*,..*hn){q^^*^~*^qi(X^''**~^* .^.*qm -n)* 

-+- ro :p'*"^ f ri x^^~^ + . . . + rn-\ . 

E poiché questa eguaglianza deve sussistere qua- 
laoque sia il valore di x^ si ha che i coefficienti 
delle diverse potenze di x nel primo e nel secondo 
membro debbono essere uguali e quindi si hanno 
le relazioni : 

I 
«1 = *o ^i + h Qo 

«3 =hQz + *i Q2 + ^2 <7i + h Qo 



d" . . • V bni— n q^ 




100 



Capitolo ni. — § 8. 



am-H-\-ì- 



bi q,n -n^b^ ijm - « -1 ^ . . . ♦ 6//»-ii+l tfo * ^0 
= ^2 Qìn-n * b'ò (pn -n-1 + . .. ♦ bm-ti+2qo * 'l 



/ 



Um 



— bn (Jtn^ìi "+■ >*rt— 1 • 



Da questo (luadro risulta che la prima catego- 
ria di forinole non contiene i coefficienti >•, e con- 
tiene invece tutti i coefficienti q. La seconda ca- 
tegoria contiene i coefficienti r ed i coefficienti q. 

Inoltre dalla prima categoria di formolo i coef- 
ficienti q si determinano in uaa sola manierai 
])erchò la prima di esse contiene solo il coefficiente 
7o? e ({uindi lo determina in un modo unico; la 
seconda determinerà poi in un modo unico ir va- 
lore del coefficiente ^i, determinato che sia </oì ® 
così di seguito l'ultima di quelle equazioni deter- 
minerà il valore di qm-n. 

Determinate così tutte le (/, le equazioni della 
seconda categoria determineranuo in un modo 
unico le r. 

Resta così dimostrato che esistono sempre i i)0- 
linomi Q{y) e K{oc) colle proprietà indicate e non 
si possono determinare che iìi una sola maniera. 

Dimostriamo ora il seguente teorema: 

Sia (x — a)" un fattore della funzione f (x), cioi 
sia a una radice di f (x) multipla di grado a. Al- 

F(x) 

torà la funzione irreducibile « , t 8i jhiò sempre 

f (x) 

scomporre in 

F(x) _ A F^ (x) 

f[x) ■" {^^ - a> "^ ^x - dr^ t Ax^ 



Integrazione delle funzioni razionali, 101 



essendo A una costante^ F, (x) un poUmonio infero 
e fi (x) il quoziente di f (x) per (x — a)''. 
Infatti essendo 

f(x)=^(x-a)"f/x), 

si ha identicamente 

, F^ Fix) ^_ A Fjc)-AfAx) 

V f[x) ^{x-aYf,[x) " (or-a)" (x - a]^ f, (x) ' 

Ora possiamo sempre scegliere la costante A 
in modo che 

F{a)-Af,{a) = n 
I; cioè possiamo porre A uguale a 

ì A- ^11^1 

e allora la funzione 

F{.T) - A f, (.r) 

avrà per fattore x — a, e quindi nel secondo ter- 
mine della formola superiore possiamo sopprimere 
un fattore .'» — a e resta una funzione Fi (.r) di 
grado m-^l^ mentre al denominatore resta : 

ix — a/' ^ A {on) ; 

si è operato così la richiesta scomposizione. 
Da questo teorema possiamo dedurne un altro : 
Immaginiamo che tutte le radici dì f x) reali 

imìnaginarìe Steno: 



V. 



102 Caintolo III. — § 3, 

colla molteplicità: 

a, p, ... A, 

F(xì 
allora la frazione „, , può decomporsi in 

f(x) 

F{x) _ A ^ Al ^ Aa^i 

f[x) " {X'-aY ^ (or — a,«-i '" ^ x — a 



4- 



dot;e le A, B, . . . Aj Bj . . . sono deZZ^ costanti. 

Infatti, tenendo presente la scomposizione dimo- 
strata sopra, e riapplicandola alla frazione 

(00 - a)«-i A (^) ' 

si ha 

F(x) ^ A, ^ FAX) 

(X - a)«-i fi [x) {x - a)«-i {x - a)«-2 /; (^) 

e al secondo termine applicando daccapo la for- 
mola di scomposizione, e sostituendo, e poi così 
proseguendo si ha infine la dimostrazione del nostro 
assunto. 

Possiamo osservare che i primi coefficienti A^ 
£, . . . non possono essere mai zero, perchè sap- 
piamo che essi sono dati da 



Integrazione delle funzioni raziona/i. 103 
e dovrebbe essere -F(a) = 0, cioè a essere una 

F{r) 

radice di F(x)=^0 cóntro l'ipotesi che ^ sia 

una frazione irriducibile, 

b) Metodi per effettuare la decomposizione nel 
caso delle radici reali, — Distinguiamo ora due 
casi fondamentali, cioè il caso in cui le radici di 
f(it) sieno tutte reali e il caso in cui ve ne sia 
qualcuna immaginaria. 

Nel caso in cui tutte le radici sono reali distin- 
guiamo quello in cui sono tutte semplici e quello 
in cui ve n'è qualcuna multipla. 

Sia dunque in primo luogo: 

f(.v) = (r — a) {x — i) . . . (r — l). 

Allora il teorema precedente ci dice che può 
porsi 

F{t) _ A . B C L 

X) X — a X — b 07 — e X — l 

ora vogliamo dare un metodo per trovare i valori 
dei coefficienti AyB,C.,. 
Sappiamo già che posto 

f(x)=^{x-a)fA^) 
cioè 

fi W = (•'^ ~ b] (r - e) . . . (vC — l) 



1 sarà: 






104 Capitolo III. - § 3. 



1 



Ora facciamo la prima derivata di /*, e si ha: 
f (x) = (a; — 6) (.r - e) . . . (x -1) + 
+ {x-'a)[x'c). . .(x-l) *{v"a){x-b] ...(.r -/)♦... 

donde: 

f (a) = (a — b)'a — c)...(a — t) = fi (a). 

Ne deduciamo dunque senz'altro in questo caso 

J>1 F[b) 

ria) ' f'(b)''" 

Possiamo applicare questi risultati per dimo- 
strare una formola che può essere utile in diversi 
casi. 

Supponiamo che F{x) sia di grado n— 5 essendo 
f{x) di grado w. 

Allora nella formola di scomposizione, moltipli- 
cando per 

fix) == {x — a)(x -- b) . . . (x — l) 

si ha 

F[x) = ^ (a? - J) (a; — e) . . . + 
+ 5 (a? - a) (tr — e} . . . + 



e nel secondo membro il coefficiente di aJ""^ è 

A + B+C^ .,, 



cioè 






Integrazione delle funzioni razionali. 105 

^ I ■ ^M^^— ■■■»■■■ ■■■■■■I ■■».. ■ ■ I I 

intendendo che il segno ^ si debba estendere a 
tutte le n radici di f [x] == 0. 

Intanto in F{pL) il coefficiente di x'^-^ ò zero, 
onde possiamo scrivere: 

Passiamo ora a vedere come si calcolano i coef- 
ficienti -4, -4i ^2 • • • ^1 ^11 -^2 • • • del caso generalo. 

Naturalmente essi si potrebbero determinare col 
procedimento tenuto in a); ma questo metodo sa- 
rebbe lungo, e noi vogliamo trovare delle formole 
che ci possano dare i valori delle A mediante le 
derivate ài f q F. 

Partiamo dalle formole 

A (a) ' '~K(ay 

dove 



F, Or) = 



F, (00) - A, f, (g) 
oo — a 



y Essendo 

si ha derivando colla formola di Leibnitz 
/•« {x) = u!f, Oc) + a^"^' {X - a^ f \^a^ -V 



106 CapUolo HI. - § 3. 



(« + l)x(x-l) a! 



2.3 1.2 



{x-afTAx)-^... 



e per a;=:a si ha 

Ora derirando successivainente le forinole 
(•■» - a) F, ( e) = 1^(3?) -A fi (x) 
(a- - a) F^ {x) = F, (x) - Al f\ {x) 

si ha 

F, {x) -V (x-a)I \ {x) = F (x) - A f\ («) 
-f ; (a;) ^■Kx-à)f\ 'X) = i?", (x) - ^, /". («) 

2 F'i (x) + (x - a) i?"', (X) = F" (x] - ^ A W 
2 F'. (x) + (x - a) F''i ^x) = F'\{x) - A, A («) 

e per x = a si ha : 

F, («; = F (a) - ^ /-'i (a) 

= F' va^ ^= — f«+' ' 



Integrazione delle funzioni razionali. 107 
FAa) = F\{a)-AJ\ia) 



Sostituendo nelle espressioni ct^e danno i valori 
li Aj ^1, ^4a . . . si hanno le richieste formolo di 
ricorrenza: 



(a + 1)!' ^^^ a! 



la coi legge di formazione è evidente. 

e) Decomposizione delle funzioni fratte nel 
caso in cui il denominatore abbia radici imma^ 
ginarie. — Nel caso in cui fra le radici di f(oc) 
ve ne siano alcune immaginarie, allora si potrebbe 
anche effettuare la decompomiowe Q^«t^\»"ai \skv 
paragraS precedenti, ma allora le ?OTmo\a ^^xt^- 



108 Capitolo HI. — § 3. ^ 

bero complicate con immaginari, e si avrebbe una 
decomposizione immaginaria. 

Però in questo caso si può fare un'altra decom- 
posizione, che è quella che noi passeremo adesso 
ad esporre. 

Tale decomposizione risulta dal seguente teo- 
rema : 

Se (.^2 -{- px + q) P un fattore del denominatore 
f (x), cioè si abbia 

e si ha identicamente 

Fjv)^ Px+Q F,(^) 

f{x) ' {:v'^px + q)n '^(x^^pX-^qY'^f^[x) 

essendo P, Q due costanti^ e Fi [x) tma nuova futi- 
zione intera. 
Infatti si ha: 

F{x) F(cc) 



Px^Q ,F(x)- {Px + Q) f, (.r) 

"T" 



{x^ -\-p ^ -h g)'* (a;2 + j9 a? + q)^ fi {x) 

Ora possiamo determinare le due costanti P, 
in modo che 

F [X) - {P ^ + Q) f, {or) 

abbia per fattore r^ + px + g; {giacché siano 

a + ip 



Integrazione delle funzioni razionali, 109 
le due radici di 

allora deve essere 

F{r + ip)-[P(x + i?) + Q]f,(x + if:) = 

i^(« -»•?)- [P(« - i P) <-<?]A(* -i?)-o 

donde : 

F(a ± i P) 



P(«=h»S) + ^ = 



f(^±i?] 



e calcolando il secondo membro che sarà in ge- 
nerale della forma: 



8Ì ha 



M±iN 
PoL+Q=zM 



donde : 



p=^ 

Per i valori di P, Q così determinati sarà 
F(^) - (P^ + (?) A (r) = (a:2 4- 1) .T + g) I\ (x) 

e quindi resta dimostrato il nostro assunto. 
L Colla BUCoefiifiiiFa applicazione ài qu^^lo \,^c>t^w\sv. 
f si vede, analogamente come in a), c\ie ^\\v^\^ 



no Capitolo IIL — § 3. 



1 



decomposizione 

F(x) _ Px^ Q Pi ^j^Qi _ ^ 

-+. Pn -lCO-^rQ n-l Fn{x) 

I coefficienti P, ^, Pi, $i, . . . sono determinati 
dalle relazioni : 

Pi k + Q, ^ -^-^!^ , (Pi /; + ft) /; (i) = j^i (ì; 



dove k è una delle due radici di 

x^ + px + q=0 

e i^\ (x), i^2 (^.\ • • • sono definite dalle formole: 
ix^ + px ^ q) F, Ìx) = F(.t) - {Px + Q)f, (x) 
{x'^px + q)F,{x) = I,'x)-{P,x + Q,)fM 



Prima di abbandonare questo argomento è utile 
osservare che nel caso in cui le radici immagi- 
narie di f sono semplici e non multiple, allora 
questa decomposizione si può ricavare facilmente 
dalla prima decomposizione. 

Jn/atti sieno k^k' le due radici immaginarie 
coniugate di a?- r p x + q ; ^^t^b W.wÀa ^3^» \^^ 



r 



Integrazione delle funzioni razionali. Ili 



composizione col primo metodo si hanno le due 
frazioni: 

R , R 

+ 



dove 

g Fjk' ^_ F{k-) 

'fi(k){k-k-ì ^ fiik')ik'-/c)' 

riunendo in una le due frazioni si ha: 

(R+R)iv -jRk' * R k) {R* R )x - (R/c' * R' k ) 
(x^k) x — ic) «■-f-piC-fg ' 

essendo A;, k' due numeri immaginarii coniugati, 
anche R^R saranno inmiaginarii coniugati, e quindi 
anche R k\ R' k, onde : 

R + k' 
Rk' + Rk 

saranno certamente numeri reali, perchè somme 
di numeri immaginarii coniugati. Inoltre ponendo 

-;;-7r- sotto la forma 
fi(k) 

M+Ni 
e 

k = a+ip ,, A:' = a- ip, 

si ha: 

M + Ni 



112 Capitolo III. — § 3. ^ 



oucle 



N 
B + R' = ^ = P 

P 



— zip 

I 

§ 4. Integrazione delle funzioni irrazionali. Inte- 
grali binomii. Integrali ellittici. — Mentre nel caso 
(Ielle funzioni razionali noi abbiamo potuto risol- 
vere completamente il problema dell'integrazione, 
non possiamo più fare lo stesso nel caso delle 
funzioni irrazionali. 

Per questo dobbiamo limitarci a considerare 
solo dei tipi speciali, e vedere se è possibile, e 
come, assegnare per tali tipi il metodo generale 
di risoluzione. 

Uno dei tipi più facili di funzioni irrazionali 
ò quello in cui compariscono varie potenze fra- 
zionarie della variabile x\ quello cioè di una fun- 
zione 

dove a, p, Y, . . . sono dei numeri qualunque razio- 
nali frazionarli. La funzione f è così effettivamente 
una funzione irrazionale di ./•; ma con una sem- 
plice trasformazione possiamo subito ridurci al 
caso delle funzioni razionali. 

Sia in effetti y. il minimo comune multiplo di 
tutti i denominatori deWcb ìtsjl\ovv\'^.^^OV • • A ^^^ 



Iniegrtiziòne delle funzioni irrazionali, 113 
i prodòtti 

saranno tutti numeri interi. 
Poniamo 

e quindi 

Con questa sostituzione si ottiene una funzione 
in y^ ma in cui gli esponenti di y sono tutti nu- 
meri interi; si ottiene cioè una funzione razionale 
in ^; siamo così ricondotti al caso già considerato 
nel paragrafo precedente. 

Consideriamo ora un integrale del tipo 

f{x, yj'R)dx 



/ 



dove S sia un polinomio di 2.° grado in cc^ cioè 

e f rappresenti una combinazione razionale di 

a? e di Vi?. La /* è naturalmente una funzione 
irrazionale di /r, e l'irrazionalità proviene dal ra- 
dicale di 2.^ grado \/ R, 

Facciamo delle trasformazioni preliminari per 
mostrare cometa meno di trasformazioni algebriche, 
r integrale dato può comporsi mediante «ik.w\v\ ^\ 
tìpo detenniaato. 

Pasoal, CeOcQÌo integrale. ^ 



114 • capuoio ni:-^ § 4. ' ' 

Considerando che la seconda potenza di y/i 
già un'espressione razionale, ricaviamo che in 

il yj E non ci potrà comparire che solo a prì 
grado ; la forma generale di jT è dunque 

9 fa) + 'j^ (x)\I'rTx) 
Moltiplicando il numeratore e denominatore i 
la /"(a?) diventa 

cioè il denominatore diventa razionale. La f i 
dunque sempre ridursi al tipo 

0{x)^H{m)yfR 

dove (?, H sono due funzioni razionali di a. 

Quindi dobbiamo occuparci solo di un integri 
del tipo 



\ H[x)\} R{cc/dx 



jo anche, moltiplicando e dividendo per \l R^ 

[m^d^={m.da: 

. J ,slR{x) : ] >JR(x) 

dove K(x) è una funzione razionale qualunque 

Se ora scomponiamo la ?\hvt.\otl^ K in una p^ 

intera^ e in frazioni e\emev\\.aT\, ^gwjeìwv. \^ \« 



IntegràzioHe delle funzioni irrazionali. 115 



esposta nel paragrafo precedente, si yede che vo- 
lendo stare sempre nel campo delle quantità realì^ 
ci riduciamo a soli tre tipi di iiitegraU, cioè 



/ 



doo, 



proveniente dalla parte intera contenuta in A' 



r J_ 1 

J {x — a> 



s/B(oo) 



proveniente dalle radici reali del denominatore 
di K, 

cx + d 



/ 



(x^ + px ■¥ q^yj R{x) 



7=dx, 



proveniente dalle radici immaginarie del denomi- 
natore di K. Si può far vedere che ciascuno di 
questi integrali può sempre ridursi ad integralo 
razionale. 

Una tal dimostrazione la faremo per un inte- 
grale del tipo generale 



I f{x,fB{x)) dx 



e non per un integrale di uno dei tipi speciali 
Boprasegnati ; però praticamente le trasformazioni 
ora indicate potranno essere molto utili. 
Distinguiamo i due casi di e posvt\\o ^ e w^- 

gBtivO. 



116 Capitolo tIL — § 4. 



Sia in primo luogo e positivo. Allora poniamo j 
donde 
e quindi 



2(6- v/cy) 



/-p_ . \/c(y^ - a) )Jcy^ — 2by + aic 

'"'"'''^2{h-rcyr 2{j>-rcy) 

^^^ ^A{h-rcyf ^^ 

v/ e y* —2hy + ayfc , 

Con queste sostituzioni è eyidente che la f di- 
venta una funzione razionale di y. 
Applichiamo questa trasformazione all'integrale 

dx 



/ 



Esso diventa semplicemente 

dy 



l 



h — yJcy 
che è eguale a 

— -p log (ft — \/ e v^ ^ <io%V.* 

ve ^ 



Integrazione delle funzioni irrazionali. 117 
onde infine il nostro integrale è 

y. log (6 — \/"c \/"fi -^CX) + C08t. 

Supponiamo ora c<0. Se la funzione da inte- 
grare è una funzione di x reale per ogni x reaU,, 

non potrà essere >l È una quantità immaginaria, 
cioè R non potrà essere negativo per ogni valore 
di x\ ora 

T> / 2 , 26 a\ 

R = c\cc^ ^ ^ + j 

= e (^ - a) 'oo - ,6) 

se a, P sono le radici di i? = 0. Queste radici non 
potranno perciò essere immaginarie perchè se lo 
fossero, il prodotto 

(X — a) (07 — P) 

per ogni ce reale sarebbe il prodotto di due quan- 
tità complesse coniugate e quindi sarebbe eguale 
alla somma di due quadrati di numeri reali, cioè 
una quantità essenzialmente positiva; per e nega- 
tivo la E sarebbe perciò negativa per qualunque 

X reale, e quindi \J R sarebbe immaginaria, e la 
funzione data contenente razionalmente l'espres- 
sione V R sarebbe complessa, mentre che noi sup- 
poniamo che la funzione data sia sempre una fun- 
zione reale. 

Se le radici «, P sono reali, possiamo noi allora 
fare la trasformazione 



118 Capitolo III. — § 4. 

la quale riuscirà una sostituzione reale. Dì qai, 
(luadrando si ha: 

i? = a + 2 ò ^ + e ^ = y ^ (^ — a ) 2 

cioè 

e (a: — a; (a; — p) ^ y^ (x — a)» 

donde 

e P — a y* 



x 



c — y^ 



^^- (e - 2/^)2 "^^ 

2cj^^p-^ 

— i — dy 

c-y^ 

__ e y (p — g) 

e, come si vede, anche con questa trasformazione 
ci riduciamo ad una funzione razionale di y. Que- 
sta trasformazione può naturalmente farsi anche 
nel caso in cui e è positivo, purché le radici di 
R = sieno reali. 

Applicando questa trasformazione all'integrale 
^ià considerato sopra, esso diventa 

7 e C dy 

dy __ 

c — y^ 

2 

V — 




Integrazione delle funzioni irrazionali. 119 

Dopo avere studiati gli integrali di funzioni' con- 
:enenti la radice quadrata di un polinomio di 
2.** grado in x, viene spontanea l'idea di conside- 
rare gli integrali di funzioni contenenti la radico 
[quadrata di un polimonio di 3.** o di 4.° o di grado 
superiore. 

Senonchè mentre nel caso del polinomio di 2.® 
f^rado, si è visto che si può sempre effettuare la 
integrazione per mezzo delle funzioni ordinarie, 
tton è più lo stesso per gli altri casi. Per questi 
casi occorre l'introduzione di funzioni trascendenti 
più elevate delle ordinarie. Tali integrali si chia- 
mano integrali ellittici e furono studiati per la 
prima volta dal matematico italiano Fagnano (1682- 
1766; e da Eulero (1707-1783) e poi più diffusa- 
mente da Legendre (1752-1833). 

La denominazione di ellittici viene a loro dal 
fatto che per mezzo di essi si risolve il cosiddetto 
problema della rettificazione delVellisse. 

Noi non possiamo entrare in una trattazione 
degli integrali ellittici. Ci limiteremo solo a sta- 
bilire alcune nozioni fondamentali. 

Con una trasformazione nei cui dettagli noi non 
vogliamo entrare, si giunge a far vedere che sup- 
posto che nel calcolo si vogliano includere anche 
le quantità complesse ogni integrale della forma 

j f{x,sfB)d(c 

dove R è wn polinomio di 4,^ grado eie il sim- 
bolo di una funzione razionale^ si pxiò sempre 
esprimere mediante una com6ina2JÌOHe lineare *>• 



120 Capitolo HI. — § 4. 



integrali dei soli tre tipi: 

y^dy 



2. 



rd_i 

ÒsTR 



3.- ^' 



r dy 

J {y^-a)^lt 



dove R è il polinomio di i."* grado sotto la foìtna: 

Tali integrali si chìaraano gli integrali nonnali 
rispettivamente di J.*, 2.*, 3.* specie di Legendre, 

Vogliamo ora mostrare come questi tre integrali 
si possono ridurre ad un^ altra forma che viene 
molto spesso adoperata, e che noi abbiamo anche 
altra volta avuto occasione di studiare a proposito 
degli svilui)pi in serie degli integrali (v. Cap. Ili, 
§2). 

Poniamo 

y ■■= sen f 
dy = Qo^^d'J^ 

e i tre integrali diventano 

d^ 



1. 



J v/1- 



k^ sen* «p 
k^ seu^ ^ 



/sen^ 



Integrazione ddle funzioni irrazionali. 121 



J (l + n 



sen* ?) n/ 1 — A;* sen^ <p 
(a meno di un fattore costante,^ 

ponendo poi anche a = . 

n 

Questi tre integrali sogliono indicarsi rispetti- 
vamente coi simboli 

F{^\ Z(^\ n((p) 

e il primo di essi è proprio quello da noi consi- 
derato nel luogo citato. 

Essi potrebbero calcolarsi operando l'integra- 
zione per serie. 

Passiamo ora a considerare un altro tipo di in- 
tegrali, assai meno complicati cioè ì cosiddetti 
integrali binomii, considerati per la prima volta 
da Eulero. 

Un tale integrale è della forma 



j 00»' (a f ò X») d X 



dove m, n, p sono dei numeri razionali frazionarli 
positivi negativi. Se il numero p fosse un numero 
intero positivo o negativo, allora si potrebbe svi- 
luppare la potenza del binomio o al numeratore o 
al denominatore secondochè p fosse positivo o ne- 
gativo, e si avrebbe una funzione razionale di va- 
rie potenze frazionarie di 07; un tal tipo di fun- 
zione lo abbiamo gìk considerato b\i\ pt\xv(^\^\^ ^v 
questo paragrafo. 



122 Capitolo III. ~ § 4. 

Supponiamo quindi che ^ sia uri numero fra- 
zionario. 

I numeri m^n possono sempre supporsi dei numeri 
qualunciue, ma è facile vedere che, senza diminuire 
la generalità, essi possono sempre supporsi iwfer/. 

Perchè se non lo fossero, e sia ul il minimo co- 
mune moltiplo fra i loro denominatori, ponendo 

Tiutegrale si trasforma in 

jx I y(w+i)^-i ^a + bif'f*)P ci y 

che è anche un integrale binomio, ma dove però 
gli esponenti di y dentro e fuori parentesi sono 
numeri interi. 

Inoltre n può sempre immaginarsi positivo, per- 
chè altrimenti l'integrale dato può scriversi - 



J 



^m+«i) ;^ z^?-» ]-h Pdx 



moltiplicando e dividendo il primitivo per x^p\ 
so n è negativo, —n sarà positivo, e quindi l'in- 
tegrale dato restii sempre ricondotto ad un altro 
in cui l'esponente di x dentro parentesi è positivo. 
Facciamo ora la seguente trasformazione; po- 
niamo 

a-\-hx^^ = y 
donde 



X 



' m 



Integrazione delle funzioni irrazionali, 123 



li 
e quindi l'integrale diventa 






(I) 



Se invece di prender le mosse dalla forma data 
dell'integrale binomio, prendiamo le mosse dal- 
l'altra forma equivalente 



J 



^w+»i> (a X -^^ -\- h)P d co 



ponendo a x-» -]- b = y^ abbiamo invece 



na J \ a 



o\ n 



(II) 



tn ~f" i 

Ora se è un numero intero, allora la 

n 

I si può subito ridurre ad una funzione razio- 
nale ponendo 1/ ^z^ dove i^- sia il denominatore 

del numero p. E così analogamente se h p 

n 

è un numero intero la, II potrà coWa mfòdi'ei'ràcv^ 

Boatitazìone ridursi ad una funzioii© taiivoTi'aXfò. 



124 Capitolo HI. - § 4. 

Abbiamo dunque: esistono due casi in cui l'in 
tegrale binomio può immediatamente ridursi m 
un integrale razionale^ e questi due casi sono: 

1,^ Quando è un numero intero; 

n 

2.^ Quando h p è un numero intero. 

n 

Quando non sono verificati questi oasi allora si 
possono adoperare delle formole di riduzione colle 
quali rintegrale binomio dato resta espresso me* 
dianto altri in cui gli esponenti nt, n^p sono di- 
versi. 

Tali formole di riduzione si ottengono appli- 
cando il metodo delP integrazione per parti. Così 
ponendo 

u = [a + bcìO*')p 
dv 

= 07"» 



donde 



doo 






m + ì' 



dx ' 
si ha la formola 



1 x^^ (a 



+ bx**]Pdx^ 



m + 1 \ 
m + lj \ 

\ 



Integrazione delle funzioni irrazionali. 125 

colla quale l'integrale binomio corrispondente agli 
esponenti m, n, p, resta espresso mediante quello 
cogli esponenti m + n^n,p - 1. 
Se ora poniamo 

j a?»» [a ♦ bx» Pdx= j x**" [a ♦ b x» )[a*bx^ >-i dx 

= a ìx'^la* bx*' 'ì^-^dx ♦ b I cc^+*' {a*bx'' )p-^ dx 

e eliminiamo colla formola precedente quest'ulti- 
mo integrale otteniamo 

ar»»+i {a + bx»p 



f 



x'^ia + ba^Pdx^ 



+ 



w-H 1 + pn 



apn C , , 7 > 1 7 

—-. I x"^ [a + b ic*»>-^ d X 

m + l + pnj 



colla quale formola il solo esponente che resta 
cangiato, e propriamente resta diminuito di una 
unità, è l'esponente della parentesi. 

Combinando così fra loro in vari modi questi 
artifizii potrebbero^ trovarsi quante formolo di ri- 
duzione si voglia. E inutile del resto stabilirle qui, 
sia perchè non offrono nessuna difficoltà teorica, 
sia perchè è più conveniente adoperare quelli ar- 
tifizii caso per caso, e, adattarli alla natura par- 
ticolare dell'integrale che si sta considerando. 

Molte volte è più conveniente applicare le for- 
molo di riduzione che si ottengono cogli artifizii 
indicati, anziché servirsi, anche che si verifichi^ del 
criterio delV mtegrabilitk di cui abbiamo v^\\»X.<^ 
sopra. 



126 • Capitolo III. — § i.' • 

Quando con nessuna formola di riduzione pos- 
siamo ridurci ad un integrale noto, allora non 
resterà che adoperare la integrazione per serie^ 
sviluppando in serie la potenza p™* di (a+ 6a?** ). 

Come esempio si potrebbe scegliere il calcolo 
delPintegrale 

(m = mtero) 



/; 



che può scriversi 



J 



xm[l^X^) ^^ dx 



e quindi è un integrale binomio, dove a^ 1^ 

E facile vedere che esso rientra nei casi ele- 
mentari d'integrabilità. 
Infatti se m è pari allora 

m + 1 m-\-l 1 m 

— — +p_— 2 ■2"" "2 

ò un numero intero, e sé invece m è dispari allora 

m+ 1 m ■\- 2 

n n 

ò un numero intero. 

§ 5. Integrazione delle funzioni trascendenti. — 

In questo paragrafo studieremo alcuni speciali tipi 
di funzioni trascendenti e faremo vedere come si 
possono integrare. 

1,^ Si abbia una funzione à^\ i%^ 

essendo f il simbolo di una txHvnoTXSi Toòssosàa 



Inteffrazióne delle funzioni trascendentL 127 
Ponendo 

^ dx =^ dij 
dy 



dx^ 



y 



l'integrale della funzione data si riduco a quello 
di una funzione razionale di y. 

2.° Consideriamo ora gli integrali del tipo 

I sen*'* X cos" xdx 

Ponendo 

sen ^ = ^ 

si ha da integrare 



I 



n-l 
2 



t^{\-t^j ^ dt 

\ e quindi ci riduciamo ad un integrale binomio. 
y Però possiamo procedere diversamente. 
j^ Operiamo il metodo d' integrazione per parti 
prendendo : 

- dv 

u = cos**~^ ce , -z— = sen*'^ x cos x 

' dx 

e si ha: 



j 



• sen'w+i ^ cos'*-i .'T 

sen*" X cos*' xdx^ l- 

m -\- l 



^n-l 



m-h 



j I isen'«+2 X cos^^ -" - .oc d ir, 



■1 



128 Capitolo 111. - § S: 

e facendo una trasfonnazìone analoga a que 
adoperata per gli integrali binomii, cioè ] 
nendo 



j 



genw+2 00 cos*»"2 xdx ==^ 



= I Ben»*a?(l — cos*^)cos*»"'2a?(ia? 

= I BQXi^ X Qo^^-^ X d X "-^ j 8en*"/z?cos**^fl 

e sostituendo e risolvendo rispetto a: 

j sen"* 0? cos*» 0? d ^ 

si ha infine 

J sen»» X cos» xdx = 

sen'"+i X cos»»-i x , n ~ If „ . 

= H ; — sen'^a^cos^-^/u ^ 

m + n m-\nj 

3.® Si abbia inoltre da calcolare 

i e^^cosbxdx , j e^^ senbxd x. 

Operando la integrazione per parti si ha: 

Je^cosbx b C 
e^^cosbxdx = -h- ìe^^^enbxt 
a aj 

le^^òQubx dx^ — \<ìf^^^%\>x< 

J a «. } 



-J »■' 



InUyrazione delle funzioni trascendenti. 129 



donde 






, , acos Jic ! òsen So? , ^ 

&^QO^hxdx = — e«-^ \ C 

a^ + b^ 

„^ T n a sen hx — h cos h x ^, 

e^ senbxdx = o-, ,0 ^'"*^' •+ G- 

tr + 6»- 



4.^ Si abbia infine da calcolare V integrale 
corrispondente ad una funzione del tipo 

fisenx^ coso?) 

essendo f il simbolo di una funzione razionale. 
Ponendo 

tang - - = t 

si ha: 

sen x = 2 sen -- cos -^ =2 tang-- cos^ - - = 



2 2 ^ 2 2 1 + ^2 

cosa. = cos^---^^^^-2= , _ :^ = rT7^ 

1 + tang- — 

dx_ 2 

dt ""ì+72 • 

Onde con questa sostituzione la funzione da. 
iutegrarai diventa una funzione taTÀornVe v^\ l ^ 
quindi ed integra coi metodi noti. 

Pascal, Caicolo integrale. ^ 



130 Capì foto 11 L — § 5. 



Così p. es., deteriìiiniamo 

doc 



j a sen co + b cos ce ' 
Si ha, operando la trasformazione precedente: 

9 1* ^.^ -=2ò r — = 

'^ J 2at + b{l-t') J (a^* b^y(bt-ay 

^ 1 r r bdt , 

J \/a^-^b^-(bt—a\ 

= J_ log y^^^'^^:K*J^^^^ ^ ,. 

e sostituendo poi per t il suo valore in oc si ha 
la forinola finale. 

§ G. Calcolo di integrali definiti. Integrali Eule- 
riani. — Nei paragrafi precedenti abbiamo studiato 
vari speciali tipi di funzioni coli' intento di cal- 
colarne gli integrali imlefiniti corrispondenti. 

Può però accadere alcune volte che pur non 
potendosi calcolare l'integrale indefinito, si possa 
invece calcolare l' integrale definito fra limiti as- 
segnati, e che per l'uso che noi ne dobbiamo fare 
non ci occorra effettivamente altro che proprio 
l'integrale definito. 

Perciò noi dedichiamo questo paragrafo all'espo- 
aizione di artifizi e A\ m^\.oA\ ^«t \»i Tv<ìQroa di 
integrali definiti. 



Calcolo di integruU de finiti, 131 



Nei paragrafi 7, 8 dol Caj). I abbiamo già no- 
tato che un metodo abbastanza fecondo per la 
ricerca di integrali definiti ò la derivazione e l'in- 
tegrazione sotto il segno. 

Diamo qualche esempio di questo metodo. 

Da 

J [a io a 



colla derivazione rispetto al parametro a otteniamo 

P 1 
I x^--^ lo^ OS dee = 



ri . . «» , 1.2 



o 



z- 



J 



^a?«-i(logaj}»(/ ^ = (- i> ^ • ^- • • '^ 





Inyece coli' integrazione rispetto ad a fra due 
qualunque limiti a, p otteniamo 



\ 

Da una formola trovata nel paragrafo precedente 
; rìoaviamo 

sen"~^ X cos x 



sen* xdx = — 



n 



n J 



132 C<$pUolo III. — § 6. 



^m 



TU 

e limitando l'integrazione fra e -- si ha 



7f 71 

^ ^ (n - 1) f 2 , , 



i 

o o 



e quindi se n è pari si ha 



TT 



n ^ (w — l){n— 3 . ..3.1 TI 

I n (n - 2) . . . 4 . 2 2 



2) 
e se n è dispari si ha 



J 



o 



/f 



2 , (n - 1) ;m — 3) ... 4 . 2 

sen" ir d^ = j^ — -— — 

w (n 2j . . . 5 . 3 



TT 

Ora osserviamo che fra i liniiti o e — il 8 
ò un numero positivo minore di i, e quindi 

1 sen^'*-^ a? rf ir > 1 sen^'» x dx> 

o o 

n 

> sen2«+^ iz? d 07 







Cloe 

2 4 2n — 2 ^i_3 2 n — 1 

y-s ••'27^^ ¥• 2* T'^ITT" 

2 4 \ "iu 



> 



3- 5' \^n^\ 



.i«r-^' 



Calcolo ili intef/rali ilefinìiì. 



\m 



donde 

2 2 4 4 2n- 
r8* 3* 5 '"2n - 



> 



2 2 4 4 2tì- 
1 3 3 f) •••2?? - 



2 2» 
3' 2?/ 

2 2?/ 

3 2>/ 



-2 2;i 
\'2h -\ 



o 



2h 



o 



2n 



\'2n - \2n : 1 



ir 



I (lue numeri fra i quali o 8eni|>re compreso ^ 
differiscono fra loro per il fattori» 

2 li 
2Vt- ì 

il quale tende a 7 se 2n tende airiniiiiito. 
Dunque possiamo eonehiudere ohi» 

2 2 4 4 fi 



IT 

2 



l • 3 • 3 • f) • 5 • 7 • • 



T 



cioè abbiamo l'espressione di sotto forma di un 

prodotto infinito. 

Questa formola ò la cosiddetta formola di Wallis 
(1616-1703). 



Nella formola trovata sul principio di ([uesto 
paragrafo 



J' 



12 il 

00^-^ (lofr XY dX = {— 1)" - ' -^_j^- - 



o 



ponendo 



xz=z e-y 



lU Capitolo tIL - § r>, 

si ha 

lo(/ x=: - y 

d oc ^ — e'^ dy 

y --^ oc per a? - - o; y '— o per ce = 1 

onde 

/i roo 

cefi -1 (log xY dx = + e-^y (— y^ d y 



o 

da cui 










Per a - / si ha dunque 

foo 

e-y y" d y = ìi ! 



Questa forinola sussiste per n intero positivo; 
perchè pel modo con cui abbiamo ricavato questa 
formola, il numero n in esso contenuto, rappresenta 
il numero di volte che si è fatta la derivazione 
rispetto ad una certa variabile. 

Lo studio del valore di questo integrale definito 
nel caso in cui n non è più un numero intero 
positivo, costituisce lo studio del cosiddetto int^ 
graie Euleriano di 2.* specie. Si adopera la se- 
guente notazione 

'00 

cc<^ '\ e"^ d co ^V^ttY \ 



e 



o 



Calcolo di integrali definifì. 135 



Si introduce così nel calcolo lo studio della co- 
siddetta funzione gamma di Eulero, Questa fun- 
zione gamma gode di molte proprietii singolari. 
Si trova che essa può svilupparsi in un prodotto 
infinito, cioè 



r(a)= n 



m 
m 



Im ^}Y'^ 
=~^\ m ) . 



=1 {a -\- m — 1 ) 



Noi non possiamo entrare nei dettagli dello 
studio di queste funzioni. 



CAPITOLO lY. 

GLI INTEGRALI MULTIPLI. 



§ 1. Definizione di integrale doppio e multiplo. 
Condizioni di integrabilità. — Nel § 8 del Cap. I 
noi abbiamo accennato per incìdente ad una de- 
finizione di integrale doppio. Ora passiamo ad una 
trattazione completa. Daremo prima di tutto una 
definizione che non è che la estensione diretta di 
quella data per gli integrali semplici. 

Si abbia una funzione di due variabili f(x,y), 
e sia definita o si voglia considerare solo in una 
area piana il cui contorno sia una curva chiusa di 
equazione cp [x^ y) = o. Per ogni punto interno a 
questa curva la f sia finita, 

I campi di variabilità Ai x q y non sono indi- 
pendenti l'uno dall'altro; fissato un valore ad y, 
il campo di variabilità di x resta definito nella 
seguente maniera: meniamo la retta parallela al- 
l'asse X e avente per ordinata la y fissata; questa 
retta taglierà il contorno dell'area chiusa almeno 
in due punti, e // campo di variabilità di x per 
(juella y fismfa si intenderà e^le%o dal x^aW^ dd- 
r ordinata del pnnio più a RluVslva^ ^mo al nDoVw*. 



Definizione di integrale doppio e multiplo, 187 



delV ordinata del punto più a destra, I limiti di 
variabilità di a; sono dunque funzioni del valore 
di y, o viceversa. 

Se si volessero effettivamente trovare (pioste fun- 
zioni, basterebbe risolvere rispetto ad ir la equa- 
zione jp (^ J/) — la quale darà in j^onerale almeno 
duo valori di oo per ogni valore di ?/, darà cioè luo^^fo 
a duo funzioni di y, i cui valori ])er o<?ni o^ corri- 
sponderanno ai limiti del campo di variabilità di x. 

In particolare, i limiti di variabilità riescono co- 
stanti, quando l'area data ò un rettanj^olo coi lati 
paralleli agli assi coordinati di x e y. Allora por 
ogni y i limiti di variabilità di x sono sempre i 
medesimi. 

In questo caso noi possiamo dire che la funzione f 
ò definita o si vuol considerare fra limiti costaufi 
di variabilità di x e y, per es. da x = a sino ad 
X = b e da y = a sino ad y ^^ b\ 

Dividiamo l'area data in un numero arbitrario 
di parti, e tale divisione la possiamo fare con una 
legge qualunque. 

Per es., per fissare le idee, si i)uò procedere così : 
Fra tutte le infinite y dei diversi punti dell'arca 
si consideri la minima e la massima, e sieno a\ // ; 
e cosi sieno «, ft, la minima e la massima '^. Si 
disegnino le rette y ■-= a\ y ^^ //, x = a., x -= h le 
quali formeranno un rettangolo nel cui interno e 
tutta compresa l'area data. Si divida l'intervallo 
a V in un numero arbitrario di parti, e (luello a h 
similmente. 

Menando pei punti di divisione delle rette v^^* 

ralìeìo agli assi, tutto il rettangolo y^ì^^wa. ^vsvsaò 

fa tanti rettangoli parziali ; e tv\tta Y ax^vv. x^à'eX^^'X. 



138 Capitolo IV. ~ § 1. 

anche divisa in tante parti di cui alcune sono ret- 
tangolari, e altre (quelle che sono situate prossime 
al contorno) sono parti di rettangoli. Di questi ret- 
tangoli consideriamo solo quelli che sono intera- 
monte interni all'area data. 

Se 5j 82..., \'^2 ,,.<, sono gli intervalli parziali 
in cui si sono divisi gli intervalli ah sull'asse di x 
e a' J' sull'asse di 2/, allora l'area di un rettangolo 
sarà data dal prodotto K^'s- 

Consideriamo un punto nell'interno di ciascun 
rettangolo parziale (5^ B'») e in esso calcoliamo il 
valore della funzione, che chiameremo /t-«, e for- 
miamo il sommatorie doppio 

il quale avrà un valore finito in qualunque modo 
si è fatta la scelta dei valori di /", e in qualunque 
modo si è effettuata la divisione. 

Facciamo ora , come si fa per la definizione di 
integrali semplici, tendere a zero gli intervalli 5, V 
mentre il loro numero lo facciamo crescere all'in- 
finito; allora il sommatorie doppio potrà tendere 
ad un limite determinato, che sia lo stesso qua- 
lunque sia la scelta dei valori frs e qualunque 
sia la maniera colla quale si fanno tendere a zero 
gli intervalli; so questo accade noi chiameremo 
quel limite V integrale (loppio definito della fun- 
zione f in tutta l'area data, e lo indicheremo col 
simbolo 



I \ fi.aeijVl^'*'^»' 



deHnizione di integrale doppio e multiplo, 139 



Come bì yede la definizione data ò la diretta 
estensione di quella già data {>er gli integi'ali seni* 
plici, e b1 possono poi fare dello considerazioni che 
sono le medesime di quelle fatte altra volta, o c^he 
noi solo accenneremo. 

La condizione necessaria e sufficiente por l'esi- 
stenza del limite del sommatorie ò che sia zero il 
limite 

lim ^ Dr8 5r 5% 

dove con Drs si indica V osciUazìone della fun- 
zione f nell'area (5r8'«). 

La dimostrazione di ciò si fa in una maniera 
perfettamente simile a quella tenuta nel § 1 del 
Cap. IL Di qui si ricava che sono integrabili: 

1. le funzioni continuo di due variabili ce y^ 

2. le funzioni discontinue in un numero finito 
di punti di linee del piano; 

3. le funzioni discontinue in un numero infi- 
nito di punti di linee, ma tali però che possano 
racchiudersi in aree la cui somma può rendersi 
piccola a piacere. 

Per intendere ora meglio la natura dell' inte- 
grale doppio definito, e per poter avere un mezzo 
per calcolarlo, facciamo vedere che relazione c'ò 
fra esso e gli integrali semplici. 

Per la costruzione dell'integrale doppio noi dol)- 
biamo fare un sommatorio doppio, nel quale dob- 
biamo passare al limite per 5,., l'g tendenti a zero, 
essendo poi arbitraria la maniera colla quale li 
facciamo tendere a zero. 

Ora Immaginiamo di effettuare prima \\ ^Qvevav^- 
torio rispetto alV indice r e poi quoWo t\«v^^^^o ^- 



140 Capitolo IV. — § 1, 



l'indice s. Vuol dire che allora noi sommiamo prima 
tutti i termini frsK^'s provenienti dai rettangoli 
situati in una striscia orizzontale cioè parallela al- 
l'asse di .r, (propriamente la striscia s'^^)^ e poi fa- 
cendo acquistare all'indice .s tutti i suoi valori, fac- 
ciamo la somma di tutti i termini elio si ottengono 
relativi allo varie strisce orizzontali. 

La scolta dei valori frs è anche a nostro arbi- 
trio ; ora noi possiamo in particolare scegliere tutti j 
questi valori in punti situati su rette parallelo al- | 
r asse di x e interne naturalmente alle varie striscie 
orizzontali. Esaminiamo allora il valore del som- 
matorio relativo ad una sola striscia orizzontale, 
per OS. la striscia .9''»«. Sia y (*) l'ordinata della retta 
interna a tale striscia e sulla quale scegliamo i 
valori di frs» 

Allora tutti i valori di f che consideriamo sa- 
ranno quelli della funzione di sola x 

f{xy(^)) 

che si ottiene dalla data ponendo y:=y(«ì. 
Il sommatorie rispetto all'indice r e relativo alla 

striscia s"'^' sarà 

r 

indicando con x^*") l'ascissa di un punto compreso 
nell'intervallo 5r. Questo sommatorie deve esten- 
dersi fra due limiti che dipendono dall'indice «, 
cioè dal valore dell'ordinata ?/(*) della striscia s""". 
Secondochè si considera un valore di y piuttosto 
nhe un altro , il campo di vaT\a\>\\\\ìi 3l\ x -^ 
comn abbiamo sviluppato 8\\\ pt\tvc\\ì\o ft\ k 






Definizione di integrale dopino e muUiido. 141 



paragrafo. Passando allora al limite solo in quel 
sommatorio seraplice, facendo cioè convergere a 
zero solo 1 S,. , è evidente per la definizione di in- 
tegrale semplice, che esso si muta in 

S's {fUcif<^^))dx 



;'s J/(.'rr;/«)) 



dove l'integrazione bisognerà estenderla fra duo 
valori di ^, che corrispondono alle ascisse degli 
estremi della striscia s'"^; tali due limiti saranno 
due funzioni di y che si ricavano dalla equazione 
del contorno ? (^ 2/) = o risolvendola rispetto ad x 
e ponendo y -=y ^""^ . 

Se ora formiamo il sommatorio di tutti i valori 
già ottenuti, estendendolo alle varie strisce oriz- 
zontali, cioè facendo variare l'indice 8, otteniamo 



S8's j fxy^'))dx 



e passando al limite per i Os.=: o si ha 

\ày \ f{^y)<J'^ 

dove la seconda integrazione rispetto ad y bisogna 
farla fra limiti costanti che corrisponderebbero allo 
ordinate della più bassa e della più alta striscia, 
cioè (essendo le strisce divenute infinitamente sot- 
tili) alle ordinate delle due tangenti orizzontali del 
contorno piano. 

Vediamo con ciò che l' integrale do^^Q <i^\\v 
sponde alla saooeBsione di due mtegT«i\\ ^^\sv^vì\^ 
di ani il primo è fatto fra limiti cVie ^owq l\v\m.wv^ 
di y, e il secondo fra limiti coataxvVv- 



142 Capitolo / F. - .s^ t 



Se l'area d'integrazione data è un rettangolo, 
coi lati paralleli agli assi coordinati, allora anche 
la prima integrazione si fa fra limiti costanti. 

È cosi che queste considerazioni si rannodano 
con quelle del § 8 del Cap. I. 

Se la funzione f(xy)ò integrabile, allora è evi- 
dente che il suo integrale doppio fra limiti costanti 
sia rispetto ad x che rispetto ad ?/, è eguale sia a 



J dy I clxfixy) 



a' a 



sia a 



J (lx\ dyfixy) 



a a' 



supposto che le ascisse e le ordinate del rettan- 
golo dentro cui si fa la doppia integrazione sieno 
rispettivamente a, h; a\ b\ 

Di qui si ricava che tali due ultime espressioni 
sono fra loro eguali; cioè come generalizzazione 
del teorema dell'integrazione sotto il segno (vedi 
Gap. I § 8) otteniamo che questa è i)09sibile quando 
la funzione data è tuia funzione integrabile di 
due variabili. 

Le considerazioni fatte per gli integrali doppi 
si potrebbero estendere senza sostanziali modifica- 
zioni agli integrali tripli^ quadrupli, ecc. in ge- 
nerale multipli. 
Ogni integrale m\i\t\p\o \\a e.\ì\ \^^\v\TKa\Nfò ^a.- 
rebbe analoga a quella data ^o^t«. ^^x i^^y \\!X»r 



^integrale multiplo funzione dei limiti, 143 



girali doppi) si potrà comporre mediante una sue? 
cessione di integrali semplici. Ci pare completa- 
mente inutile insistere su queste idee. 

§ 2. L'integrale multiplo come funzione dei limiti; 
sua definizione nei casi singolari. -— Dobbiamo ora 
per gli integrali doppi fare considerazioni analoghe 
Et quelle del § 3 del Cap. I ; dobbiamo cioè esami- 
nare la continuità e la derivabilità di essi consi- 
ierati come funzioni dei limiti. 

Consideriamo l'integrale doppio 

[^ I fv^,y)doody 

a' a 

love abbiamo voluto indicare con cr^ y i limiti su- 
t)eriori della doppia integrazione. 

Il valore di questo integrale riuscirà una fun- 
jsione dì ce e y^ che chiameremo <p {x y). 

Per esaminare la continuità di questa funzione 
formiamo 

p(a? + A,2/ + A:)-9(^2/)= 1 J ~J J 

a' a a' a 

3he può trasformarsi in 

r rif p+^i fx-^h ry r rx H* rx-{-h i 

af y a a' a x 

V+^ /"«+/» fy rx'\'h 



/y-\-k rx+h ry fj 

J "J J 



y a a' X 

i essendo iavertibile la successione flieWa ^vxfò ^cv- 



144 Capitolo IV. - § 2. 



tegrazioni nel secondo integrale, possiamo seri 

= J J "J J. • 



y a X a' 



Ora gli integrali da // a y + /j, e da ^^ a -c' 
sono, come si sa, delle quantità tendenti a 
(v. § 3, Cap. I), quindi l'ultima espressione 
vata, potendo considerarsi come somma di du' 
tegrali semplici di due diverse funzioni, estesi 
punto fra i limiti citati, tenderà a zero con 
tendenti a zero; ciò dimostra la continuità e 
fitozione 9 {x y). 

Passiamo ora alle derivate parziali di cp. 

Sapendo che l'integrale doppio non è che 
successione di due integrali semplici , e pot( 
poi permutare l'ordine delle due integrazioni, 
può considerarsi sia come un integrale rispetto 
variabile x^ sia come un integrale rispetto alla 
riabile y. Quindi volendo la derivata parziah 
spetto ad ^, noi considereremo la cp come uè 
tegrale rispetto ad rr, e per il noto teorema e 
derivazione degli integrali ricaviamo che se 

\ 

a' 

è una funzione continua di x, allora la cleri 
parziale di o in un punto x' è data da 



y 
f{xy)dx 



8? 



[f f(x,U.\_, 



tt' 



Uintegrale miiUiplo funzione dei limifì, 145 



Se ora noi supponiamo che la funzione f(xy) 
^ia una funzione continua delle due variabili xy^ 

f{x y) dy una funzione 



a 



continua di a?, o quindi essendo il suo valore per 
x~=x eguale al limite dei suoi valori per .^' ten- 
dente ad x\ e inoltre (v. § 7, Cap. I) tal limite 
essendo eguale all'integrale del limite della fun- 
zione, si ha semplicemente; 



8? 



-, =J fi^^'y)dij. 



a 



Analogamente 

8 ? _ p 



^-!= [^ f{xy')dx. 
dy } 



a 



Al solito ki condizione posta per /*, che sia con- 
tinua rispetto al sistema delle due variabili, ò una 
condizione sufficiente^ ma non necessaria. 

Colle condizioni x>oste sussiste poi ancora per la 
funzione 9 il teorema della invertibilità delle de- 
rivazioni. Perchè ò evidente che dalle formole di 
sopra si ricava 

TÌ--.-f{^'y') 






don dy 



-,^f{x^y') 



quindi le due derivate seconde aotvo eww\\!C\. 

Pascal, Calcolo integrale, ^^ 



146 Capitolo IV, — § 2, 

Possiamo ora passare a stabilire il concetto di 
integrale doppio nei soliti due casi singolari già 
considerati per gli integrali semplici, cioè il caso 
in cui la funzione diventi infinita in qualche punto 
o linea del campo d'integrazione, e il caso in cui 
uno dei limiti d'integrazione ò l'infinito. 

Il criterio che ci serve per la definizione in 
([uesti casi ò sempre lo stesso, cioè quello di con- 
servare la proprietà fondamentale della contimdtà 
dell'integrale. Quindi se la funzione diventa infi- 
nita in un punto allora chiameremo integrale doppio 
della funzione esteso in un campo comprendente 
quel punto, il limite (supposto che esista e che 
sia unico) dei valori dell' integrale in campi che 
escludono quel punto. 

Per esempio immaginiamo di circondare quel 
I)unto con un cerchietto, e di considerare poi il 
campo primitivo diminuito di questo cerchietto; 
facendo diminuire il raggio di questo cerchio, 
il limito del valore dell'integrale doppio, sarà il 
richiesto valore dell'integrale definito in tutto il 
campo. 

Ma qui capitano naturalmente tante distinzioni, 

perchè potrebbe accadere che il limite di cui si 

parla esiste avvicinandosi colle variabili a? /y al punto 

singolare solo per certe determinate direzioni, e 

non per tutte le direzioni, oppure che si ottenga 

un limite per certe direzioni di avvicinamento e 

se ne ottenga un altro per certe altre. In tali casi 

non esisterà propriamente l'integrale esteso a tutto 

jI campo; può accadere allora anche che esista e 

sfa finito il valore delV mlc^T^X^ e.«X^cÀ«X^ 'KV!^4\"axvte 

-/« duo integrazioni sexnpWcÀ, ^ x\q.w ^^\^\.^ vk^^ì^ 






Tj integrale multiplo funzione del limiti, 147 

lello dato dalla nostra definizione, e che bisogna 
•nsiderare come valore dell'integrale doppio. 
Non possiamo fermarci sui dettagli di queste 
nsiderazioni. 

Se poi il campo d' integrazione si estende all'in- 
ito allora per integrale doppio intenderemo anche 
limite dei valori degli integrali definiti in campi 
e man mano si estendono sino all'infinito, sup- 
sto che questo limite esista e sia unico qualunque 
- il modo col quale si fa crescere il campo al- 
ufinito. 

-Anche qui potrebbero farsi alcune considerazioni 
eciali che per brevità tralasciamo. 
§ 3. Trasformazione degli integrali multipli — 
ubiamo già visto a suo tempo (Gap. I § 6) come 
:fa a trasformare un integrale semplice; se cioè 
ha l'integrale: 



j 



Rdx 



ive R è una funzione di .-r, e si vuol trasformare 
un altro integrale colla variabile indipendente y 
gata ad oc da una qualunque relazione, allora 
sognerà moltiplicare la funzione sotto il segno 
ir la derivata dell'antica variabile rispetto alla 
lova. 

Vogliamo fare lo stesso nel caso degli integrali 
ultipli. Si abbia cioè un integrale multiplo: 






R x^ a?2 . . . ^^'n )d00^d0L'2, . .dXn 



i voglia trasformare in un iutegTa\<ò c,oV\fò n^wv.- 



}j^ Capitolo IV. — (g >>> ' g 

148 Capitolo TV. — j? S. 



bili indipendenti non più Xi ^2.- ^n , ma pi j/s-* y« Io- 
gate alle a? da w date relazioni. 

Si abbiano le formolo che esprimono le x me- 
diante le ?/, cioè 

^2 - ^2 (2/1 2/2 •• • yn) 

(i; 



OJn = Xn (Vi 2/2 .• . 2/») 



Nella seconda di esse sostituiamo in luogo di //, 
il valore ricavato dalla prima eciuazione, e allora x^ 
resterà espresso mediante x^ y2-" y» ì P^i "®^'^ 
terza poniamo in luogo di i/i 2/2 ^ valori ricavati dalle 
due prime equazioni ; e allora ar^ resterà espresso me 
diante x^ X2 2/3 .. . t/n , e così continuiamo, sino a ch< 
in tal maniera esprimeremo Xn mediante ìTi rr2 . . 

Si hanno cioè le seguenti formolo: 

^1 = A (^1 y-'" ì/n) 
^2=/2(^i2/2 2/y..-.Vw) 



iCn = fn (OOi ^2 • • • '"^n-ì ÌJn) 

Cominciamo ora nell'integrale multiplo a fan 

l'integrazione rispetto a ^«, e mediante l'ultimi 

di queste relazioni introdurremo la variabile ?/« il 

luo^»"0 della variabile Xn , considerando tutte le altn 

variabili per un momento come co^\.«a\\à\ t^Q\^' 



Tr<isformazione ileyli InteyrnH muUipìi, 14J) 

nostro integrale diventa 

R - — d oc^ d X2 , > , d '7),i 1 d tjn 

j . d!/n 

Possiamo ora analogamente, mediante la iK?nuI- 
tima delle formole precedenti, introdurre la varia- 
bile ?/n - 1 in luogo della variabile ar/* - 1 , e V in- 
tegrale allora diventa: 



j 



n d fn—ì d fn j ^ j ^ , , 

ifz ^ — dOL\dx^..,dìjn-'\dyH 

oyn-i oyn 



e così seguitando, si ha infine che il nostro inte- 
grale si trasforma in: 

li - — — . . . -— d y^ diUj,,,.d xn 

ovi oy-i oyn-ì dyn 



j 



e cosi otteniamo T integrale trasformato nelle va- 
riabili y. 
Per eseguire questa trasformazione occorre co- 
: noscere le funzioni A /^ . . . fn , le quali non sono 
i propriamente quelle che esprimono le antiche va- 
riabili mediante le nuove, e che sono direttamente 
date, ma si ricavano da esse con eliminazioni o])- 
portune di variabili nel modo indicato. Però na- 
turalmente si presenta ora la questione di operare 
la trasformazione dell'integrale facendo a meno 
della formazione delle funzioni /*, ma operando di- 
rettamente sulle funzioni eolle quali le x si espri- 
mono mediante le y. 

Consideriamo il determinante, fansioudlc q jvxco- 

hiano delle x rispetto allo y, cioè \\ iVel^Tvevvcv^xA.^ 

Armato colle derivate prime dello x ràve^;^^ «^^^ \\ 



150 



Capitolo IV. — i? 3. 



(vedi Calcolo differenziale^ Cap, V § 2). 



7 = 



dyidvi" dyn 



dx d^n d Xn 



dvidV'ì" dyn 1 

Ora si può subito dimostrare che il prodotto 

dyydy^' ' dVn 

pel quale, come abbiam visto, si dovea moltipli- 
care la funzione che sta sotto il segno di integrale, 
per avere V integrale trasformato, non è altro che 
tale determinante funzionale \ e quindi allora pos- 
siamo stabilire il risultato, che per avere Vintegralt 
trasformato basta moltiplicare la funzione sotto il 
segno^ X>er Vjacohiano delle antiche variabili con- 
siderale come funzioni delle nuove. 

Cominciamo infatti a stabilire la seguente for- 
mola riguardo alle derivate delle x: 

dxi __dfi ,dfi d(c, ^dfi_d^ 

d fi d xi-i 



dyj 



+ ...+ 



-r 



dxi-\ dyj 

dove nel primo membro s'intende la derivata di Xi 
rispetto ad ;'// ricavata dalle formole esplicite, (1) 
nel secondo membro le derivate della /", s'inten- 
dono ricavato daWe ìotiwcìVcì ^. ^ 
Se l'indice j è mfeTiov^ ^^ V ^X^x^^^Y^xssaXKt 



•■«•-'; ^ - - 



Trasformazione degli inteyvali mitltiplL 151 



nine del secondo membro è zero; poiché la prima 
Ielle (2) è la stessa della prima delle (1), cosi le 
lerivate di Xi sono esattamente eguali alle dori- 
ate di fi . 

Ora dalla teoria del prodotto di due determi- 
lanti, tenendo presente la formola precedente messa 
otto la forma 

_dfi_d_o^i _ dfi_ d^j __ _ 

— ^Z"*' ^ ^^'-1 , d^ _ d fi 
d^i-i dyj dyj dyj 
i ricava senz'altro la eguaglianza: 






dVn 

* d Vn 






+ 1 

'éfn 

dea. 



+ 



0... 



1 ...0 



d fn d fn 



.+ 1 



df, a A 



..0 



0...0 






* • 



dfn 
dVn 






dy» 



125 Capitolo IV. — § 3. 



Ma il secondo determinante del primo membro 
ò uguale a 1, dunque il prodotto 

dftdf^ dfn^ 
d?/i dìu" dyn 

h uguale al determinante funzionale, come si vo- 
leva dimostrare. 

Resta COSI completata la teoria della trasforma- 
zione di un integrale multiplo. Occorre appena no- 
tare che [)el caso di ;ì = 1, cioè pel caso di un in- 
tegrale 8em[)lice, la formola di trasformazione ora 
data coincide con quella già nota per gli integrali 
semplici. 

Facciamo un'applicazione di queste formole. Si 
abbia l'integrale doppio 



il 



f{xy)divdy 



si vogliano trasformare le variabili ^y in altre 
(lue variabili p, <p, mediante le formole che danno 
la trasformazione di coordinate cartesiane in coor- 
dinate polari^ cioè 

'' - p cos 9 
// - psencp. 

Il determinante funzionale ò 

■-- r,— coscp sencp 

^ o — P sen ? p cos ^ 



Trasformazione degli integrali multipli. 153 



L'integrale trasformato è dunque 

f{p cos cp, p sen ^)pdp d^- 



jj 



§ 4. Proprietà degli integrali doppi. — Teorema 

di Green. — Noi sappiamo che per le funzioni con- 
tinue /^(^ic^ la ricerca dell'integrale semplice indo- 
finito si riduce a quella di un'altra funzione F(x) 
la cui derivata sia f (-r)^ e trovata poi tale fun- 
zione, la ricerca del valore di un qualunque inte- 
grale definito in un intervallo si fa formando la 
differenza fra i valori di P (x) nei due estremi del- 
l' intervallo j per modo che il valore deW integrale 
definito non verrà a dipendere che dai valori di 
F (x) nei due estremi deW intervallo e non dai va- 
lori di F (x) negli altri punti delV intervallo stesso. 

Vediamo ora che cosa c'è di analogo a questo 
per il caso degli integrali doppi. 

Si abbia l'integrale doppio 



// 



f{xy)dxdy 



esteso a tutta un'area piana, il cui contorno abbia 
per equazione ^ (xy) = o. Per fissare le idee sup- 
poniamo che questo cortorno sia formato di una 
curva della forma di un ovale, per modo cioè che 
ogni retta lo incontri al più in due punti. Facendo 
la prima integrazione indefinita rispetto ad x ab- 
biamo una funzione di ir e y, nella quale dobbiamo 
porre per limiti le due funzioni di y che al rvc^^v.- 
yerehhero da f (^y) = o risolvcnào tvyi^^^vv. ^o^^- 
zione rispetto ad x. Sieno a; = ^^ <.yS^ x — ^^^^ 



154 Capitolo IV. — § 4, 

(lueste due funzioni e propriamente per ogni va- 
lore di ?/, la prima dia il valore dell'ascissa del 
punto piti a sinistra^ e la seconda dia il valore 
dell' ascissa del punto più a destra ; e sia F (oc y) 
V integrale indefinito ottenuto facendo l' integra- 
zione rispetto ad a?, per modo che 

Bisognerà allora integrare rispetto ad y la espres- 
sione 

i^(?2(y), 2/)-^(?i(2/X 2/). 

Questa integrazione bisogna estenderla fra due 
limiti che sono rispettivamente le ordinate del punto 
più basso della curva e del punto più alto, cioè 
di quei due punti in cui le tangenti sono parallele 
all'asse di oc, Siene y^y> rispettivamente queste 
ordinate; noi allora dobbiamo calcolare 



I 



Vi j y% 

I 



y\ y\ 

cioè, scambiando i limiti nel secondo integrale, 



f' V (=P3 {y\ d y + r* F (?x (2/), y) d y. 



Pi y-ì. 



Ora la somma di questi due integrali può inter- 
pretarsi nel seguente modo. 
Consideriamo T integrale 



\ 



F (,'x \^ d y 



Proprietà degli infef/rali doj)pi. Ifif» 



dove in luogo di x si debba intendere mosso il va- 
lore ricavato dalla equazione 9 (ìtj/) - o, e imma- 
giniamo che questo integrale si debba estendere 
a tutte le coppie di valori di xy soddisfacenti 
quella equazione, cioè si debba estendere a tutto il 
contorno delVarea data. Spezziamo in due parti 
questMntegrale ; partiamo dal punto più basso 
della curva cioè da quello di ordinata y^ e por- 
correndo il lato destro della curva (cioè (]uello i 
cui punti hanno le loro ascisse date dalla funziono 
92 {y)) andiamo sino al punto più alto la cui or- 
dinata è 2/2; ciò facendo veniamo a calcolare l'in- 
tegrale 



i 



.Vi 



*i^(?2'2/), ìl)dy. 



Poi proseguiamo il cammino da y^ sino ad //i 
ma percorrendo il lato sinistro della curva (cioè 
quello i cui punti hanno le loro ascisse date dalla 
funzione 91 ^)\ 

Si ha così l'integrale 



f 



' Fi^.iy). y)dy. 



La somma di questi due integrali sarà l'inte- 
grale esteso a tutto il contorno dell'area. Risulta 
anche senza indeterminazione la direzione colla 
quale si deve percorrere il contorno detto. Noi 
siamo partiti dal punto più basso e abbiamo per- 
eorso la parte destra del contorno, e \)Q\ «MvivjyxvYò 
seguitato nello stesso senso. Dvxnqvxei xl conlovuo 



15G Capitolo TV. — § 4. 



bisogna percorrerlo in modo che l'area resti sem- 
pre a sinistra. 
Possiamo dunque scrivere la forinola 

r 

f {x II, il a; d il ^= I F{x y) d y 

(love nel primo membro si intende l'integrale doppio 
esteso all'area data, e nel secondo membro s'in- 
tende l'integrale semplice esteso al contorno del- 
l'area. Si ha così la trasformazione di un inte- 
grale doppio^ in un integrale semplice^ e il valore 
dell'integrale doppio dipendente solo dai valori che 
la funzione P(xy) Zia sul contorno dell'area e non 
nei punti interni all' area stessa. Si ha così la per- 
fetta generalizzazione della proprietà già citata sul 
principio di questo paragrafo. In ciò consiste la 
formola di Green che può porsi poi anche sotto 
altre forme. 

Nello stesso modo con cui abbiamo ottenuto la 
formola precedente, assumendo la x per prima 
variabile d'integrazione, così scambiando le due 
variabili si ha analogamente 

I f{xy)dxdy^ - I F'{xy)drj 

dove gli integrali hanno gli analoghi significati 
come sopra, e inoltre 

// segno negativo del secowOio m^\«^xQ> %\ ^XXSfò^Nfe 
volendo sempre immaginata c\\^ ^V ci.o\i\»QrK^Q i\^ 
percorso nello stesso seuBO à\ v'^Vm^. 



Proprietà degli integrali doppi. 157 

Le due forinole possono anche scriversi 

/Jìf "■'•"■" =-/'""■'■ 

dove le due funzioni 'i^T^'' sono legate dalla rela- 
zione 

d'x di/' '' 

Del resto queste due formole sono fra loro in- 
dipendenti, e le due funzioni FF' potrebbero anche 
non essere legate da quella relazioue. 

In tal caso si ha la forinola (sottraendo le due 
formole di sopra) 

intendendo per FF' due funzioni qualunque, fra 
loro indipendenti, di xy. Sotto questa forma può 
porsi la formola di Green, 

Se in particolare FF' sono due tali funzioni 
che per tutti i punti delVarea data sodditi fanno 
alla relazione 



dF dt 



?i 



ti primo membro della formola siipeviore è zevo <t 



158 Capitolo IV. — § 4. 



(jìiindi si ha 

( {Fdy-\-F'dx) = 

cioè. V integrale di Fdy +-P'dx esteso a tutto il 
contorno delVarea è identicamente zero. 

Da questo teorema ne possiamo ricavare un altro. 

Consideriamo due qualunque punti dell'area o 
del contorno, e sieno rispettivamente di coordinate 
^0 2/0 ? ^ V- Diseguiamo una linea tutta compresa 
neir area e che vada dal primo punto al secondo. 
Se noi disegniamo poi un'altra simile linea che 
torni dal secondo punto al primo, è naturale che, 
poiché per tutto il nuovo contorno che così si è 
formato e per l'area che vi è racchiusa, valgono 
le condizioni di sopra, si avrà che l'integrale 



J 



{Fdy-^F'dx) 



esteso a questo nuovo contorno deve essere zero, 
e quindi l'integrale esteso da {xo po) a (xy) lungo 
la prima linea sarà eguale a quello che va dagli 
stessi limiti ma lungo la seconda linea; il che si- 
«j^nifica che per qualunque linea compresa nelVarea^ 
si giunga al punto (x y) si ha sempre lo stesso va- 
lore per V integrale. Fissato dunque un limite in- 
feriore, l'integrale potrà definire una funzione di 
un punto qualunque appartenente all' area. 

Si può dimostrare che questa funzione ha per 
derivate parziali rispetto ^à. x ^ 'y \\^^^\.^\^^\ss.^\i^^^ 
le /unzioni F F date, e cvmw^V V^ >è^^ ^\^^t^s^- 



Proprietà degli Integrali doppi. 159 



ziale totale la espressione 

F' dx-\- 1 dy. 

Rosta così risoluto il problema: D(de due fan- 
zioni PP' tali che 

dF ^dF' 

d ^ dy 

trovare la funzione le cui derivate parziali sieno 
eguali alle funzioni date. 

Questo problema si chiama il problema dell' in- 
tegrazione del differenziale totale, e noi avremo 
occasione di tornarci. 



146 c^^u^j^ jrr 



^^ 




CAPITOLO V. 

INTEGRAZIONE DEI DIFFERENZIALI TOTALI. 



Abbiamo visto che se f(x) è una funzione con- 
tinua, allora il calcolo dell'integrale indefinito 



J 



f (x) d X 



si riduce a calcolare un'altra funzione cp (x) la cui 
derivata sia proprio f{x)^ o, ciò che è lo stesso, 
il cui differenziale sia f{x)dx. 

Quindi se f {x) è continua il problema di tro- 
vare una funzione il cui differenziale sia f(x)dx 
si riduce al calcolo dell'integrale indefinito corri- 
spondente alla funzione f. 

Vogliamo estendere questo problema al caso di 
un numero qualunque di variabili. 

Se abbiamo una funzione 9 (a?i 1/2 . . .) di un nu- 
mero qualunque di variabili, sappiamo che il dif- 
ferenziale totale è: 



Integrazione dei diffeycnzidli foUdì, 101 

Ora ci proponiamo il problema inverso. Data 
una espressione di qaesto tipo, e sia: 

X^dx^-V X^dx^^ , . , V Xnd Xn (1) 

dove le X sieno funzioni continue e finite di tutte 
le yariabili cc^x^. . , Xn , come si trova una fun- 
zione 9 di tutte queste variabili tale che il suo 
differenziale totale coincida con quello dato? Ed 
esiste sempre una tale funzione? 

In un problema di questo genere siamo anche 
capitati per incidente alla fine del capitolo pre- 
cedente. 

Noi troveremo che non è sempre possibile tro- 
vare una tale funzione <p, ma perchè essa esìsta, 
le funzioni date X debbono soddisfare a certe re- 
lazioni. 

Incominciamo prima di tutto col supporre che 
le X sieno finite e continue, e lo siano anche le 
loro derivate rispetto a tutte le variabili. Inoltre 
se esiste ^{x^x^. .. Xn ) il cui differenziale totale 

0^1 0^2 V Xn 

debba coincidere con (1) è necessario che 

d""^ — -^1 ' Q^ — -^2 ì • • • ì wzr " ^^'* 

e considerando p. es., solo le prime due dì que- 
ste formolo, e derivando la prima rispetto ad oc^ e 
la seconda rispetto ad Xi si ha : 



g'f _JX, 8M _^^^ 



^ 



PAgOAL^ CtOcplù inUgralt. ^^ 



146 



Cavitolù TV ^ 



162 Capitolo V. 



Ora avendo supposto che le X sieno finite in- 
sieme colle loro derivate prime, si ha in virtii delle 
(2) e (3) che sono finite e continue le derivate di 
1.** e 2.° ordine di ?, e quindi sono soddisfatte le 
condizioni perchè le derivazioni rispetto alle due 
variabili Xi x^ sieno invertibili, cioè perchè sia 
(v. Calcolo diif*^ Gap. II, § 7) 

onde possiamo dire che sarà anche: 

8 Xi 3X2 

E chiaro che gli stessi ragionamenti possono 
farsi prendendo a considerare due altre qualunque 
delle X. Onde accanto a questa condizione se ne 
hanno tante altre tutte dello stesso tipo, combi- 
nando le X a due a due in tutti i modi possibih; 

cioè si hanno in tutto — relazioni. 



Possono esprimersi colla formola generale: 

d Xr d Xs 



(4) 



dove r, s prendono tutti i valori da 1 sino ad w. 

Dobbiamo ora passare a dimostrare che tali 
condizioni sono anche sufiìcienti ; cioè che se esse 
si verificano, allora esisterà sempre la funzione y. 

Infatti consideriamo per un momento come co- 
stanti le Xo. . . Xft e calcoliamo: 



1 



X^d x^ 



Integrazione dei differenziali totali, 163 



il quale esisterà sempre perchè X^ è continua. Sia 
Li rintegrale indefinito. Noi possiamo aggiungervi 
una costante arbitraria rispetto alla variabile cc^^ 
epperò tale costante potrà essere una funzione 
delle altre variabili. Allora l'integrale sarà rap- 
presentato da: 

9 = Li (a?i ìTj . . a?» ) + ^1 ( iPa a?3 . . . Xn ) 

e resta a vedere se si può determinare la '|i in 
modo che © sia il richiesto integrale del differen- 
ziale totale. 
Ora il differenziale totale di cp è: 



\d Xn Xn I 



Se questo differenziale deve coincidere col dato 
(l) è necessario che la loro differenza sia zero, e 
osservando eh*; 

dLi_ 



dxi 
si ha che deve essere: 



= x,, 






0X2 dXg 8Xn 



cioè la funzione ^, delle sole Yaxia\i\Vv 00.^ , , , Xu 



146 



Canitoln Ty 




164 Capitolo V. 



deve essere determinata in modo che il suo diffe* 
renziale totale sia: 

(x,-^\dx,+...-¥(x„~y^\dXn (5) 
\ ^2/ \ OXn t 

Siccome +i non contiene la variabile Xi , così è 
chiaro in primo luogo che in questa espressione 
non deve comparire più la variabile x^ . Inoltre 
debbono senz'altro verificarsi per questo nuovo 
differenziale totale le condizioni da noi già rico- 
nosciute ìiecessarìe per Tintegrabilità. . 

Ora è facile dimostrare che in (5) non vi com- 
parisce che solo apparentemente la variabile ^i- 
Infatti facciamo la derivata rispetto ad x^ di uno 
dei coefficienti: 



ir d Li 

dCCr 




Si ha, derivando: 




d Xr d d Li 




dOTi d^i dCCr 




cioè: 




d Xr d d Li d Xr 


dx. 



(6) 



dXi dxr 9 a?! dXi dxr 

che è zero in virtù delle condizioni a cui suppo- 
niamo che soddisfino le X. 

Dìmoatriàmo ora che in. ^5^ aoivo soddisfatte le 
con4wQni di integrabilità. 



Integrazione dei differenziali totali. 165 
Si ha in forza delle oondìzioni poste: 

d Xr d d Li 



dXa d^8 dOOr 






e con ciò è dimostrata anche la seconda parte del 
nostro assunto. 

Allora sul differenziale (5) possiamo riapplicare 
daccapo il metodo già adoperato e così troviamo 
che ^1 sarà eguale ad una funzione 

piii una costante rispetto a ^2 ^]^^ potremo porre 
eguale a ^2(^3 • . • ^» )• 

Così seguitando ci riduciamo ad un differenziale 
contenente una sola variabile oon , e che è quindi 
sempre integrabile. 

Si avrà iofine: 

^ = Li f L2 +•••+-''»» + costante 

dove la costante ora lo è nel senso assoluto, cioè 
costante rispetto a tutte lo variabili. 

Si vede adunque che senza servirci di altre con- 
dizioni che di quelle poste nella formola (4) pos- 
siamo giungere alla ricerca di cp. Con ciò le (4) 
sono anche condizioni sufficienti. 



Come esempio prendiamo a considerare. 



166 Capitolo V. 



È facile vedere che la condizione d'integrabi 
è soddisfatta. 
Infatti 



?/ 1 2y^ X 



2 



Por effettuare l'integrazione calcoliamo: 



/: 



■?/ OC 

.— — i dcc== arco tang— + ^j [y) . 

Formando ora l'espressione: 

l<^ y \ d ^ co 

[2y - -^ — ^|-3-arctg- — 
\ ^ x^-^y^} dy ^y 

(co \ X \ 
^y- 7;rr-2 + 2 ^ = 2 y 



1+ 2 
y^ 



e integrando si ha: 

2 ;?/ r/ ?/ — ?/2 



J 



onde infine l'integrale è: 



arco tang H J/^ + costante. 

y 



CAPITOLO YI. 



GEOMETRIA INTEGRALE. 



§ 1. Area delle curve piane. — Sia data una 
curva piana di equazione: 

e consideriamo due punti AB di essa, di ascisse a,S. 
La porzione del piano compresa fra la curva, 
Tasse di w e le due ordinate estreme dei punti 
A^B^ la chiamiamo Varea cieli a curva. 



n a 



m 



n' 



"^m 



oc 



n 



p r q 



X 



Figr. 1. 



È necessario però fissare con p\ù px^e.mwv^ \^ 
detìnfzione di area. Perciò dW\d\axt\o V \w\.«t^^^ 



. I.UIBM 

168 Capitolo VI. — § 1. 

a p in intervalli parziali K , e per ogni punto di 
divisione meniamo l'ordinata corrispondente. 

Uno di tali intervalli sia pq Ai ampiezza Sr e 
le ordinate corrispondenti incontrino la curva nei 
punti w, m'. 

Scegliamo un punto qualunque a sulla curva, 
compreso fra m e m' e da esso meniamo la n n' 
parallela ad a? e formiamo il retta;ngolo n n' pq 
la cui misura è np.pq cioè f{x)K cioè il pro- 
dotto di 8r per il valore che la funzione f ha nel 
punto a. 

Facciamo la somma di tutti i prodotti analoghi 
e poi facciamo tendere a zero gli intervalli S,. . 
Allora per la definizione di integrale definito si 
ha che il limite di tale somma (se esiste) non è 
che l'integrale definito da a a ^ della funzione f{od). 

Ora /*(^) è l'ordinata della curva data, e noi 
supporremo che essa sia continua o al più abbia 
un numero finito di punti di discontinuità. Ri- 
cordando allora che per una funzione continua o 
avente un numero finito di discontinuità l'inte- 
grale definito esiste sempre, si ha che 

lim ^f{x)K 

cioè 

lim 2 (m n' p q) 

esiste ed è determinato. 

Tale limite lo chiamiamo Varca della curva. 

In questa maniera veniamo anche a vedere come 
il calcolo integrale ci dà un mezzo per calcolare 
l'area; basta cioè calcolare l'integrale definito: 

f [x) d X 



f 



a 



Area delle mirve piane. 169 



o anche: 

y dx 






a 

essendo: 

Se lasciamo indeterminato il limite superiore 
p ^ OD e lasciamo fisso il lìmite inferiore, il che 
equivale a lasciar fissa la prima ordinata estrema, 
e a far variare V altra, allora per ogni posizione 
di quest'altra ordinata si ha un valore dell'area, 
cioè l'area ti può considerarsi funzione di cr, 

/x rx 

f{po)dx^ I ydy, 

a a 

Essendo la f una funzione continua, noi sap- 
piamo che la derivata della funzione integrale è 
precisamente la funzione sotto il segno, onde pos- 
siamo conohiudere che la derivata dell'area rispetto 
ad X non è altro che il valore delVordinata della 
curva. 

Per questa analogia che c'è fra il calcolo delle 
curve piane e gli integrali semplici delle funzioni 
continue, tali integrali si chiamano anche quadra- 
ture^ giacché si suol dire quadrare una curvatura 
piana il calcolare la sua area. 
. Passiamo ad alcuni esempi: 

1.* Si abbia una iperbole equilaterale la cui 
equazione riferita a' suoi assintoti è, come è noto, 

X y = m^ 
essendo m^ una costante. 



-rji^* 



170 



Capitolo VI. — # 1. 



Vogliamo calcolare Tarea yl J5 a p che avrà per 
equazione : 



u 



Essendo 






a 



u 



Cd oc 
1^ = ^''^ 



X 



CG 



si ha 




Fife'. 2. 



u - m'^ (log p — log a) = m^ log 



P 



Ora supponiamo in particolare che la costante 
m^ sia i, e che A sia il vertice dell'iperbole. Al- 
lora a (ascissa del punto A) sarà i, perchè nel ver- 
tice dovendo essere x^ y uguali, e dovendo essere 
uguale ad / il loro ptoAoVlo^ ^x^'à^xsxsa ^\ ^«al 
sarà /. 



Area delle curve piane. 



171 



Onde resta: 

w = log p 

eioè V area è misurata dal logaritmo neperiano 
delV ascissa p. 

Per questa ragione i logaritmi neperiani si chia- 
mano anche iperbolici. 



2.** Si abbia il cercliio: 

w^ + y^ = z^ 

e si voglia calcolare l'area SOJ^Q. 

V 




^ 



Fiff 3. 



Dobbiamo calcolare: 

dx 



\ y dx= [yj 



r^ — x^ dx 



dove i limiti sono da ^ = sino ad oo — Q che 
lascieremo indeterminato, cioè 8criyeT:^v\\Q\ 

"a; 



1 v/ ^^'^ — ^^ d ce- . 



•-■•«•-r"-r 



172 Capitolo VI. - § 1. 

Calcoleremo prima l'integrale indefinito, e poi 
ponendo in esso una volta per x il valore oo e poi 
per X il valore zero e sottraendo i due risultati 
avremo l'integrale definito. 

Per calcolare l'integrale indefinito usiamo prima 
la formola d'integrazione per parti e abbiamo 

E inoltre: 

x^dx_ (2) 

e sommaudo (1) con (2) si ha: 



_ 2 p dx _ r x^di 



/ 



1 fi 

\/ r^ — x^dx = — X y r^ — x^-\ 



X 

are sen 



2 x r 



Poiché per ^ = il secondo membro è zero, così 
questo risultato rappresenta esattamente anche 
l'integrale definito da a x. 

Si osservi che poiché il triangolo P ^ ha proprio 
per misura 



X . 

— yjr^ — x^ 

così si ha che l'area del settore circolare OP 
è data da: 

r^ X 



2 



arco sen 



Area delle curve piane. 



173 



3.^ Si voglia ora calcolare l'area di una curva 
di equazione: 

dove n^m sono due numeri razionali qualunque. 

Le curve rappresentate da queste equazioni sono 
dette in generale parabole. 




X 



Fiff. 4. 



Calcoliamo OPQ. Si ha: 



/•« Jl^ fx 



m 



X dx = 



1 !!•.+! 

p X 



m-hn 



n 



m -{- n 



xy 



doè ricaviamo il risultato, che Tarea parabolica 
P Q^ sta air area del rettangolo OSPQ = xy 
'^mià n sta ad m + n. 



174 



Capitolo VL - !? 1. 



Quindi se dal rettangolo togliamo Parea pa- 
rabolica abbiamo 



\ m-t-nj n 



m 



OSP = 



m 



m + n 



m 4- w 



xy 



xy 



e quindi 



OPJl_ n 
OSP~~ m 



cioè la parabola divide il rettangolo S PQ nel 
rapporto di n a m. 

Nel caso della parabola conica n = 2, m m / 
si torna ad un teorema noto di Geometria analitica. 
4.** Consideriamo ora le curve di equazione: 

^„t yn-— p 

Tali curve si chiamano iperboli^ e hanno come 
caso particolare l' iperbole equilaterale ordinaria 
(juando cioè n = m - 1. 

Supponiamo n > m. 

Allora si ha: 



J ydy =p'' j 



X = 



n 



n — m 



1 

n 
p X 



Sii 1 



i) 



o 



n 

n — m 



xy 



Di qui si ricava intanto che l'area compresa fra 
J'asse di ?/ e V ordinata P Q ^e>a>a^TL^ «v ^'«X»^^ 



Area delle curve piane. 



175 



fino all^nfinito perchè la curva incontra Tasse di 
y airinfinito, (Tasse di y è un assintoto della 
curva) pure tale area ha una ampiezza finita. 




Fiff. 5. 

Inoltre togliendo da tale area quella del rettan- 
golo xy si ha: 



area(fiiPoc)=( i\xy= - — 

\n — m I n — 



m 



ccy 



e quindi 



QPoo ^ n 

S Poe m 



cioè anche qui si ha un teorema analogo a quello 
del caso precedente. 

5."* 81 voglia ora l'area delVellisae; 



176 



CapUolo VI. - § 1. 



Si deve calcolare 



r 



ydx 



a J 



dx. 




X 



Fig. 6. 

Ora l'area corrispondente al cerchio di raggio 
-4 — a cioè l'area B' P Q non è altro che: 



r 



si a^ — x^ dx 



o 



dunque 



OBPQ 
OB'F Q 



a 



Quindi per trovare l'area del quarto dell'ellisse 
non c'è che da troyat© l'area del quarto di cerchio h 



Area delle curve piane. 



177 



che è -7- ir a^ e moltiplicarla per — , il che ci 
4 a 



dà 



w a i. Onde l'ellisse ha per area 

i: ab. 



6.® Passiamo ora a studiare una curva assai 
interessante che gode di proprietà assai notevoli, 
la cosiddetta cicloide. 




M 



OT 



N 
Fig. 7. 




Ecco la generazione meccanica di questa curva: 
Immaginiamo un cerchio che rotola su di una 
retta fissa. 

Uno de' suoi punti P comincia coli' essere il 
I punto di contatto del cerchio colla retta, poi si 
[ eleva, e descriverà una curva come PM S^ e 
I poi se il cerchio continua a rotolare, descriverà un 
E altro ramo simile, e così all'infinito. 
K Vogliamo prima di tutto trovare le coordinate 
* 'U un punto qualunque P della cicloide. 

Scegliamo per asse di ce la retta su cui rotola 
Gerchio e per asse di y la retta perpendicolare 
passante pel vertice della cicloiìVe. 

FàMOAL, Caìeolo integrale» V^ 



178 CapUolo VI. - § 1. 



Consideriamo la posizione del cerchio corrispon- 
dente al punto P. 

Congiungiamo P con C e chiamiamo 6 gl'angolo 
al centro PC Q. Allora : 

x=OT=OB-TB=^OB-PQ. 

Ora evidentemente la lunghezza rettilinea E 
è quanto l'arco circolare PJ5, cioè è uguale a r&, 
e inoltre P Q = r sen 0, chiamando r il raggio 
del cerchio, onde 

a? = I- (0 — sen 6) 

Inoltre 

y = PT=CB — CQ--r-r cos 



cioè 



y = r (i — cos 0) 

Se fra queste due relazioni si eliminasse si 
avrebbe l'equazione della cicloide. 

Vogliamo ora prima di tutto dimostrare una 
proprietà fondamentale della tangente alla cicloide. 

Se meniamo il diametro verticale A B^ e con- 
giungiamo P col punto pili alto A^ o col punto 
più basso B] abbiamo rispettivamente la tangente 
la normale alla cicloide nel punto P. 

Per questo basta far vedere che F angolo che 
PA forma con ^ è lo stesso dell' angolo che la 
tangente deve formare con x. 

Essendo evidentemente — l'angolo PA C m 

ha in primo luogo che l'angolo di P-4 con x è 

1 
il complemento à\ -tt- ^. 



Area delle curve piane, 179 



[ D'altra parte la tangente dell'angolo che la tan- 
I gente geometrica in P fa con a?, è data da -7— . 

' 0/00 

Poiché nel nostro caso ^, y sono espresse in 

funzione del parametro 0, per calcolare ,-- , cai- 

et X 

eoliamo il rapporto delle derivate: 

dy dx 

di ' iTo' 



Ora 



onde 



dy 11 

-r7 = r sen 6 = 2 r sen-r- cos - 
a 2 2 

dx 1 

3-T = r (1 — cos 6) = 2 r sen* -- 
d^ 2 



dy 1 , 

dy d^ 2 1 



dx dx 1 A , ^ 

due rangole della tangente con ce è proprio il 

1 
complemento di — 0, e quindi la tangente geo- 
metrica coincide con la retta P^. Si ricava allora 
anche che PB b normale. 
Passiamo ora a calcolare Varea della cicloide. 
Perciò facciamo un mistamente di assi traspor- 
andoli parallelamente a se steB^i \t\ Bx^B\|. 



180 



Capitolo VI. - §rl. 



Allora la nuova x sarà uguale all' anticj 
minuita di ^ = ^ r, e la nuova y sarà 
a 2 r diminuito dell'antica y, cioè si ha: 

00 = r {^ — sen ^) ~-ti r 

t/ = 2 r — 2 r sen^ -zr 
^ 2 

= 2 r cos^ () 



N 









da cui 



Fig. 8. 



-r— = r (1 — cos 0) r=z 2 r sen^ -^ ^ 
a 2 

.-— = —. 2 r sen — cos ^ 
a ^ i2 



Area delle curve piane, 181 



onde 



dx 1 . 
, -T-- sen - - 1— 



L'area B P Q h data da 







Se costruissimo per ,y e r/a; i loro calori 
prendendo per variabile indipendente 0, allora si 
avrebbe da integrare una funziono trascendente; 
invece possiamo far vedere che si ha da integrare 
una funzione algebrica purché si prenda per va- 
riabile indipendente la y. 

Allora la funzione da integrare è 

dx 
ay 

cioè si ha (poiché per a? = si ha anche y -^0)\ 
BPQ=-— (^\l2ry-y^dy. 

Ora se volessimo calcolare l'area BQ'P' rac- 
chiusa dal cerchio generatore della cicloide si ot- 
terrebbe esattamente la stessa formola, quindi 
possiamo concludere che 

B P (J'^Bii P 



182 



Capitolo VI. - § 1. 



■^■a-ir^ 



Onde tutta Farea BAM sarà uguale al rettan- 
golo di B Ae AM diminuito dell' area del semi- 
cerchio B F A cioè 

1 . 3^ 

2 



BAMr=^2r^T:- 



l>8 7C = -^ r^ n 



e quindi tutta V area della cicloide h St^t^^ cioè 
tre volte l'area del cerchio generatore. 



§ 2. Arco di curva piana. — Immaginiamo una 
curva continua e la cui tangente fra i punti A^B 
si muova con continuità o anche abbia un numero 



2/ 




Figr. 9. 

finito di punti di discontinuità. Allora chiameremo 
arco della curva fra i punti -4,5, la lunghezza 
di un filo flessibile che si adagi esattamente lungo 
la curva e termini nei due punti A^ B, 

Occorre però dare una definizione più esatta 
dell'arco di curva. 

Immaginiamo Tintervallo da « a P diviso in tanti 
intervalli parziali K e sia a V uno di tali inter- 
valli. 



\ 



Arco di curva puma, 183 



Meniamo dai ponti di divisione le diverse ordi- 
nate, cioè le parallele all'asse di y. Queste incon- 
treranno la curva in altrettanti punti come m, n. 
Scegliamo sulla curva un punto intermedio fra i 
due punti m,n e sia e e meniamo in esso la tan- 
gente alla curva, e limitiamola fra le due ordinate. 

Hipetendo questa operazione per tutti gli inter- 
valli Sr , e facendo la somma di tutti i tratti ret- 
tilinei come ai, il limite di tal somma, quando 
gli intervalli K tendono a zero e il loro numero 
cresce all'infinito, lo chiameremo Varco della curva 
fra A « B. 

Dobbiamo far vedere che, per le condizioni poste 
riguardo alla natura della tangente della curva, il 
limite, di cui si parla, effettivamente esiste. 

Prima di tutto cerchiamo di trovare la espres- 
sione analitica delParco. 

Il lato ab h uguale alla sua proiezione a' b' 

divisa per il coseno dell'angolo che a 6 fa coirasse 

^, cioè: 

, ab' 
ab = 



Ora 



cos 



1 

cosO = 



\l ì-\-tgH 



onde: 



a 6 = a' 6' v/ 1 -h tang^'o. 

Essendo la retta a b tangente alla curva nel 
punto e, si ha 



tongd 



\dx)i 



184 Capitolo VI. — § 2. 

intendendo con ( --— | la derivata calcolata p< 

punto e, che è un punto di ascissa intermedia fr 
i due punti a, b. 

Ponendo poi a' b' = 8r si ha che la definizion 
dell'arco è espressa dalla formola: 



\/' - m 



s = ]im^\ll + \^U: 



r 



Dove la somma bisogna estenderla a tutti g 
intervalli 5r da a a P, e il valore della funzioi 

bisogna prenderlo ogni volta per un certo pun 
la cui ascissa è compresa nell'intervallo 5,. . 

Si vede dunque che s resta definito precisameli 
mediante l'integrale corrispondente alla funzioni 



v/' - m 



cioè 



=f\/'-(fi)"-- 



a 



Poiché per ipotesi la tangente della curva 8 
muove anche con continuità o al piii ha un uu 
mero finito di discontinuità, così la funzione 



i 



-m^ 



Arco di curva piana. 185 



r 

i 



sarà una funzioue continua di a; o al più con un 
numero finito di discontinuità, e quindi sèi' in- 
tegrale di ana funzione continua o generalmente 
continua, e perciò esisterà sempre. 

Considerando fissa l'ascissa a o variabile l'altra 
ascissa P, e ponendo oo per p, si ha che l'arco s ò 
una funzione di a? e la sua derivata rispetto ad a; è: 



ds 
dx 



=\/' m 



donde: 

ds^=^dx^ + dy^ 

Kesta così risoluto il problema del calcolo del- 
l'arco di una curva. Questo problema si suol chia- 
mare quello della rettificazione delle curve, come 
il problema dell'area si suol chiamare il problema 
delle quadrature. 

Immaginiamo un arco e la sua corda rettilinea. 
Lasciando fisso uno degli estremi A e facendo 
avvicinare l'altro estremo ad A, l'arco e la corda 
diminuiscono indefinitamente. Si può dimostrare 
che il limite del loro rapporto è l'unità, proprietà 
di cui già ci siamo serviti nel calcolo differen- 
ziale. 

Infatti si può dimostrare che la corda contata 
dal punto fisso A considerata come funzione del- 
l'ascissa ha la stessa derivata di s nel punto A: 

Poiché cliiamando ^x, ^y le differenze fra le 
coordinate corrispondenti dei due ostue«v\ d^^Usy. 
corda ai ba: 



•^a;» + At/>' = \|i ^^ 



(S.X 



tLw^. 



186 Capitolo VI, — § 2. 

donde: 



\ 



-a> = \l'-'(^ì 



e facendo convergere A a? a zero tenderanno a zero 
anche ^ y o e, e ^ — i t~ tenderanno ai valori 

delle derivate delle funzioni y e e rispetto ad oc 
dunque la derivata di e rispetto ad a? è: 



dx V \dxì 



e quindi 



ds 

d s dx 

d e de 

dx 



La formola data sopra per il differenziale del- 
l'arco di una curva piana vale nel caso delle coor- 
dinate rettangolari. Nel caso delle coordinate obli- 
que formanti fra loro l'angolo <p si può trovare 
una formola analoga. 

Infatti col medesimo procedimento possiamo tro- 
vare che allora la derivata di s rispetto ad ^ è: 



dx V vci ^ 1 dx 



Arco di curva piana, 187 



e quindi: 



PaBsiamo al caso delle coordiuate polari. 

Siano p,0 le coordinate polari di M. Noi possiamo 
ricavare la formola per il differenziale dell' arco 
trasformando in coordinate polari quella ottenuta 
avanti in coordinate rettangolari. 

Le coordinate cc^ y si esprimono mediante p, 
colle formolo: 

^ = p cos 6 , jy = p sen 

donde: 

d 0?= — p sen 9 d 6 4- cos ci p 
d ,V = p cos 6 rf + sen d p 

e quadrando e sommando 

d 0?» -1- (/ y« = p2 d! 02 + d p2 

onde 



Mediante il differenziale d s possiamo esprìmere 
in modo assai semplice i coseni e seni di direzione 
della tangente alla curva. 

IniGEitti se è l'angolo che la tangente fa col- 
l'asse 0?, si ha: 

d V 
tang e = -^ 



i. 



188 



onde 



Capitolo VI. — § 2. 



sen = 



dy 



cos = 



dx 
yJlllFTTiP ~ ds ' 



^1 
ds 

dx 



Abbiamo detto avanti che Parco può conside- 
rarsi come una funzione dell'ascissa x. Viceversa 
dato l'arco (contato da una origine fissa) è deter- 
minato il punto della curva che è l'altro estremo 
dell'arco, e quindi sono unicamente determinate 
le x^y. Onde le due coordinate x^y possono con- 
siderarsi come funzioni dell'arco s che potrà dun- 
que assumersi come variabile indipendente. 

Allora l'equazione della curva potrà sempre 
immaginarsi sotto la forma: 

0? ^ <p (s) 
2/ = + (s) 

salvo poi a determinare nei singoli casi la forma 
esplicita delle due funzioni <p, '^. 

Dalle formolo superiori risulta allora che le 
derivate di x^ y rispetto ad s non sono altro che 
i coseni e i seni di direzione della tangente alla 
curva. 



Dalla formola: 

prendendo s per variabile mdi^ewAewtcì ^. differeu- 
ziando un'altra volta, e oaaer^«cwdio ci\vfò *A ^^^w?^ 



Arco di curva piana, 189 

differenziale di s deve ritenersi zero, si ha la 
forinola: 

djT d^x dy d^y 

d s ds^ d s d s^ 

che sussiste quando a?, y si considerano funzioni 
della variabile indipendente s. 
Passiamo a qualche esempio: 

1.® Vogliamo trovare T espressione dell'arco 
di cerchio di raggio r. 
L'equazione del cerchio sia: 

a?* 1- j^2'=^2 

Allora 

dy _ 2^ _ co 

dx" 2j/ ~ y 

onde 



ds J, 00^ 1 ,—, ^, r _ _ ' 

dx \ y^ y y • \r- — x^ 

Integrando si ha: 

s= r arco cos - -V C 

r 

Se vogliamo cominciare a contare T arco dal 
punto (y = 0, a? = r) cioè dall' estremo a destra 
del cerchio, allora si ha che per ^ = r la s deve 
essere zero, e quindi (7=0, onde resta solo 

X 

s== r arco cos — 

r 

kl ^^^ ^ '* ^^^^ espressione delVaveo ì5à ci^\Okvvì. 



190 Capitolo VI. — § 2. 



2.0 Si TOglia calcolare l'arco della spirale 
garitiiiica la cui equazione in coordinate polari 




P = 


= e» 






Si ha 


df- 


e«rf6 






onde: 






\l2(fi 




ds- 


-v/e*»dO* + . 


e*idfi^ = 


dò 




ds 

de" 


■■sflé 







Integrando si ha: 

Per determinare C osserviamo che volendo 
cominciare a contare l'arco s dal punto corrisp 
dente ap^==ÌeO = (cioè per tali valori di 
ponendo s = 0), la costante C acquista il vai 

— v^ 2, onde infine : 

s = v/2(p-l) = v/2'ce^-l). 

3.® Si voglia rettificare la parabola di eq 
zione : 

y^=2pcc 
Si ha 









Arco di curva piana. 



191 



onde 



4^/ 



^ + 2!^^ 



Ora ci conyiene trasformare questo integrale in 
modo che la yariabile indipendente sia y. Si ha: 



V J 



dy 



e Tolendo cominciare a calcolare gli archi dal 
vertice della parabola dobbiamo estendere l'inte- 
grazione da t/ = sino ad y. 

Per calcolare questo integrale facciamo prima 
l'integrazione per parti e abbiamo: 

1 I . 1 Cy'dy 



y^+ P 



t 



Ma d'altra parte 



8 



=ijVi,. + ^<iy-pJjj%.lJ^- 



y^dy 

y^ -f- r 



onde infine si ha 



= ^Wì^^H-^^ + -fJ 



dy 



sitf 



P 



2 



Resta quindi a calcolare quest'ultimo integrale. 
Ora nel Cap. Ili, § 4 abbiamo in generale calco- 
lato l'integrale : 

r dy 



192 aipUolo VI. - § 2. 



(li cui il nostro non ò che un caso particolare, onde 
applicando la formola trovata si ha: 



come dol resto è facile yerificare. 
L'arco della parabola risulta così dato da 



/' 



2 



^~ 2p +2 ^^ P 



4.** Si voglia calcolare la lunghezza deirareo 
dell'ellisse : 

^4-^ = 7 

«2 ^ 62 

Le coordinate di un punto dell'ellisse si pos- 
sono esprimere in funzione di un parametro nel 
seguente modo: 

X = a sen <p 
y = J cos <p 

da cui 

dy b sen 9 dx 

3— = , -y- = a cos (p 

a X a cos <p a 9 

e quindi prendendo per variabile indipendente <p: 

s = I V a^ cos^ (p -f ò^ sen^ <p d (p = 

r / a^ — i^ 
-(t\ yl ^^sen2(p c/<p 



Arco di curva piana. 193 

e ìq quanto ai limiti dell'integrale noi porremo i 
limiti àsL X =0 sino a X qualunque, ciò che dà 
rispetto a «p i limiti da f = sino a ? qualunque. 

Ora qualunque artificio potessimo usare per cal- 
colare questo integrale si può mostrare che non 
possiamo mai riuscirci coi mezzi ordinari, cioò 
tale integrale non è esprimibile sotto forma finita 
mediante le ordinarie funzioni che conosciamo, 
le razionali e le irrazionali algebriche, le logarit- 
miche, le trigonometriche e le esponenziali. 

A tali integrali noi abbiamo accennato nel Ca- 
pitolo III, § 4. Essi sono chiamati integrali ellit- 
tici appunto perchè, come si vede, servono alla 
rettificazione dell' ellisse. 

Per il calcolo di essi si potrà ricorrere all'inte- 
grazione per serie. Vedi perciò il § 2 del Capi- 
tolo III. 

5.** Si voglia la lunghezza dell'arco della ci- 
cloide. 

Assumiamo gli stessi assi coordinati che nel 
paragrafo precedente. Abbiamo trovato che 

dx \l 2 r — y 

dy~' iy 

onde prendendo y per variabile indipendente si ha: 



=JV-^-^'^-JVf^" 





onde 



5 = 2 v/ 2 r \/ '// . 

Pascal, Calcolo integrale. Vi 



194 



Capitolo VI. — § 2. 



Dun(iue la lunghezza dell' arco B P (ved. fig. 
nel § 1) è uguale al doppio della retta B P' la 

cui lunghezza è esattamente \]2ry. 

Per y ^2r si ha s -= 4 r, che la lunghezza della 
mezza cicloide, esprimerà. 

§ 3. Arco di una curva storta. — Immaginiamo 
il segmento di curva storta A B^ a, tangente con- 
tinua. Le ascisse dei punti estremi sieno a, ?, e 
dividiamo il segmento rettilineo a S in un corto 
numero di segmenti parziali, come a" h'' = 8r. 




Figr. 10. 



Per questi punti di divisione meniamo i piani 
perpendicolari all'asse x come aa\ hh" , . . . Questi 
piani taglieranno la curva in punti a'\ b''\ . . . in- 
termedì fra i punti A li. 



Arco di una curva storta, 195 



Meniamo la tangente alla curva in un punto 
e iutermedio fra a''' b''\ e arrestiamo questa tan- 
gente fra i due piani paralleli;. gabbiamo così il 
segmento rettilineo a b. Operando nello stesso modo 
per tutte le altre zone, si ha un assieme di seg- 
menti come a è, ed evidentemente tali segmenti 
tendono a zero quando i segmenti a'' b" = 5,. ten - 
dono a zero. 

Ora il limite della somma di tutti i segmenti 
come a 6, quando gli intervalli o,. tendono à zero 
mentre il loro numero aumenta indefinitamente, 
ò ciò che diciamo arco di curva fra A e B. Dob- 
biamo far vedere che tale limite esiste, e ciò lo 
otteniamo al solito mostrando che esso ò espri- 
mibile mediante un integrale di una funziono con- 
tiima, generalmente continua. 

Troviamo l'espressione di ah* 

Chiamiamo ^, v;,? gli angoli che la tangente ab 
fa con gli assi coordinati; evidentemente 






Ma 



donde 



7 '' 
ao= z . 

cos ; 



cos^ ; -1- cos- •/) 4- cos- s - - i 



cos- ? COS^ '/) 

COS- ; cos ; 




(laiKiue 



ab = òf d 



cos^ ; co?^^ \ 



196 


Capitolo 


VI. 


§3. 


Ora 


possiamo mostrare che 






cos r\ 




cosC 




cos; 


1 


cos ; 



si esprimono mediaute le derivate di y e ^ ri- 
spetto ad ìT. 

Infatti sul piano ^v y la curva storta si proietta 
in una curva piana A' B\ e la tangente a 6 si 
proietta nella tangente a b' alla curva piana. 

Chiamando o,- , e^ le proiezioni di a 6 sugli assi 
./' e //, si ha che o,. , e^. sono anche le proiezioni 
di a h' sugli stessi assi. 

Si hanno quindi le formole: 



1* 

0, 



cos; " 



cos «ì = 



a b 
ab 



e chiamando \' yr\ gli angoli di ab' cogli assi xy 
si hanno analogamente le altre due: 



cos ; = 



' ? ' 



cos V) 



a'b 



ab' 



donde 



COSV) 

cos 5' 






COS 'f\ 

COS ; 



COS'I 



}Ia zr, essendo g\\ a%^\ ^\ x ^ aj ^^V^^'SfftaJi^ 



C03 



Arco di una curva storta, 197 



è la tangente dell'angolo l' che a' b' fa con .r, la 

d V 
qual tangente è anche espressa da — — (essendo 

(t OD 

ab' tangente alla curva piana), dunque: 

cos v) dy 

cos ; dx 

intendendo che questa derivata bisogna natural- 
mente calcolarla pel punto di contatto di a b. 
Analogamente si può trovare che 

cos ^ d z 

cos ? dx 

dunque 

e quindi, chiamando s V arco A B^ si ha per de- 
finizione: 

Questa formola ci dice che s si esprime me- 
diante un integrale, e propriamente 



a 



Avendo supposto che il segmento di curva AB 
abbia la tangente continua o genoY«L\mew\,^ ^wvNìv- 



198 



Capitolo IV. — § 3. 



nua si ha che 



dy dz 



che dipendono appunto 



dx ''da) 

dalla direzione della tangente, sono funzioni con- 
tinue, generalmente continue e quindi l'integrale 
s esiste sempre. 

Inoltre la derivata di s rispetto ad x (supposto 
il limite superiore S variabile, e posto x in luogo 
di 6) sarà in generale proprio la funzione sotto 
il segno di integrale, cioè 



dx 



=v'-(f:)"^fe)' 



donde ricaviamo pel differenziale di .s la formola: 



ds =\l dx^ -t- r/t/^ -^ dz^ . 



Anche qui si potrebbe dimostrare, come nel caso 
delle curve piane, che il limite del rapporto della 
corda all'arco tende ad 7. 



Ci ò utile fare un'altra osservazione. 
Noi abbiamo trovato avanti che: 

cos ; V \dxì \d x) 

essendo \ l'angolo che la tangente alla curva fa 
con l'asse di x. 
Di qui si ha: 



eoa ; = 



dx 

d H* 



Arco di una curva storta. 



199 



Analogamente 



eoa vj - 



cosC 



dy 
d s 
d z 

d fi 



Mediante dunque il differenziale d s noi possiamo 
esprimere i coseni di direzione della tangente: 
ciò è analogo al caso delle curve piane. 



Passiamo ad un esempio 



1/ 





Fiff. 11. 



Immaginiamo un triangolo rettangolo A H C e 
un cilindro retto a base circolaro, e avvolgiamo 
il foglio del triangolo attorno vvV eWwv^v^ ve 



200 Capitoto VI. — § 3. 

modo che la base venga a coincidere con la cir- 
conferenza della base del cilindro. Allora l'ipote- 
nusa A C segnerà sulla superficie del cilindro una 
curva storta che si chiama elica. 

Troviamo le coordinate di uu punto P dell'elica. 
Scegliamo per assi Ai oo^y due rette sul piano 
della base, fra loro perpendicolari e passanti pel 
punto 0, e per asse z Tasse del cilindro. 

Le coordinate di P saranno 

co^OM y = MQ z-^QP 

Evidentemente spiegando il cilindro, il triangolo 
curvilineo A Q P diventa il triangolo rettangolo 
AQ P coll'angolo costante cp; cioè: 

PQ z=z arco A Q tang o = r . . tang cp 

E inoltre 

Jlf^ = rsenO , OJIf=rcos6 

chiamando r il raggio del cerchio base. 

Così sono trovate le coordinate di un punto del- 
l'elica, cioè: 

,nc = r cos 
y=.r sen 
2: = tang 'f .r . 

Di qui si ha che 

dy 

dy d^ cos ^ 

d X dx sen 

d^ 



Arco di una curva storta. 201 





d z 




d z 
dx 


dx 


tang(p 
sen 



e quindi: 



^^-^/hm= 



1 



= 7n/ sen*0-f cos^ ♦ tan'^- CD = — -\/l*tiin'?-9. 

senO ^ senO " ^ 

Onde essendo 



s 






si ha: 



(fi 

= — I rv/ 1 ♦ tang^cprfO=-rOy/ 1 + tg- 9 ♦Cost. 



s 

IX 



Ora volendo cominciare a contare gli archi .«? 
ila! punto A^ si ha che s = per -— ^ e quindi 

Cost. = 
e resta quindi 



s= — rO)J l i tang-^ 



202 Capitolo VI. — § 3. 



Ed essendo 



COS Cp 

rO = A Q 

si vede che, a meno del segno 

A Q 

s = 

COS? 

come risulterebbe immediatamente dalla conside- 
razione del triangolo rettangolo APQ^ essendo s 
non altro che la lunghezza dell'ipotenusa A P, 

§ 4. Area delle superficie. — Immaginiamo una 
superficie di equazione z=^(xy) e limitata da 
una linea chiusa ad un sol contorno l la quale s 
proietti sul piano x y in una linea chiusa ad ut 
sol ramo. 

Vogliamo definire che cosa s' intende per are£ 
della superficie limitata dalla linea chiusa. Sup 
porremo che la porzione di superficie sia tale ch( 
una retta parallela a z non la incontri che in ui 
punto solo. 

Facciamo nel piano x y \\ rettangolo coi lat 
paralleli agli assi x^y e circoscritto alla linei 
chiusa proiezione di quella che limita la superficie 

Dividiamo uno dei lati di questo rettangolo il 
intervalli parziali o,. e V altro in intervalli §'« , i 
meniamo le parallele agli assi pei punti di divi- 
sione. Allora tutto il rettangolo AB CD verri 
diviso in tanti altn Yellarv^oW abtdd\Q.\sA alcun 



Area delle superficie. 



203 



resteranno compresi dentro la curva chiusa, altri 
resteranno in parte dentro e in parte fuori, altri 
totalmente fuori. 

Consideriamo solo quelli che sono totalmente 
dentro alla curva chiusa, e eleviamo su di essi, 
presi per basi, altrettanti parallelepipedi retti , 



z 





X 




Fiff. 12. 



i quali andranno a spezzare la superficie in altret- 
tante parti; prendiamo un punto sulla superficie 
interno a ciascuna di questo parti, e per esso 
meniamo il piano tangente alla superficie, del quale 
consideriamo solo quel quadrilatero che su di esso 
resterà determinato dal parallelepipedo corris\)ou- 
dente. 



204 Capitolo VI. — § 4. 

Il limite della somma di tutti questi quadrila 
quando gli intervalli 8^ , 8^ diminuiscono indefii 
mente, mentre il loro numero aumenta, è ciò 
diciamo Varea della superficie. 

Ciascuno di tali quadrilateri è uguale alla 
proiezione, cioè al rettangolo Sr^'s , diviso pel 
seno dell'angolo che il piano tangente fa col pi 
di ^y o, ciò che è lo stesso, per il coseno 
l'angolo che la perpendicolare al piano tang< 
fa coU'asse z. 

Chiamiamo $,>), C gli angoli di direzione d 
perpendicolare al piano tangente, e allora uno 
quadrilateri sarà: 

cosC 
ed essendo: 



cos 



25+ cosN ^ cosU = Ì 



si ha: 



h-^ 



COS^S . COS^V) 

COS e V cos^ e cos' e 



onde: 



= S,.o',y 



Vcos^ J cos^ >l 
cos^ e cos^ e 



Ora cercheremo di trasformare il radicale. 

Per il punto di contatto del piano tangente 
niamo il piano parallelo al piano 00 z^ il q 
taglierà la super^cie \\m^èo >aAi^ ^>Mva e ; e il p: 



Area delle superficie. 205 

tangente lungo la tangente t a tale curva; l'equa- 
zione di tale curva e sarà la stessa equazione della 
superficie quando si consideri y costante, (uguale 
cioè alla distanza del piano della linea dal piano 
X z). Siene a', ?', y' gli angoli di direzione della 
tangente t alla curva e; allora evidentemente, poi- 
ché tale retta t sta in un piano perpendicolare 
all'asse y, si ha cos P'=0, e inoltre a' e y' fra loro 
complementari. 

La perpendicolare al piano tangente sarà per- 
pendicolare alla retta f^ e quindi fra i coseni di 
direzione sussiste la relazione: 

cos l cos a' + cos V] cos p' + cos K cos ^' =^ 

la quale diventa 

cos $ cos a' -f cos 2; cos y' = 

donde : 

cos l cos y' 



Ma 



e inoltre 



dunque 



cos e cos a' 



cosy' sena' 

= , = tang oc 

cos a cos ot 



tang a = ^--^- 



cos ; __ d ^ 

cos C "" 80? ' 



- «' 



206 CapUolo VI. - § 4. 

Analof^amente si troverebbe 

cos v) ^ d z 
cos ? dy 

ondo infine 



--.v-(^i)'-(|-;r 

e quindi la superficie di S resterà definita d 
forinola: 



— ::--'V-(^.1^M 



Per la definizione che abbiamo dato di inte^ 
doppio, si vede di qui che 



n r* 



*/ o 



^+CtIF(^JJ''^^^^- 



In quanto ai limiti d' integrazione non e' è 
ripetere le stesse considerazioni fatte a suo te 
a proposito degli integrali doppi. 

Poiché noi supponiamo che la superficie 
continua e il piano tangente in tutta la por? 
di superficie che si considera si muova con 
tinnita, così la funzione 



Midì'AU)' 



sarà una funzione continua di x y. Onde V 
graie doppio esisterà ^^m^x^. 



Area delle superficie. 



207 



Resta così al solito non solo dimostrata l'esi- 
stenza del limite del sommatorie, cioè dell'area 
della superficie giusta la definizione da noi data, 
ma anche trovata la formola colla quale la si può 
oaioolare. 

§ 5. Superficie di rotazione. — Nel caso delle 
superficie di rotazione possiamo facilmente ridurci 
ad un integrale semplice potendo in quel caso ese- 
guire una dello due integrazioni 

Immaginiamo sul piano z x la curva di equa- 
zione 




Fìg. 13. 



che rotando intorno all'asse z genera la superficie 
di rotazione. 

Nella rotazione il punto P serberà distanza co- 
stante dall'asse z (tale distanza aatk ^^va^\^ x'^ ^ 



208 Capitolo VI. — § 5. 

altezza costante sul piano z .(/, per modo che la z 
del punto Pin una posizione qualunque sarà sempre 
la stessa z del punto P del piano xz. 

Inoltre la x' sarà in ogni posizione di P la ra- 
dice di x^ ■+- y^ se con x^ y indichiamo le coordi- 
nato di P nello spazio. 

Per avere dunque l'equazione della superficie 

basta porro nell'equazione della curva a?' = \/a?*+y*, 
onde l'equazione della superficie è 

Le derivate parziali di z rispetto ad x e y sono 



= o il iv^ -\- yA 



X 



^- = z.' U ^2 ^ y2) -— — 
dy ^^ ^ si x^ + y^ 



donde 



(1-:)' '■(!;)' ='"w^'>- 

La superficie diventa adunque: 

Immaginiamo che il ramo di curva piana che 
rota intorno a 2; sia ^ -K e l'ascissa di B sia x' = r. 
Allora il contorno della superficie sarà il cerchio 
descritto da Bj il quale si proietterà sul piano ^J/ 
in un cerchio egua\e d\ xa^^vo w 



Superficie di rotazione. 209 



Dovendo est^idere l'iategrazione in modo che a?, y 
percorrano tutto il quarto di cerchio compreso fra 
gli assi xy dobbiamo fare T integrazione rispetto 

ad y da y = fino ay ==\Jr^ — x^ e T integrazione 
rispetto aà X da X =^0 sino ai x = r. 

Facciamo ora un cambiamento di variabili nel- 
l'integrale rispetto ad t/, ponendo la variabile x' 
in luogo della variabile y, cioè ponendo: 



Allora la funzione da integrare diventai l -t- ©' '\x') 
e per trasformare l'integrale bisognerà moltiplicare 
tale funzione per la derivata dell'antica variabile y 
rispetto alla nuova x\ cioè per : 

dy _x ^...-^ 

d'V' y ~~ s/ x'^ — 01'^ ' 

Onde l'integrale diventa: 

da) 



J x'^l'\-^'^{x)dx' 



n/ x'^ — ,T^ 



e queste due integrazioni bisogna estenderle in 
maniera da comprendere tutti i punti del quarto 
di cerchio di raggio r. 

La integrazione rispetto ad x la estendiamo da 
x = sino ad a? = x\ e quella rispetto ad x' la 
estendiamo da x' = sino ad x=r. 

Ora 

C*' dx r xV-' r. 

, = arco sen , =: -^ 

o 
pABCALf Calcolo integrale. ^^ 



210 Capitolo VI. - § 5. 

onde il doppio integrale è eguale all'integrale 
semplice: 



Se vogliamo tutta la superficie di rotazione in- 
torno A è chiaro che basta moltiplicare per 4 questo 
risultato, e quindi si ha infine 



Si vede dunque che nel caso della superficie di 
rotazione l'integrale doppio si può ridurre ad un 
integrale semplice. 

Si può far vedere che v/ 1 -f ?' ^ {x') non è altro 
che l'inverso del coseno dell'angolo che la tan- 
gente alla curva generatrice forma coli' asse dì a*. 

Giacche la tangente di tale angolo è evidente- 
mente : 

dz .. ,, 



e 



1 

cos — 



onde 



v^ 1 4- tg2 






n1\-v^-^vc^ 



Zona sferica. 211 



§ 6. Zona sferica. — Vogliamo trovare la super- 
ficie di una zona sferica compresa fra un piano 
tangente alla sfera in un punto A e un piano paral- 
lelo. 

La curva generatrice sul piano z r in questo caso 
è un quarto di circonferenza di raggio i^, se Jt ò 
il raggio della sfera. Sia B il punto in cui questa 
circonferenza è tagliata dal dato piano parallelo 
al piano tangente, e A' il punto in cui il mede- 
simo piano taglia Tasse z. 

Poniamo B A' ^=r e applichiamo la formola pre- 
cedente dove 9 sia la funzione 



e quindi 



z^^{x') -\/B^-x''' 






n/1 -t-cp'2(ir') ^ 



\1 R' — ic'^ 
B 



\I'b:^-x'^ 



Abbiamo allora 



J 



'• Bx' , , 

dx = 



— B\l R' - xr^ 



\J B^ — x'^ 

o 

^-B \/' B^ - r' -h B'\ 

L'area della zona è dunque: 

2iìB{B'-H^''-^^)^ 

Volendo tutto i 'emisfero poniamo \v\ cvaL^^^a. ^«^- 
mola -^ = j? e SI ha 2 - //-, come ?^\ v.a AaWa v;^^- 
Jnetria elementare. 



\ 



212 Capitolo VI. — § 7. 

§ 7. Superficie dell'ellissoide di rotazione. — Con 

sideriamo nel piano xz T ellisse AB che roti in 
torno all'asse maggiore <i. 
Sia la sua equazione 

z'^ . x^ 



a^ "^ b^ '^^' 



Si ha: 



\/ 1 + cp'2 



^^">=\l'^M-^j'^''''-'^^'^ 



bz 



z' 



0, introducendo T eccentricità dell' ellisse, cioè: 



e = 



«2 



si ha: 



bz 



e quindi 

S = 27r ri --^«2 ^e'^z^dz, 
J a z 

Facciamo un cangiamento ,di variabile indipen- 
dente, cioè prendiamo per ^pariabile indipendente 
la z in luogo della x'; àlloifsL dobbiamo moltìpU-' 

/ d Xt h^ z 

care la funzione da integrare per — — = r— :, 

\ dz a^x 

\ 



Superficie dell'ellissoide di rotazione, 213 

onde si ha, a meno del segno: 

« 

\ a 
Ora noi sappiamo già che: 
j yjì—t'd t = -g" V^ì"-^ + \T arco sen t 

onde: 

1 2 

\ >/ à^ -e* z^ d z = -zr\/ a^ - e^ z^ + - - — arcosen— 2; 
ì 2 Zea 

e perciò fra i limiti e 2; si ha: 

S = 7t — \z\! a^ — e^z^ + ~ arco sen — z 

al 2 e ai 

Per 2J = a si ha la superficie del mezzo ellis- 
soide, cioè: 

^ o^ H arco sen e. 

e 

Per e = o e quindi: 

a=^h==R 

81 ha 

2-R^ 

ohe è la superficie della semisfera. 

§ 8. Volumi racchiusi da superficie. — Una con- 
[ siderazione analoga a quella che &\ ia ^^t \fò ^\^^ 



214 Capitolo VI. — § 8. 



delle curve piane si può fare per i volumi delle 
superficie. E noi procederemo in questa ricerca in 
un modo analogo a quello tenuto per le aree. 

Immaginiamo una porzione di superficie a con- 
torno chiuso, il qual contorno si proietti in una 
curva chiusa sul piano xy^ e la superficie al so- 
lito sia tale che una retta parallela all'asse 2inon 
la incontri in più di un punto solo. 

Immaginiamo precisamente come nei paragrafi 
precedenti divisa l'area di questa curva chiusa in 
rettangoli parziali S^. ò'^; e formiamo i parallelepi- 
pedi retti aventi per basi tali rettangoli. Questi 
parallelepipedi andranno a tagliare sulla superficie 
altrettante porzioni di superficie , in ciascuna delle 
quali prendiamo un punto e per esso conduciamo il 
piano parallelo al piano xj/. Con questo piano si 
verrà a chiudere il parallelepipedo, di cui esso 
verrà a formare la base superiore. Allora il limito 
della somma di tutti questi parallelepipedi è ciò 
che diciamo il volume compreso fra la superficie 
ed il piano xy. 

Se l'equazione della superficie è z^^f{xy)Q 
chiaro che ciascuno dei parallelepipedi sarà misu- 
rato da: 

òro'sf(xy) 

dove il valore di f{x y) ò calcolato per un punto ^y 
che si trova interno al rettangolo o,. o's. 
(Juindi il volume richiesto e: 

V= ìim^iKo'sfixy) 
cioè 



K^ jjf^xii^dxdij. 



Volumi racchiusi da superficie, 215 

iimagìniamo ora una superficie chiusa e ve- 
ao come possiamo calcolare la porzione dello 
:io da essa racchiusa. 

asterà applicare due volte il metodo precedente 
a seguente maniera: 

onduciamo il cilindro retto con le generatrici pa- 
ìle all'asse z e circoscritto alla superficie chiusa. 
3 cilindro toccherà la superficie data lungo uua 
i storta che effettuerà la separazione della su- 
ìcie in due parti, una parte superiore e laltra 
fiore. Se calcoliamo i due volumi compresi fra 
le due parti ed il piano xy e sottraghiamo 
.0 dall'altro questi volumi, abbiamo evidente- 
te il volume racchiuso dalla superficie, 
oichè le due parti della superficie in questa 
iera vengono ad avere lo stesso contorno il 
e non è altro che la linea di contatto fra il 
dro e la superficie, cosi le integrazioni rispetto 
variabili oo, y debbono farsi in ambo i casi 
jli stessi limiti, perchè in ambo i casi debbono 
ridersi in modo da comprendere tutta la me- 
ma area piana. Solo che una volta f{ccy) ha 
alore e un'altra volta ne ha un altro, supposto 
la superficie sia chiusa. Questi due valori si 
ano risolvendo l'equazione della superficie ri- 
to a 2:; si ha allora una funzione 

z-==f{ooy) 

deve essere una funzione a due valori f^ {00 y), 
?2/), perchè abbiamo supposto che una retta 
lUela all'asse z incontra la superficie in due 
A ; tali due valori sono quelli che dovranno fi- 
tre nelle integrazioni. 



216 Capitolo VI. — § 8. 



Il volume sarà dunque dato da: 

V= \([fi(.x}/) -f.,{:xy)]dxdy 

ed esseudo: 

t'Àxy) 

possiamo anche scrivere : 

F= I I dxdy dz 

(love l'integrazione rispetto a z bisogna farla fra 
i limiti dei due valori f^ f^ che ha la z^ e che si 
ottengono dall'equazione della superficie risolven- 
dola rispetto a 0; l'integrazione rispetto ad y deve 
farsi fra i limiti dei due valori funzioni di x che 
si hanno per y risolvendo rispetto ad essa l'equa- 
zione della curva piana intersezione del piano a? y 
col cilindro suddetto circoscritto alla superficie; e 
l'integrazione rispetto a x bisogna farla fra i li- 
miti costanti che vengono ad essere le ascisse 
dei punti di contatto delle due tangenti a tale 
curva piana, parallele all'asse y. 

Per potere applicare questo metodo nei diversi 
casi speciali l'unica cosa che ci resta a fare è di 
trovare la curva piana proiezione del contorno 
della superficie. 

Ora noi abbiamo visto in un paragrafo prece- 
dente che se ? >i C sono gli angoli di direzione della 
perpendicolare ad. \m pìawo \.«b\v^^wtQ nel ijunto xyz 



Volumi racchiusi da sxqìerficie, 217 



si ha 

cos; 



cosC d^ 

cos C "" dy ' 

Se r equazione della superficie ridotta sotto la 
forma razionale è data da 





F{xyz) = 




si ha dunque: 








dF 


dF 


cos; 


d X cos 1 


dy 


cos^ 


'dF ' cos!; 


dF 




dz 


dz 


cioè: 







, , dF dF dF 

cos ; : cos vj : cos «, -^ 7;— : _ - : r— . 

d •'^ dy d z 

Se il piano tangente ò parallelo all'asse z al- 
lora cos C ~ (> e quindi per il punto di contatto 

deve essere - =0, 

dz 

Questa relazione rappresenta una nuova super- 

'ficie ohe sega la superficie data lungo la curva di 

contatto del cilindro circoscritto ; eliminando z fra 

l'equazione della superficie Fi-ryz) — e l'equa- 

dF 
zione -r— — si ha una relazione fra x y che ai 
pz 



218 Capitolo VI. —•§ 8. 



può considerare come V equazione del cilindro cir- 
coscritto, anche, limitandoci al piano x t/, come 
l'equazione della base di tal cilindro, e abbiamo 
con ciò l'equazione richiesta della curva. 

§ 9. Volume del solido di rotazione. — Come sì 
è visto, il calcolo di un volume si riduce a quello 
di un integrale doppio ; ma se si tratta di un vo- 
lume racchiuso da una superficie di rotazione pos- 
siamo anche far vedere facilmente che si può ef- 
fettuare una delle integrazioni prima di conoscere 
l'equazione della superficie, e quindi ci possiamo 
ridurre ad un integrale semplice, il cui calcolo di- 
penderà poi dalla conoscenza della equazione della 
curva generatrice della superficie. Capita cioè qui 
un fatto simile a quello che abbiamo visto che ac- 
cade nel caso del calcolo delle aree della super- 
ficie. 

Conserveremo le stesse notazioni adoperate nei 
paragrafi precedenti. 

Essendo z— ^sl{x^ -v-y^) l'equazione della su- 
perficie di rotazione, il volume sarà dato da 

Poniamo ora 

e trasformiamo la variabile y nella variabile x'. 
Allora si ha: 



lì 



r 

^ [po'] dx d x' 



Volume del solido di rotazione, 219 

e volendo estendere, come nel caso della superficie, 
l'integrazione al quarto di cerchio di raggio r dob- 
biamo estendere T integrazione 

da ^ =0 sino ad ^c =x' 

e 

da x=0 sino ad x' -^ r 

Eseguendo l'integrazione rispetto ad x si ha evi- 
deutemente - onde resta 



~ j x' <^ {x)dx\ 



o 



Colla formola precedente si ha il volume ge- 



t: 



nerato da A PB (v. fig. del § 5) che rota di - in- 

torno all'asse z ; moltiplicando per 4 si avrà il vo- 
lume generato da tutta la rotazione 



V=2t: r a)'^{x')dx'. 



Volendo il volume generato dalla sola rotazione 
di ^P(? dobbiamo togliere il volume del cilindro 
generato da Q P lì 0, cioè ^r^.PBy cioè: 

T. r^ 9 (r). 
Ora integrando per parti si ha 

2 Ti 1 x' (f(x')doo' = ':ix^^(x'} -T^ ( 0?'^ 'V (pa'^ dx 



220 Capitolo VL — § 10. 



e fra i limiti si ha: 



2 t: r a:> (.x')dx' = ti r^ cp (r) — 7t T af^^'{x')dx' 



o 



onde la differenza fra i due volumi è, a meno del 
segno 



o 



E in questo integrale facendo un cambiamento 
di variabile indipendente» introducendo cioè per 
variabile indipendente 

e quindi moltiplicando per 

dx' 1 



dz 9' {ce') ' 
resta : 

Fi =71 I x^dz 

Zi 



■,=.f.^ 



chiamando z^^ z^^ le ordinate dei punti A, P estremi 
della curva generatrice, cioè le lunghezze A^BP, 

§ 10. Volume dell' ellissoide qualunque. — Solido 
generato dalla cicloide. — Sia T ellissoide 

X^ ^2 ^2 

a^ ^ b^ c^ 



Volume dell'ellissoide qualunque. 221 
Dobbiamo calcolare l'iategrale triplo 

xdi/dz. 



jjj" 



La integrazione rispetto a z bisogna farla fra i 
limiti: 



=^'\/'-» 



z = 



2 1^2 



resta così l'integrale doppio: 



Qc ^ dee (dyJi —^ 



r 

2 - j2 ; 



Esaminiamo quali debbono essere i limiti del- 
l'integrazione rispetto ad J/. Osserviamo intanto che 
la proiezione della superficie sul piano xy è in 
questo caso l'intersezione della superficie stessa 
col piano ^J/, e quindi ha per equazione: 

00- y^ ^ 
a^ h^ 

donde: 






Applicando la formola: 

* 1 1 

I d t ylT^^ = — t >J1~^^ -1- g are aewt 



222 



si ha 



Capitolo VI. — § 10. 



/"Vi'-s 






1 



y 



+ 



['--1 

L ai 



are seii 



r 



V 



+ 



y 



1 



^2 



a' 



e, fatta l'integrazione fra i limiti, si ha 



1 



r.h 



1 






onde il volume è dato da 



:r 



, r+«r ^;-l , 
6cJ [1-^^,J^^ 



—ri 



cioò finalmente da: 



T. .a .h .e. 



Se ora: 



a = h — c=^r 



si ha -_ T. r^ che è appunto il volume della sf 
o 

Passiamo ora alla ricerca del volume racch 

nella superficie generata da una mezza cicloide 

eììQ. ruota attorno aWa law^^exVt^ Y \\^\ xQ.vti 



r 



^.■-»- 



Volume deir ellissoide qualunque* 223 



Sia OEB \\ cerchio generatore della cicloide. 
Dobbiamo calcolare^ l^'^r;?^: esteso fra i limiti 
da 2: = (} sino a z. 




Fig. 14. 

Ci conviene di mutare la variabile d'integrazione, 

e prendiamo per variabile indipendente la ./''. Al- 

dz 
lora dobbiamo moltiplicare per , che, come sap- 



2 r cr:' 

piamo, per la cicloide è eguale a \i- — -r^—. Si ha 



X 



cosi da calcolare: 



7^ I x' \l "Ir jj' — ^'^ d .f ' 



o 



che può scriversi: 



V 2 r - 



X - d X 



o 



224 Capitolo VI. — § 10. 

■ t I i l 



o 



Ora se volessimo calcolare Tarea piana 0. 
racchiusa dal cerchio, dovremmo calcolare prec 
mente l'integrale 



\l 2rx' - x"^ Ax\ 



o 



quindi possiamo dire che: 

Volume = 7t r segm. E D — 

J''x' 
{r '-x)sl2r x' — x'^ d x\ 



Il secondo integrale si può calcolare facilm 
ponendo 2rx' — x'^ ■■■= t 
Si ha allora: 

-r— , = 2 r — 2 ^ 
a cu 

donde 

dx' 1 



dt 2(r--^') 
e quindi si ha da calcolare: 



-2J' 



1 £ 

^ 2 , ir 2 

dt=-—^t 
o 







r 



Volume deir ellissoide qucdunque. 225 



onde in fine: 

t: 2 

Volume = IT r segm. OED —— 2rx — j^'^) 

Volendo tutto il volume racchiuso dalla super- 
ficie generata da tutta la mezza cicloide CA, dob- 
biamo fare x = B =^2r, q allora il segm. OED 
diventa tutta la mezza circonferenza la cui area 

è-—, onde si ha infine: 

Volume = - -^^ /'^ 



PABùALf Calcolo integrale. ^^ 



aTTISjIjl^ VDL 



icm 



..-..,'1 1: ifT\'i:i fi 




"ì:-: 1: ' fi<*%a^ 



-T-:iftTÌniaTfio au fnniioiiejf diJ^ 

:::ne se ne fmeeiano le demito' 

D"^ ordine che indidierano 

.. y y . . . .e sieno ignoti i Taloiì eB[didti 

-i.t :: /ivs: . lunzione ohe di tutte le sae derivato; 

fii^ -i '^•oiiosoà invece una relazione fraicj/y*...^^'^. 



-.— ---■: -^ 



< >: '< rri do:iia!ì<]iaino : conoscendo una tale relarione, 
i jiolr-i trovare la funzione y? 

['iia relazione di questo genere si chiama unt 
t'tjii/nionK differenziale, e il problema che vi ri ri- 
f'(;rÌHC(;, (; che noi abbiamo enunciato, si chiama il 
l»robl(;ina daìV Intcf/ razione delle equazioni diffe- 
ren:;iali. 

(cominciamo a ftssaro delle distinzioni fondamen- 
hth* fra ìv varie spocio à\ ©c^^vaasvom ^\%st«QEDa&L 



Considerazioni e definizioni fondamentali, 227 

che noi possiamo immaginare. Prima di tutto può 
immaginarsi che la funzione ignota da ricercarsi, 
sia funzione di una sola variabile o di più varia- 
bili indipendenti; e quindi che la relazione data, 
3Ìa una relazione fra la funzione, la variabile e le 
ierivate della funzione rispetto a quell'unica va- 
riabile, ovvero sia una relazione fra la funzione, 
le variabili e le derivate parziali della funzione 
rispetto alle diverse variabili. Abbiamo quindi due 
grandi categorie di equazioni differenziali; quelle 
della prima categoria si chiamano equazioni diffe- 
renziali ordinarie^ e quelle della seconda si chia- 
inano equazioni a derivate parziali, 

If eli' uno e nell'altro caso si chiamerà ordine 
ielV equazione quello della derivata di più alto or- 
line che in essa comparisce. Può poi anche im- 
naginarsi che invece di una sola relazione fra la 
irariabile, la funzione e le sue derivate, ne sieno 
late più, da considerarsi come simultanee; allora 
n ha ciò che si chiama un sistema di equazioni 
iifferenziali. 

Prima di passare allo studio del problema del- 
l'integrazione delle equazioni differenziali, noi na- 
turalmente cercheremo di fare uno studio preli- 
[ninare sul problema diretto, cioè sul modo di 
3oatruire una equazione differenziale, conosciuta che 
da la funzione. Con ciò potremo poi più facilmente 
tentare la soluzione del problema inverso. 

Sia data una funzione y di ^, e ne formiamo la 
ierivata prima y\ Se la funzione data contiene un 
parametro qualunque e, in generale anche la de- 
rivata conterrà .;, e se noi eliminiamo e fra la fuu- 
zione data e la sua derivata, abbiamo ^VxSl^xvW 



228 Capitolo VII. — § 1. 



mente una relazione fra y, y\ oo^ che sarà un'equa- 
zione differenziale. 

L'integrale di quella equazione sarà naturalmente 
la funzione y data, ma dove a e può darsi qua- 
lunque valore, perchè per qualunque e (che è il 
parametro che abbiamo eliminato) la y data sod- 
disfa sempre la equazione differenziale. Non si ha 
dunque effettivamente una sola funzione, ma infi- 
nite funzioni, o meglio tma funzione contenente 
un parametro arbitrario. 

L'equazione differenziale così formata è un'equa- 
zione differenziale di P ordine, ma è chiaro che con 
considerazioni analoghe potrebbe formarsi un'equa- 
zione differenzialo di ordine n. 

Basta cioè supporre che la funzione data con- 
tenga n costanti Cj (•.>... Cn , e ohe si formino le 
prime n derivate della funzione; fra queste, insieme 
colla funzione data, eliminando le n costanti si ha 
un' equazione contenente in generale ccy y\,. y^^\ 
che è un'equazione differenziale di ordine n. 

Dalla costruzione stessa di una tale equazione 
differenziale si vede che la funzione data che do- 
vremo considerare come integrale dell'equazione 
differenziale, ha la proprietà, che se si formano le 
sue derivate sino a quella di ordine n, e i valori di 
yy'»*»y^"^ (^osì ottenuti si sostituiscono nelV eqxia- 
zione differenziale^ si deve avere una relazione 
identicamente soddisfatta qualunque sia x e qua- 
lunque sieno i valori delle costanti CiC2...Cn. 

Una siffatta soluzione dell'equazione differenziale 
con n costanti arbitrarie noi la chiameremo l'in- 
1e(/rale generale^ e vien subito la domanda, se data 
un'equazione àifferewLmVi C5^^xm«j5\fò ^j®^^ ^ xlq 



Considerazioni e definizioni fondamentali, 229 



sempre V integrale generale. Si dimostra che effet- 
tivamente qualunque sia l'equazione differenziale, 
V integrale generale esiste sempre; ma noi non en- 
treremo nei dettagli di queste dimostrazioni. 

Se a tutte o ad alcune delle costanti diamo dei 
valori particolari allora abbiamo anche delle solu- 
zioni dell'equazione differenziale, che si chiamano 
integrali paHicolari. Tali integrali non conten- 
gono n costanti arbitrarie, ma o nessuna o un nu- 
mero minore di n; ognuno di essi si può sempre 
ricavare dall'integrale generale, mentre viceversa 
da essi non può ricavarsi l'integrale generale, meno 
che in certi casi speciali. 

Togliamo ora fissare con precisione quali sono 
i caratteri distintivi di un integrale generale. 

Qualunque soluzione dell'equazione differenziale 
deve sempre essere una funzione y di x tale che 
ricavandone y' y'-^.y^^^ e sostituendoli, insieme col 
valore dì y, nell'equazione data, si abbia un'espres- 
sione in X identicamente soddisfatta qualunque sia 
il valore di x. Queste sono le proprietà comuni a 
qualunque specie di integrali; ma che cosa devo 
verificarsi dippiii perchè si possa dire che l'inte- 
grale di cui si tratta sia della specie di quelli chia- 
mati generali? 

Abbiamo detto che l'integrale generale deve con- 
tenere n costanti arbitrarie; ma dobbiamo preci- 
sare meglio il carattere essenziale di queste co- 
stanti. Queste costanti devono essere contenute in 
una maniera speciale, e propriamente in questa: 
the formando le successive n derivate di y, possa 
poi eseguirsi il processo di etwnina^ioue di queUe 
eosianti dalle n -h 1 equazioni che si Deugouo av\ 



230 Capitolo VII. - § 1. 

ottenere. E allora solo che noi diremo che quelle 
costanti sono fra loro tutte indipendenti e sono 
proprio n; potrebbe accadere invece che, elimi- 
nando alcune delle costanti, se ne eliminino per 
conseguenza alcune altre, e allora esse non sa- 
rebbero che solo apparentemente w, ma in effetti 
rappresenterebbero un numero inferiore di costanti, 
e quindi l'integrale non sarebbe più generale ma 
particolare. 

Evidentemente possiamo mettere sotto quest'altra 
forma la proprietà indicata: che dalle prime n di 
quelle equazioni^ cioè da quella che esprime la fun- 
zione data e da quelle delle prime n — 1 derivate^ 
si possano ricavare i valori di c^ Cg . . . Cn cioè delle n 
costanti; è chiaro infatti che quando questo si possa 
fare, allora sostituendo poi questi valori nell'equa- 
zione conteneate la derivata n***^ di y, si avrà una 
relazione, certamente non identica^ che sarà proprio 
l'equazione differenziale. Quella relazione che si 
viene a ottenere sarà certamente non identica perchè 
il termine contenente 2/^'*^ non potrà distruggersi 
con nessun altro termine simile^ giacché Ci e,..» d 
vengono espressi solo mediante ooyy',..yi^^-^\ e 
non mediante t/^»*\ 

Se i valori delle costanti arbitrarie sono espressi 
ia funzione di ^, J/, 2/ .. .t/^'*""^^ vuol dire che dando 
ad X un qualunque valore compreso in un certo 
campo, eayy\.. y^" - 1) valori arbitrariamente sta- 
biliti, ogni volta se ne debbano poter ricavare per 
le costanti valori determinati; onde possiamo dire 
anche che le n costanti devono comparire in ma- 
me?'a che almeno per i \Dalovi di x compresi in un 
certo campo^ si debbano potere dare ^^b'wvrgrr^ o^ %sa«. 



/ 



Considerazioni e definizioni fondamentali. 231 



tali calori che le quantità yy^-..^^""^^ acquistino 
valori già precedentemente e arbitrariamente fissati. 

Oltre le due dette specie di integrali cioè i c/e- 
nerali e i particolari^ ne esiste anche un'altra 
specie, cioè gli integrali singolari; ina di questi 
discorreremo iu seguito in un paragrafo apposta. 

Le considerazioni fatte si riferiscono alle eqtut- 
zioni differenziali ordinarie. In quanto poi agli 
integrali delle equazioni a derivate parziali ne di- 
scorreremo in un altro paragrafo. 

Resta ora a passare allo studio del problema: 
data l'equazione differenziale trovare V integrale; 
per tale problema noi al solito non possiamo sta- 
bilire delle regole generali, ma dobbiamo limitarci 
a fissare dei tipi di equazioni differenziali, e stu- 
diarli separatamente, come già si fece nel problema 
dell* integrazione delle funzioni (quadrature). 

Il problema delle equazioni differenziali lo con- 
sidereremo però risoluto sempre che lo avremo 
ricondotto ad un problema di semplice intoii^razione, 
cioè, come si dice, alle quadrature. Potrà anche 
accadere che una tale quadratura non si sappia 
praticamente effettuare, ma la difficoltà allora rosta 
spostata in un campo di ricerche diverso. K nella 
stessa maniera che noi nel calcolo infinitesimale 
consideriamo come risoluto un problema, semprechò 
lo possiamo trasformare in modo che la sua so- 
luzione dipenda dalla soluzione di un problema 
algebrico, per es. dalla risoluzione di un'e(] nazione 
algebrica. 

. Prima ora di passare allo studio àfò\ (k\:svi\'^\M\^\ 
di equazioni difiTereuziali, facciamo n^^^^^ ^wsn» 



232 Capitolo VII. — § 2. 



esse possono presentarsi per la soluzione di un 
problema ordinario di geometria. 

§ 2. Esempio di un problema di geometria la cui 
soluzione conduce ad un'equazione differenziale.— 

Applicando l'analisi a molti problemi di geometria 
in cui p. es., sia da trovare l'equazione di una 
curva piana dotata di speciali proprietà, può ac- 
cadere di imbatterci direttamente non in una sem- 
plice relazione analitica fra le coordinate x^ y, ma 
in una relazione fra oo^y e le derivate di y ri- 
spetto ad ^, cioè precisamente in una equazione 
differenziale. E chiaro che allora la soluzione di 
esso problema si riduce allo studio e all' integra- 
zione di questa equazione differenziale. 

Scegliamo il seguente esempio. Si voglia deter- 
minare una curva tale che il raggio vettore P 
sia eguale al segmento OR che la tangente Pli 
in P stacca sull'asse ^. 

Cominciamo dall'osservare che 



inoltre 



on(l( 



OP si u^ r y'' 

PQ^dy 
Qlt dx 

y_ ^±y 

or f- II d X 



dovendo essere P= fi si ha la relazione: 

X -V ^ x^ -V U^^ ^ ^' 



Esempio di un problema di geometria'^ ecc. 233 



cho è precisamente un'equazione differenziale di 
1.® ordine. 




X 



Fi'/. 15. 



In un paragrafo seguente (v. § 4) vedremo come 
si può fare per integrare tale equazione, e come 
essa dia luogo ad un fascio di parabole. Per modo 
che si ricava ancora il teorema, che non c'è altra 
curva che le parabole che soddisfano alla proprietà 
enunciata. 

§ 3. Equazioni differenziali di 1 ^ ordine. Equa- 
zioni in cui si possono separare le variabili. — - 
Vogliamo ora passare ad esporre alcuni metodi 
con cui si può effettuare T integrazione di alcuni 
tipi speciali di equazioni differenziali. 

Cominciamo da quelle di 1.^ ordine. 

Si abbia dunque un'equazione: 

e supponiamo che — — vi sia contenuto algebri- 
camente in modo razionale ed iut^YO. 
Allora questa relaziono pub e,ow«\^^^^^^^ o^^^^ve 



234 Capitolo VII. - § 3. 

un'equazione in -r^, e si può risolvere rispetto 

a questa variabile, e si otterrà la scomposizione 

di (1) in un prodotto di n fattori lineari in — — . 

Possiamo allora considerare separatamente uno 
di questi fattori, e ci riduciamo così ad un'equa- 
zione differenziale del tipo: 

M+Np^-^0 (2) 

dx 

dove ilf, N sono funzioni di ^, y. 

Uno dei primi casi in cui (2) può immediata- 
mente integrarsi si ha quando M^ N sono funzioni 
rispettivamente della sola x e della sola y. 

Allora si ha: 

Mdx-^ Ndy = 
e integrando si ha: 

jilff^.r + j Ndy = cosi. 

Questo caso si dice il caso in cui le variabili 
si possono separare. Si abbia per esempio da inte- 
grare : 

xy dco — ia'—x) (y—b) dy =-0\ 
dividendo per y{a—x) si ha: 

X , y — b ^ ^ 



a — co U 



Equazioni differenziali di 1.^ ordine, 235 

e, integrando termine a termine, si ha: 

— a; — a log (a — ^)— J/ -i- J log J/ = cost. 

Ci è comodo porre la costante arbitraria sotto 
la forma di un logaritmo, cioè scrivere log G al 
secondo membro e allora si ha, passando dai lo- 
garitmi ai numeri, 

y^ (a — x)'^ -= Ce^+^ 

Si potrebbe vedere che se si deriva questa equa- 
zione e poi si elimina C fra essa e la sua deri- 
vata si ricade nell'equazione differenziale data. 

§ 4. Equazioni differenziali omogenee. — Imma- 
giniamo che in 

Mdoc ^ Ndy = (1) 

le ilf e ^ sieno funzioni omogenee dello stesso 
grado. In altri termini sieno tali funzioni che 
moltiplicando CG^y per una indeterminata \ esso 
risultino le stesse di prima moltiplicate per Xw. 

Allora è facile indicare un metodo generale di 
integrazione. Infatti introduciamo una nuova va- 
riabile z in luogo dì y ponendo 

y 

— =^ z. 

X 

Dividiamo la (1) per x^^^ e si ha che i coeffi- 
cienti di do?, dy, risultano funzioni del solo rap- 
porto — , cioè si ha: 



236 Capitolo VII. — § 4. 

Intanto da 

y 



= z 

X 

si ha: 

dy -^^ xdz -\- zdx 

onde sostituendo si ha l'equazione differenziale: 

'f 'z, dx ■\-\{z)^^xdz'\-zdx)=^0 
cioè 

X cp (2?) 4 ^z yz) 

in cui le variabili sono separate e quindi ci ridu- 
ciamo al caso precedente. 

L' equazione ottenuta nel § 2 è precisamente 
una equazione omogenea, e quindi si può integrare 
nel modo indicato. 

Essa è: 



y dx^{x -\-\l x^ -\-y'^)dy = 
ed è omogenea di grado 1. 

X 

Dividendo per y e poi ponendo — = z si ha: 

zdy +y dz — {z ^ n/ 1 + z^) dy^O 

donde 

dz __dy 



' Equazioni differenziali omogenee, 237 

e integrando 



log y = \og(z ^ \/ 1 -h 2;^) + log C 
donde 



X 

e ponendo z = si hanno successivamente gli 

sviluppi : 

ónde, escludendo la soluzione y -^ 0^ si ha per so- 
luzione la parabola 

y2^2Ga)—C'^ = 
il cui fuoco ò Torigine. 

§ 5. Equazioni lineari di 1.^ ordine. — Un' equa- 
zione della forma 

a X 

dove P^Q Steno funzioni della sola x^ si dice una 
equazione lineare; essa contiene liuearniente la y 

e la - . 
dx 

Poniamo 

y =zit .V 
dy dv, d u 
d X! dx f^'^' 



238 Capitolo VII. — § 5. 



Si ha 



dx dx ^ 



d 
dss 



^(r:^^»^* 



Potendo scegliere ad arbitrio una delle due fun- 
zioni «, t?, scegliamo u in modo che sia: 

d u 



dx 



+ Pu = 



cioè 



'^'' = -Pdx', 



u 



e inteerrando 



Allora resta: 



]ocru = — j Pdx 



dv 
u - — ^ Q 



dx 
cioè 

v={q e^P^^ d X + G 

e quindi 

y =. e-^Pdx \ r q ^SPdx dx+ c]. 



Equazioni lineari di 1.^ ordine, 239 



Sìa p. es. da integrare: 



d y . -r^ ^8 



doc 
Si ha: 

I Pdco — x 

I Qe^^^^dx==^ x^e'^dx. 

Per effettuare la quadratura 

x^e^dx 

ci serviremo della integrazione per parti; 
j x^^dx ^x^e"^ — ^ j x^e'^dx 

= x^e^—Sx^e^-^G [xe^'àx 

= a?» ^ - 3 OJ^ e^ 4- 6 ^ e-^ — 6 e"^ dx 

=^ x^^—Sx^e^ \- 6x6^ — 6e^' 

onde si ha: 

y = e'^ [x^e^—3 x^ e^ + 6 ^ e-^ — 6 ^^ + G\. 

Vi sono alcuni tipi di equazioni differenziali che 
si possono ridurre immediatamente a caso daUfò 
egnazioni lineari. 



240 Capitolo VII. — § 5. 

Si abbia p. es. : 

dove P, Q sieno funzioni della sola x. 
Poniamo : 



\ — n 

si ha allora: 

d z 



doG 



(X-n)Pz=Q, 



e con ciò l'equazione data è trasformata in un'altra 
del tipo delle equazioni lineari. 

Abbiamo detto precedentemente che se noi co- 
nosciamo un integrale particolare non possiamo 
senz'altro conoscere l'integrale generale. Però pos- 
siamo indicare il seguente tipo di equazioni in cui 
questo si può fare. 

Sia l'equazione: 

Sia II un integrale 7^((/*^/co/a/*^, cioè sia identi- 
camente : 

~^Pu=QiC' + R. (1) 



Equazióni lineari di 1.^ ordine. 241 
Poniamo 

y — u + v 

Si ha in virtù di (1) 
dv 



doo 



iP''2Qti)v = Qv^ 



che è del tipo precedente ; quindi si può integrare 
e si ha t? con una costante arbitraria. 
Per esempio l'equazione: 

a X 

ha per integrale particolare 

y = X 

Possiamo perciò applicare il metodo indicato e 
abbiamo da integrare 

^^ [P - 2Qx)v=-Qv\ 
dOD ^ ^ ^ 

§ 6. Equazioni differenziali di l.^' ordine non riso- 

d 1/ 
lubili rispetto a -^ . — Quando la risoluzione del- 

doo 

l'equazione differenziale rispetto a -r — riuscisse 

praticamente impossibile allora si presenta la ne- 
cessità di ricercare alcuni metodi che si possono 
applicare senza risolvere l'equazione differenziale 

dy 
rispetto a -r — . 

tv X 

Pascal, Calcolo integrale, ^^ 



242 Capitolo VII. — § 6. 

Al solito non possiamo dare metodi generali, 
ma metodi speciali pei vari casi. 

1.® Supponiamo che l'equazione differenziale 

non contenga ne x ne y e contenga solo -j— . 

ax 

Allora la riduzione dell'equazione darebbe 

dy 

— — = a = cost. 

ax 

dove non conosciamo a. Però sapendo che essa è 
una quantità costante possiamo integrare quest'ul- 
tima relazione, e abbiamo: 

y =: OL X + e 
donde : 

y — c 

a = , 

X 

d V 
Quindi se nell'equazioue data poniamo per -r-=- 

a iì^' 

questo valore di a abbiamo l'integrale generale 

richiesto. 

2.^ Immaginiamo che l'equazione differenziale 

non contenga y, e sia: 



f 



(-g)=»- 



Si possa allora risolvere rispetto ad x\ poniamo 
dy , dx 

a .^ «- V 



Equazioni differenziali di 1.^ ordine. 243 

Prendiamo per nuova variabile la /?, onde: 
dy dy dp dy ì 



P 
e perciò 



doo dp dx dp ^' (p) 



dìJ ,, s 

= ^cp (p) 



dp 



donde: 



y= XV^' {p)dp + C 



Calcolato questo integrale basta eliminare p fra 
esso e la 

a? = cp (p) 

per avere la relazione fra x e y. 
Si abbia p. es. : 



\dxi dx 



Sarà: 

X = p -]- p^ 



ed eliminando p fra queste ultime due relazioni 
8Ì ha l'integrale generale. Dalla prima si ha; 

p^=i X — p 



244 . ■ Capitolo VII. - § 6. ' 



onde 



2 1 1 

y = ^i'Xa' - P)-+ 2 0^ - P) +--Q ^, = 



2 ,1-1 , 1 ^ 

e risolvendo rispetto a ^ si ha: 

^~ 1 + 4» 
e sostìtaendo nella prima equazione si ha infine: 

( 6y + x+C \' , / 6y + ^+Cf \ 

^-\ l + icc ) ^\ l + 4x }• 

3.® Immaginiamo in terzo luogo che V equa- 
zione (lata non contenga .x, ma solo 2/; e si possa 
risolvere rispetto ad ?/. 
Allora poniamo anche qui: 

di/ ^ 

per, mòdo che l'equazione differenziale diventa: 

Derivando rispetto ad a; si ha: 

dx ' . '^' dx 



l»'.T ' 



Equazioni differenziali di i.» ordine, 245 

donde si ha l'altra equazione diflferenziale fra le 
variabili oo e p: 

da cui 



H 



P 



dp+C 



ed eliminando adesso al solito p fra questa re 
lazione e la V = f(p) si ha l'integrale generale. 
Sia p. es. l'equazione: 

dy 



Hm- 



dx' 



coli' introduzione del simbolo p e colla risoluzione 
rispetto ad t/ si ha: 



ap 
adp 2apdp 



P] 



j[pii+p') a+pv\'^^ 

« . ^ f dp 

Ora: 

Jp{i+p'yJU~i+JT^^ 

= logp- glogClM-p^^ 



246 



Capitolo VII - § 6. 



onde 

00= — 



—-—z + a \ogp--a log (1 -^ p^) + a 



Adesso non resterebbe che eliminare p fra questa 
equazione e la 



y= 



ap 



l+P^' 



4.° Vogliamo ancora considerare un'equazione 
differenziale dei tipo: 



^=^f{^vrdy' 



derivando rispetto ad .v si ha (ponendo , 



dy \ 



P^f(p)^-Xf'ip)^_ + 'u'(p)'^^ 



dx 



dx 



cioè: 



d^ , ^f{p)_ __ _ ?'_ W_ 
dp '^ f{pj--p fip) - P 

Questa è un'equazione lineare come quelle con- 
siderate nel paragrafo precedente, e ha per inte- 
grale : 

rf(p)dp [ r r fip) , 



x=e '^f'^'- 



p \ c 

L )f\p)- 



p 



e eiiminando p colla Aata «\ \i^ X^ vùXfò'^^^^ %^- 
aerale. 



Equazioni differenziali di 1.° ordine, 247 

Resta però ancora da considerarsi il caso in cui 
sia f (p) -= p, perchè in tal caso la funzione da 
iiitej^rare è infinita. 

Si abbia cioè da integrare l'equazione: 

allora derivando rispetto ad x, e riducendo si ha: 

[*-Ht'»]4~=0. 
dx 

Quindi ci si presentano due casi; o poniamo 

iC -h cp' (p) = 

ovvero: 

I 7 —\J» 

dx 

Il secondo caso ci dice che p è costante, cioè 
l'integrale è: 

p = C 

Eliminando quindi p fra questa relazione e l'e- 
quazione data si ha l'integrale generale: 

y = xC+<^{C} 

In quanto al primo caso esso ci dà: 

^ = — ?' (p) 

ed eliminando p fra questa relazione e la data si 
ha l'integrale. Però questo integrale ivoil x^x\k ^ 
} contenere alcuna costante arbìttaTÌa^ ^^ l^^^^ ^v 



248 Capitolo VII. — § 6. 



mostrare che esso non può ottenersi dall'integrale 
generale particolarizzando la costante. Giacche 
ricavando p dall'ultima relaziono e avendosi : 

p = ^{x) 
l'integrale di cui si parla è 

e, come si vede, questo si ricava dall'integrale ge- 
nerale, non dando a C un valore particolare co- 
stante, ma un valore che è funzione di x. 

Quindi questo integrale non e neanche uno di 
quelli integrali che abbiamo chiamati integrali 
particolari. Esso costituisce una specie di integrali 
che studieremo in seguito e che si chiamano in- 
tegrali singolari. 

§ 7. Del fattore integrante. — Sia data una equa- 
zione differenziale di 1.** ordine e di 1.® grado e 
sia posta sotto la forma: 

Mdx+ Ndy = (1) 

So iH, N sono rispettivamente funzioni di sola 
^ e di sola y, allora evidentemente il primo mem- 
bro di questa equazione è un differenziale esatto; 
tal primo membro sarà pure un differenziale esatto 
quando sia verificata la condizione : 

dM^dN 
dy dx 

Essendo zero il secowdo me\xvbro dell'equazione 
data^ 7101 possiamo sempre a\\.e\«^txv^\^ '^^►^^snsw \sns^- 



Del fattore integrante. 249 



tiplicando il primo membro per un fattore qua- 
lunque. 

Ora ci domandiamo: sarà in generale possibile 
troTare una certa funzione di ir, y tale che mol- 
tiplicata per il primo membro dell'equazione diffe- 
renziale lo renda un differenziale esatto ? 

È chiaro che se in un qualunque modo possiamo 
giungere alla ricerca di un tal fattore, allora l'in- 
tegrazione dell'equazione differenziale è senz'altro 
effettuata. 

Tal fattore, se esisterà, si chiamerà il fattore 
integrante. Noi dimostreremo: 
l.® Che esiste sempre; 
2.® Che ne esistano infiniti; 
3.® Che dato uno si possono trovare tutti gli 
altri. 

In quanto alla prima tesi si può dimostrare nel 
seguente modo : noi abbiamo detto avanti che 
esiste sempre l'integrale generale di una equazione 
differenziale. Ora immaginiamo tale integrale ge- 
nerale risolto rispetto alla costante arbitraria C; 
allora si avrà un'espressione del tipo: 

^{xy)=G (2) 

Se questo è l'integrale generale dell' equazione 
diflferenziale, ciò significa che derivando questa 
equazione, e eliminando poi C fra essa e la sua 
derivata, si deve ricadere nell'equazione differen- 
ziale data. 

Possiamo anche dire che dopo eliminata la 0, 

d y 
e ricavato il -z — dalla relazione to\x\ì^w\,^.^^^- 

a x 



250 Capitolo VII. - § 7. 



d V 
lore di tal —r— cosi ricavato deve coincidere iden- 
dx 

ticamente con quello ricavato dall'equazione dif- 
ferenziale. Ma se nel fare la derivazione dell'in- 
tegrale generale, la costante C sparisce da se, 
come succede appunto quando l'integrale generale 
è posto sotto la forma (2), allora non ci sarà più 
bisogno evidentemente di eliminare la C, e la 

d V 
equazione dalla quale dobbiamo ricavare il -^ — 

è proprio l'equazione derivata di (2). 
Ora da (2) si ha: 

11 
dy^ %x_ 

dx d^ 

dy 

mentre dall'equazione differenziale si ha: 

dy _ M 
dx"' N 

onde dovrà essere identicamente 

11 
M __dj^ 

dy 

cioè 

a? dj 

dx dy_- 



r 



Del fattore integrante. 251 

Se chiamiamo w. il valore comime di questi due 
rapporti abbiamo: 

onde moltiplicando per ^ il primo membro di (1) 
si ha: 

ox cy 

cioè il primo membro di (1) diventa il differen- 
ziale esatto della funzione 9 iìx^ y. Trovato 9 basta 
porre ^ = C per avere l'integrale generale. 

Si vede con ciò che esisterà sempre una certa 
funzione \t- che gode proprio della proprietà del 
fattore integrante. 

E facile ora dimostrare che, ammesso che di fat- 
tori integranti ne esista uno, ne esisteranno infi- 
niti. 

Infatti se {A è un fattore che rende 

\*-{Mda) j- Ndy) 

il differenziale di una funzione cp, allora conside- 
riamo l'espressione: 

!- f (?) (3) 

dove /* è il simbolo di una funzione arbitvavm ^\ 
f. Moltiplicando il primo membro ò\ VX^ ^«t '^^^ 



' 1,11 1^^ I IP lui \ 



252 Ga'pitolo VII — § 7. 

espressione si ha 

f{<^)[[».Mdx-\- vNdy] 

cioè 

fMd? 

che è il differenziale esatto iì: 



/ 



Quindi possiamo asserire che anche (3) è fat- 
tore integrante. 

Passiamo ora a dimostrare che tutti i fattori 
integranti sono compresi nella formola (3\ 

Siene j^, i^' due fattori integranti per modo che 
le espressioni: 

{x Mdx-^ a N dy 
[»-' Mdx-\- \f-' Ndy 

sieno rispettivamente differenziali esatti di due fun- 
zioni ^, cp' cioè sieno identicamente uguali a: 

d ^, d ^' 
Si ha allora: 

-—r = - , df = -d<^. 

Le cp, cp' sono funzioni di x, y; eliminando fra 
esse la variabile x^ possiamo sempre supporre *' 
funzione di, '^ e y. 



Del fattore integrante, 253 

- Allora il diflferenziale totale di 9' sarà: 

8? oy 

e paragonando questa formola con la precedente 
si ha 

cioè la 9' non verrà a contenere neanche la y 
quando vi si elimina la x con 9 (^2/) = 9; in 
altri termini 9' verrà ad essere funzione della so- 

la 9. Quindi — che è la derivata di 9' rispetto 

a 9 sarà funzione della sola 9, cioè 

donde: 

'/•' ^V-f (9) 

come si voleva dimostrare. 

Di qui si ricava che quando sono noti due fat- 
tori integranti, il loro rapporto eguagliato ad una 
costante arbitraria (supposto che non sia già da 
sé una costante) sarà Vintegrale generale. 

Giacché il detto rapporto dei due fattori inte- 
granti, eguagliato ad una costante, darà: 

/^(9)f=C 
e se 

9 = cost. 

è r integrale generale, anche f {;^ = co^^.. '^^^"^ I 
Hniegrale generale. ^ 



254 Capitolo VII. — § 8. 



§ 8. Equazione a derivate (larziali a cui soddi- 
sfano i fattori integranti. — È facile trovare una 
equazione a derivate parziali a cui debbono sod- 
disfare i fattori integranti. 

Infatti se 

[I- M d X + [A Ndy 

(levo essere un differenziale esatto dovrà aversi 
(v. Gap. V). 

d {\^ M) ^ d {y^ N) 
dy d«: 

onde sviluppando 

dy dx \dx dy] ^^ 

Questa è una equazione differenziale nella quale 
la funzione ignota è i^, e vi compariscono le due 
derivate parziali di ^ rispetto ad ^ e y. 

La integrazione di questa equazione differen- 
ziale costituisce in generale un problema più com- 
plicato di quello dell' integrazione dell' equazione 
differenziale data. Però in molti casi il problema 
si semplifica, e noi studieremo a parte questi casi. 
1.® Caso. Supponiamo che 



__ ì^ fdj^ _ dm 

Nidx dyì 



sia funzione della sola x, "j^Cx); allora è facile 
vedere che esiste un fattore integrante a funzione 
della sola x. 



r 



Equazione a derivate parziali^ ecc, 255 
Infatti se prendiamo 



cioè 



lo«:|/=. j '^{.i^)dd 



si avrà 



II 

— = '^ (-) 

e di qui si vede che T equazione a derivate par- 
ziali (1) è soddisfatta. 

Analogamente esisterebbe un solo fattore inte- 
grante funzione di sola y, se 



M \d ^ "d y ) 



M 
fosse funzione di sola y. 

Consideriamo per esempio l'equazione differen- 
ziale 

(x ^ y) d ce -\- d y ^- 

Si ha: 

M=x + y -—=1 

dy 



256 Capitolo VII. - §8. 

onde • ^ 

1 /;) AT 7iM\ 






che possiamo considerare come funzione di sola or. 
Allora il fattore integrante corrispondente sarà: 

Moltiplicando infatti per. e* si ha: 

e^{oo + y]dx Y e"^ d y = d[e^ y + ^ x — ^\ 

Quindi l'integrale delia data equazione diffe- 
renziale è: 

e^ly + X — 1] = cost. 

2.° Caso. Supponiamo che: 

dM dN 
dy dee * 

si possa porre sotto la forma: 

allora si può far vedere che esiste un . fattore in- 
tegrante che è il prodotto di una funzione di sola 
X per ima funzione di sola y. 
Infatti determiniamo le due funzioni 

Si può dimostrare che il prodotto X F è un 
fattore integrante. Perchè nella (1) ponendo 

a = X Y 



Equazioni a derivate parziali^ ecc. 257 



e quindi 






1:=^"=^''"" 




L'-^-.r-^^w 



si trova che l'equazione è identicamente soddi- 
sfatta. 



Sia p. es., Tequazione differenziale: 



e 



y 



+ y\doG + 2dtj — 



Abbiamo 



rp* + 2 a; — \ — y 



2 



y 



2 



— -^ M+2 

V 



I 



= i.iNr- - Jif 

y 



go? 



onde possiamo porre: 

9 (a?) = 1 



nz/) = 



1 

y 

ày 



X=^ei^^= e"" , Y--=e 
e il fattore integrante sarà: 

Pascal, Calcolo Integrale. 






"- // 



\1 



258 Capitolo VII. — § 8. 



L'integrale sarà: 

^ (07* + y* — i) = cost. 

3.® Caso. Consideriamo finalmente il caso in 
cui le funzioni M, N sono omogenee dello stesso 
grado; allora un fattore integrante è: 

_ 1 

Infatti facendo le derivate si ha: 

M-h X h V 



dx [Mx+Ny]' 

8. ^+^a7-^^a7 



d y {Mcc + NyY 

e sostituendo Dell'equazione fondamentale (I) e 
riducendo si ha: 

dx " dx dy '^ dy ■ 

= {Ma;i Ny)\}r~ — 7i — l 

\8a? dy J 

e ricordando che M, N sono funzioni omogenee e 
dello stesso grado n e quindi pel teorema di 
Eulero 

dM , BM 
3ac tììj 



I 



Equazioni a derivate parziali^ ecc. 259 



si trova che l'equazione di sopra è identicamente 
soddisfatta. 
Consideriamo p. es., l'equazione 

x + y 



y 



dx + dy = 0. 



Per espressione del fattore integrante si ha: 

1 

x+2y 

per il quale moltiplicando, si ha l'equazione: 

dx + — — — eit/ = 



0? (a? 4-22/) x+2y 

dì cui il primo membro è il differenziale esatto di 

— log x{x + 2 y) . 



Se noi possiamo in altra maniera qualunque 
conoscere un fattore integrante [^ di un'equazione 
differenziale omogenea, siccome sappiamo che un 
. fattore integrante è certamente 

[ 1 






Moo + Ny 
possiamo asserire che l'integrale generale sarà il 
rapporto di ,« per -r? tz — a meno cKe toX* 



260 Capitolo VIL - § 8. 

rapporto non sia già da sé una costante. Cioi 
l'integrale generale sarà 

[f-iMoo + Ny) = cost. 

Onde se il primo membro dell'equazione è gii 
un differenziale esatto allora possiamo prenden 
l* = jf e si ha che l'integrale generale sarà 

Meo + Ny = Gost 

a meno che il primo membro di tal relazione noi 
sia da sé una costante. 

Così p. es., sappiamo che il primo membro del 
l'equazione : 



x{a)+2y) co + 2y 

è un differenziale esatto ; ma però formando Mx 4- Nji 
si ha la costante 1. Invece per le equazioni 

ydx+cody=0 
{x-{-y)doo + xdy=0 

formando la espressione Mx + Ny si ha rispet- 
tivamente 

2xy 

x{x+2y) 

che eguagliati a eostanti saranno dunque gli iu- 
tegrali. 

§ 9. Integrali singolari delle equazioni differen- 

zia lì ordinarie, — A.b\)\amo g\a «^e.e.^wxi'aX.^ \i^\ ^^- 

ragraS precedenti alV eaìst^x^'z.a ftx vxxì! %Nìuc^ «^^^ 



Integrali singolari. 261 

di integrali delle equazioni differenziali, oltre gli 
integrali generali e particolari. Ora passeremo a 
dirne qualcosa di più dettagliato. 
Si abbia un'equazione differenziale 



f 



{■•«•'^y^ 



e il suo integrale generale: 

dove C è una costante arbitraria. Si abbia poi 
un' altro integrale •]> (pc y) =0 della stessa equa- 
zione differenziale: potrà avvenire che cp per un 
valore particolare di C diventi proprio la funzione 
'j' ; nel qual caso ^^ è un integrale particolare. Ma 
potrà anche avvenire, come ora vedremo, che '} 
non si possa ricavare da ^ particolarizzando C. 
Allora sarà un integrale di altra natura e che 
chiameremo singolare. 

È chiaro intanto che se esiste una tale '\ si deve 
sempre poter ricavare da f dando a C non più 
un valore costante determinato, ma ponendo per 
G una funzione di co^ y. Infatti basta prendere per 
C il valore che si ricava dalla relazione : 

? (^ 2/ C) = H^ 2/) 

Passiamo allora a vedere se è possibile dare 
nell'integrale generale, a C per valore una funzione 
ài x^y in modo che la espressione che ne risulti 
sia ancora un integrale dell'equazione data. 

Infatti se cp è r integrale, vuol dire che se da 

dy 
esso TÌcaYÌamo -z — , e poi elimimamo C e.o^^ "t^- 

Cu co 



262 Capitolo ni - § 9. 



lazione (p = si deve avere lo stesso valore di 
-r " ricavato dall'equazione differenziale. 

Ora il - — ricavato da ^ -= è quello che si 
ci 00 

ricava da: 

?_? + ÌJ?^?^=0 (1) 

d^o dy dx 

Se invece C si suppone una funzione di a?, y 

d V 
allora il — ricavato da <p = è quello che si 

CI w 

ricava da 

dx' dydx'^dCXdx dydx) ^' 

Queste due relazioni sono identiche se 



d_j{d£ , dCdy\_ 
dCXdx dvdxY"^' 



dC 

e poiché da 

dC dCdy^^ 

doc dy dx 

si ricaverebbe C costante e quindi non più fun- 
zione di x^ y, così dovremo porre eguale a zero 
l'altro fattore, cioè 

d ? 



dc 



= 0. 



So dunque determimamo C in modo che si ve- 
l'ifichi questa tcWAovì^ì^ «^\Qt^ TOolvli attwVw^ ^v 



Integrali singolari 263 



imbattersi in uà integrale dell'equazione data, e 
si avrà così l'integrale singolare. 
Si abbia p. es. da integrare 

.. _ ydy 

a a; ^= . . 

yja^-y'^ 

L'integrale generale è 

{X — Cy + y^ = a^ 

che è l'equazione di una serie di cerchi col centro 
sull'asse di ^ e col medesimo raggio a. 
Per avere le soluzioni singolari dobbiamo porre 

= 1^=^ -2(0;- C), 
la quale equazione ci dà 

C r= O) 

che posto nell'integrale generale dà 

y^ = a^ 

equazione che rappresenta le due rette 

y — a = 
y -h a = 

Queste due rette sono tangenti a tutti gli infi- 
niti cerchi determinati dall'integrale generale. Pos- 
siamo dire più precisamente che queste due rette 
ra[)presentano l'inviluppo di quei ceTcitó. 

È facile dimostrare che questa propròtò^ "^ %^- 



264 Capitolo VII. - § 9. 

nerale per tutti quegli integrali singolari che si 
hanno ponendo 

a? 



dc 



-=0. 



In altri termini, immaginiamo che T integrale 
generale si rappresenti geometricamente sul piano; 
esso rappresenterà una serie di curve che si ot- 
terranno variando la costante C, Allora l'integrale 
singolare rappresenterà precisamente l'inviluppo 
di tutte queste ciirve^ quando tale inviluppo esiste. 

Infatti noi sappiamo che per ricavare VinvUuppo 
dobbiamo derivare l'equazione della serie di curve 
rispetto al parametro C, e poi eliminare il para- 
metro fra l'equazione data e questa derivata; ora 
questo è precisamente il processo per ottenere la 
soluzione singolare, 

§ 10. Equazioni differenziali lineari omogenee.— 

Nei paragrafi precedenti abbiamo studiate le 
equazioni differenziali di l."" ordine; ora dovremo 
passare a quelle di ordine superiore. 

Considereremo per ora una classe speciale di 
equazioni differenziali di ordine superiore, e pro- 
priamente le cosiddette equazioni differenziali 
lineari. 

Si indica con questo nome una equazione diffe- 
renziale del tipo 

dove le X sono tutte tev'àom \^^ 's^Ova. ^ wvaki\\fò 



Equazioni differenziali lineari omogenee, 265 

A?; in tale equazione compariscono le y o le sue 
derivate successive solo linearmente. 

Si chiama poi omogenea una siffatta equazione 
quando manca il secondo membro, quando cioè 
in particolare è 

Xn-\-l = 

In questo capitolo studieremo solo le omogenee, 
e poi in seguito faremo vedere che Vintegrazione 
di ogni equazione non omogenea si può sempre 
ridurre alV integrazione di una equazione omo- 
genea. 

Cominciamo a dimostrare alcune proprietà delle 
equazioni lineari omogenee, la cui forma generalo 
è dunque: 

Xof^ + Xif^ + ... + X„2/ = (1) 
^dx*^ ^ doo^^-^ 

In primo luogo con una opportuna trasforma- 
zione questa equazione si può ridurre ad un'^ al- 
tra di ordine n — 1, ma non più lineare. 

Infatti poniamo 

y = g5«<^^ . 
dove z rappresenti la nuova funzione in luogo 

diy. 

Allora 

dy _ 



dx 



::^ ^Izdx ^ 



d^y f ^ r 9 . ^ ^1 

dx^ l d ir\ 



266 CapUolo VII. - § 10. 

Si vede di qui che in generale la deriyata di y 
d' ordine k si esprime mediante le deriyate di z 
fino a quella di ordine k — 1 

Sostituendo queste espressioni nella (1) si può 
sopprimere il fattore comune a tutti i termini: 

resta allora un' equazione in z che contiene le de- 
rivate di z sino a quella di ordine n — 1, 

Con ciò il teorema è dimostrato. 

In secondo luogo è chiaro che se J/, è una so- 
luzione particolare di (1) sarà soluzione di (1) an- 
che la Ci J/i essendo e, una costante arbitraria. 

E così se 2/i, 2/2 sono due soluzioni particolari, 
r espressione 

2/ = Ci ^1 + C2 2/2 

dove Ci 0-2 sono costanti arbitrarie, sarà anche un 
integrale. Perchè sostituendo in (l) in luogo di y tale 
espressione si ottengono due categorie di termini, 
in una delle quali c'è sempre come fattore comune 
Ci e poi tutte le derivate della sola J/i , e nell'altra 
c'è come fattore comune C2 e poi le derivate della 
sola 2/2; e ciascuna di queste classi di termini è 
zero da sé, perchè J/i y^ soddisfano per ipotesi al- 
l'equazione (1). 

In generale se sono note n soluzioni partico- 
lari di (1) 

allora possiamo analogamente dire che: 

y=cx yi + C2y2'^ " + Cu yn (2) 

à anche un integrale ài (S)* 



r 



Equazioni differenziati lineari omogenee. 267 



Poiché questo contiene n costanti Ci Cj . . . On 
viene spontanea la domanda. Può (2) essere proprio 
integrale generale? 

Sappiamo che perchè (2) sia l'integrale gene- 
rale è necessario che le costanti sieno combinato 
fra loro in una maniera speciale, cioè che for- 
mando di (2) le w — 1 prime equazioni derivate 
se ne possano ricavare le e in modo determinato 
in funzione di oc^y\y ' . . . yC*» — ^) . 

Ora le equazioni dalle quali dobbiamo di rica- 
vare le e sorib: 



y 
y 



= c,y, 

= Ci yì 



+ ^2 2/2 

+ C22/2' 



+ . . . -f- Cm yn 
4- . . . + C/i yn 



) 



y{:n-l) == e, J/i("-^) 4- C2 y,^''"'^^ -h . . . + C, yn (^"^^ 

onde è necessario che il determinante: 

i 2/1 y> ... yn 
yì y{ ... 2// 



^D 



^^(«-Dy/n-D.^y^^Cn-l) 



«/a diverso da zero. 

E interessante però fissare in che modo D deve 
essere diverso da zero. Tutti i termini di D sono 
funzioni determinate della variabile (v. Ora è chiaro 
che esistono in generale sempre valori di 00 pei 
quali si ha D = ; onde bisognerà. xxiMs^^'sg^Nsct^ 
ebe a^ si muova dentro un campo \v\ ^\v\ \^si^^^ ^"^ 



268 Capitolo VII. - § lO. 



sia alcuno di tali punti oo. In altri termini la y 
definita dalla formala 2) è integrale geìierale di 
(1) solo in un campo in nessun punto del quale D 
sia zero. 

Potrebbe però darsi che per qualunque x il 
determinante D sia sempre zero, allora la (2) non 
può rappresentare in nessun caso l'integrale ge- 
nerale; cioè gli n integrali particolari J/i3/2.».2/« 
non sono tutti scelti in maniera da potere dare 
l'integrale generale, cioè, come si usa dire, non 
costituiscono un sistema fondamentale. Noi nel 
calcolo differenziale abbiamo già studiato un de- 
terminante formalo come D, che abbiamo chia- 
mato wronskiano (v. Cap. V, § 3), e abbiamo di- 
mostrato che se esso è zero per qualunque ^, 
allora fra le funzioni y esiste una relazione lineare; 
possiamo dunque conchiudere, che perchè le jiJz,,, 
yn costituiscano un sistema fondamentale è neces- 
sario che fra esse non esista alcuna relazione li- 
neare omogenea. 

Ma ora si presenta spontanea la domanda: Esiste 
un sistema fondamentale? Questa domanda coin- 
cido coll'altra: L^integrale generale dell'equazione 
differenziale lineare omogenea si può porre sotto 
la forma (2), cioè in modo che le n costanti vi 
entrino linearmente? 

Se si risponde affermativamente a questa do- 
manda è chiaro che si sarà risposto aflérmativa- 
mente anche alla prima. 

Ora si può dimostrare che effettivamente l'inte- 
grale generale di (1) si può mettere sempre sotto 
la forma (2). 

È per ciò fare covmweWwo cq\'^'9Sì"5sx^*^^^^;^^^<? 

teoreniA : 



Equazioni differenziali lineari omogenee. 269 



Se di tm^ equazione come (1) si conosce un in- 
tegrale particolare 

allora V integrazione di (1; si può ridurre a quella 
di una altra equazione dello stesso tipo ma in 
cui l'ordine è diminuito di una unità. 
Infatti sia j/i l'integrale particolare e poniamo: 

y-ViZ 

dove z sia la nuova variabile che si vuole intro- 
durre in luogo di y. 
Allora : 

dy^^dVi d_z 

dx dco ^ dx 

d'y^d'Pi ^dy.dz d^z 
dx^ dco^ dxdx dx^-^"^ 



Sostituendo questi valori in (1) e osservando 
che la parte contenente per fattore z si distrugge, 
perchè ^1 è soluzione di (1) per ipotesi, resta una 
equazione lineare contenente solo le derivate di 
-r, da quella di ordine n sino a quella di ordine 
1.**, e non contenente più z esplicitamente. Cioè 
si ha: 

°rfa?» ^ rf.'i?«-i dx 

dove le X' sono funzioni di x. 



270 Capitolo VII. — § 10. 



Ponendo allora 

d z 



= u 



dx 
si ha 

^0 irz';,' i ^ . • • + X'n-\ w = 0, 
d cc^-^ 

cioè un'equazione lineare omogenea di ordine n— 1. 
Trovato u si ha: 

z= j udx -\- c^ 

e quindi 

y = yiz = y^y\ udx -^ Cj j . 

Ciò posto supponiamo che per ìin'equaziotie dif- 
ferenziale lineare di ordine n — 1 V integrale si 
possa sempre porre sotto la forma: 

ti = C2 Ih + C3 1^3 ^ . . . + Cn Un 

e dimostriamo che allora la stessa proprietà si 
verifica per una equazione differenziale limare 
di ordine n. 

Infatti dalla trasformazione precedente risulta, 
se j/i è un integrale particolare della data: 

1/ =--- Ci Vi -^ c^xjxXuid X + c^ìfi \u^dx-\- ..,-{- 



Equazioni differenziali lineari omogenee, 271 • 



Ora: 

y 1 j W2 ^ -^ 1 ì/i \ u^do) j ,, .tjj^ l tindx 

son tutti integrali particolari della equazione data 
e quindi li possiamo chiamare t/2 2/3 . . . 2/« , e con 
ciò si è dimostrato che se il teorema è vero per 
l'ordine n — Ih vero per l'ordine n. 

Resta a far vedere che per n = jf il teorema è 
vero, cioè che per una equazione lineare di 1.^ 
ordine omogenea, l'integrale può sempre porsi sotto 
la forma: 

dove j/i è un integrale particolare. 
Ora per l'equazione 

dy 



si ha: 



rf. + ^^^ = « 



y 



e integrando 

log 2/ = —■ I X^dx-^ log e 

y = e er^^^^^ 

come si dovea dimostrare. 

§ IL Equazioni Uneari omogenee coiv ^^^^^v^tKv 
€§stanti — Passiamo a considerare W (ia^^ vcv e,\3à. 



272 Capitalo VII. — § 11. 



r equazione lineare (1) del paragrafo precedente 
abbia tutti 1 coefficienti X costanti, cioè sia della 
forma 

cP^y d^-^y dì/ ^ ,,, 

Ricerchiamo se una funzione del tipo ^ = e"^, 
dove a sia una costante, può soddisfare questa 
equazione. 

Le derivate successive di y sono; 

dy. 



dix^ 



= a e"^ 



d'y 2 



onde sostituendo in (1) si ha: 

e"^ («0 a'* + a, a«-i + . . . + a» ) — 

e poiché e'^^ non può essere zero, lo dovrà essere 
l'altro fattore; onde perchè y=e"^' rappresenti 
lina soluzione particolare di (1) è necessario che 
a sia una delle n radici dell'equazione algebrica 

^0 0^" + «1 ^" ■ ^ + . . . ^ an = (2; 

la quale si forma da (1) ponendo in luogo delle 
derivate successive di y le potenze successive 
della variabile «. Se dunque noi risolviamo la (2) 
supponiamo che le sue n radici sieno tutte disu- 
^»-uali e sieno: 



Equazioni lineari con coefficienti costanti, 273 



allora 



gfflj; ^ ^«^ ^ _ , ^ ^nX 



rappresentano altrettante soluzioni particolari di- 
stinte di ( 1). Se quindi dimostriamo che il deter- 
minante formato con queste soluzioni e le loro 
derivate sino a quelle di ordine n — Jf, è diverso 
da zero, allora potremo affermare, giusta la teoria 
sviluppata avanti, che l'integrale generale è: 

y = Ci ^"»^ + Ca e"«^ \- ,,, -r Cn e"»^ . 

Ora il determinante di cui si parla è eflFettiva- 
mente diverso da zero, perchè esso è: 



,a,x 



e»i 



^a^ 



0OC„SC 



a^ e«i* OLo e"^ . . . o^n e"**^ 



Ot^a-l ^a,x a^n-1 ^a^ «^^ n-1 ^ct^x 



cioè: 



il 



1 



...1 



a 



g«i^ e"^ . . . e""^ 



2 



^2 



. . . a 



n 



. . . *M 



Pascal, Calcolo integrale. 



. . ^n 



n-\ 



\^ 



274 Capitolo VII. - § 11. 



di cui il primo fattore che è un esponenziale 
sempre diverso da zero e il secondo fattore ci 
è un determinante, è uguale, come si sa dall' a 
gebra, al prodotto delle differenze delle a combi 
nate a due a due fra loro in tutti i modi possi 
bili; quindi esso non può essere zero almenocl: 
due delle a non sieno fra loro eguali, ciò che n 
abbiamo escluso. 
Sia p. es., l'equazione: 



2 u^ !/ = 




L'equazione algebrica corrispondente è 

a^ - u^ = 

donde : 

a. = ± il 

quindi l'integrale generale è: 

Immaginiamo ora che l'equazione caratteristic 
(2) abbia due radici efjuali; allora non si avrann 
più n integrali particolari distinti, e quindi no 
più si troverà l'integrale generale per la via ir 
dicata. 

Per trovare in tal caso la forma che acquisi 
l'integrale generale noi ci serviremo di un metod 
di passaggio del limite. 

Siene «i ag le due radici eguali. Incomincerem 

col supporre c\\e pT\ma \^ à.\3L^ ^«A\q\ «te.i\Q disi 

^'•uali, e ditteriscaìAO \)0t ww«^ cvvy«j^\\>^vv. A\. ^^'c 



f 

Equazioni lineari con coefficienti costanti. 275 



possiamo trovare colla forinola precedente l'inte- 
grale generale; trasformando poi questo in modo 
opportuno e passando al limite per h = avremo 
l'integrale generale pel nostro caso. 
Se dunque: 

allora l'integrale generale sarà: 

Ci «"t^ + Ca e"^ -h . . . + Cm e««^ = 

r h^ x^ 1 

Poniamo ora 

Ci + C2 = Ci , Ca A = C2 

si ha: 

e facendo poi h = si ha infine 
1 (Ci + C2 ^) e«>^ i- Cj e«3^ + . . . 

che è l'integrale generale pel caso in cui due ra- 
dici dell'equazione caratteristica sono eguali. 

Analogamente si ha in generale, che se k radici 
sono eguali fra loro, allora basta moltiplicare la 
y\ esponenziale corrispondente a quella radice per 
un polinoiwio intero in ^v di ordme^ )c — 1 ^^ ^^sv 
/ coefBelentì sioao tutti arbitrari. 



276 Capitolo VII. - § 11. 

Del resto possiamo effettivamente verificare che 
se «1 è radice doppia dell'equazione in a allora 

è un altro integrale particolare. 
Giacche 



du) 



— =7 e^ix 4- 0? a, e'^i ^ 

dx 
d?y 



^ = 2 aj g«.^ + X ai^ e«i^ 



dx' 



= 3 a^* e"»^ -H ^ «j^ g«ia? 



e sostituendo nell' equazione differenziale data e 
sopprimendo il fattore esponenziale comune, resta: 

(«0 ^i^ + «1 *i**~^ + . . . an-i 0? 4- On ) + 
+ (w «1 a^^-i + (w — 1) ai ai«-2 4. . . . + a^_i) = 

la quale relazione è effettivamente verificata se 
«1 è radice doppia, perchè allora per ^ = a^ si 
annulla il primo membro dell'equazione e la sua 
prima derivata, e quindi ciascuna delle parentesi 
è effettivamente da se zero. 

Così in generale si potrebbe dimostrare che so 
0^1 è radice multipla di ordine A:, allora: 

X^ — l ga,a; 

ò integrale part\co\a\:e. 



r 



Equazioni lineari con coefficienti costanti. 277 



Sia p. es. l'equazione differenziale: 



doc^ 







l'equazione algebrica corrispondente è: 

che ha tutte le radici eguali a zero. Quindi pos- 
siamo dire che l'integrale generale è: 

y = Ci + C2 0? + Cg ^' 4- . . . + cn ^^ " ^ 

Immaginiamo ora finalmente che fra le radici 
a ve ne sieno alcune immaginarie; allora si po- 
trebbe applicare lo stesso metodo e si avrebbe 
l'integrale generale sotto forma immaginaria. 

Ora poiché tutti i principii da noi dati finora 
suppongono sempre funzioni reali di variabili reali, 
così dobbiamo cercare di escludere sempre ogni 
considerazione di immaginari. 

Epperò cercheremo di dare l'integrale generale 
sotto forma reale. Sieno : 

le due radici immaginarie coniugate. 
Allora 

e, e"^^ f C2 e"^ = ef*y \c^ e^y^ + C) e"'*V*] = 

= e^^[ci (cosY^ +isenY^)* C2 (cosy 00 -isen y^)] = 

= e^^ [cj + c-y) cos Y ^ -*- (ci — C2) i sen y ^] 

ponendo: 

Ci + C2 = C^ 
i (ci — e,) = C^ 



278 Capitolo VII. — § IL 



dove (7i, C2 sono due nuove costanti arbitrarie 
si ha: 

e ^^ {Ci cos Y i3? + Co sen y x] 

Quindi nell'integrale generale c'entrerà questo 
termine in luogo dei due corrispondenti alle radici 
immaginarie. 

Anche qui si potrebbe far vedere che effettiva- 
mente 

cos (y ^) e^ * 
sen {^ X) e^^ 

rappresentano due integrali particolari dell'equa- 
zione data. 
Sia p. es. l'equazione: 

dx^ dx 

L'equazione algebrica corrispondente è: 

a3 — a — 6 = 

che ha per radici 

a = 2 , a = — l+i\/2 , ar= — l-iv/"2 

e quindi l'integrale generale sarà: 
y =. Ci e^^ 4- [c^ cos (v/ 2 x) r C;; sen (V 2 a?)] e-^ 
Se consideriamo ancora l'equazione: 



doc' 



..^^-^ 



r^m^T'^ 



Equazioni lineari con coefficienti costanti, 279 



applicando il metodo trovato si trova: 

y ■= C cos a? + Ci sen O) 

A questo risultato si può giungere osservando 
che cos iP, sen x sono proprio due funzioni tali 
che le loro seconde derivate sono eguali alla fun- 
zione stessa; ma col segno cambiato, e quindi esse 
rappresentano due soluzioni particolari dell'equa- 
zione data. 



§ 12. Equazioni lineari non omogenee. - Si abbia 
l'equazione non omogenea: 

XoP^-^X,f^^z + .., + Xny-X (1) 

dove le X sono funzioni della sola oo. 
Allora si integri l'equazione omogenea: 

che si ricava da (1) sopprimendo il secondo membro. 
Sia 

y = Ci 2/, + C2 J/2 + . . . + Cn ì/n (3) 

l'integrale generale dell'equazione (2). Noi vogliamo 
vedere se è possibile soddisfare ad (1) colla stessa 
funzione (3) in cui però supporremo che le e non 
sieno piti costanti ma funzioni di oc. 
Formiamo dunque le derivate au^ic^m^^ ftcvV5^^ 



280 Capitolo VII. - § 12. 



Si ha in primo luogo: 

dee "^ doo dx 

dCi , dcn 

Poniamo eguale a zero la espressione 
dCi , . dcn ^ 

e allora resta semplicemente: 

dy diji , dyn 

dx dy dx 

cioè un'espressione eguale a quella che si avrebbe 
se le e fossero considerate come costanti. 

Deriviamo ancora questa prima derivata, e po- 
niamo poi eguale a zero la parte contenente le 
derivate di e, e così di seguito eseguiamo questo 
processo sino alla derivata di ordine n — 1, 

Abbiamo allora il sistema di equazioni: 

dx d X dx 






\ 



Eqtcazioni lineari non omogenee. 281 

avendo sottoposte le derivate delle e alle condi- 
zioni: 

dci dcn ^ 

dPi dci dyn d cn ^ 

dx dx * * dx dx 

(4; 



d^-^y^ de, ^ d^-^Vn dcn ^^ 

d ^**~2 dx " ' d x^-^ d X 



Con ciò le e, , . . Cn le abbiamo sottoposte ad 
n — 1 condizioni espresse da altrettante equazioni 
differenziali. Le sottoporremo poi ancora ad una 
ultima condizione e propriamente alla condizione 
corrispondente al fatto che (3) debba essere in- 
tegrale di (1). Vediamo come si esprime quest'ul- 
tima condizione. 

Si ha evidentemente: 

d^y _ d^ .Vi d'^yn , 

dx** dx» dx» 

d»-^ yi de, d ^-^ yn den 

'^ doc»-^ doc'^ ' ''^ da?«-i dx 



e sostituendo i valori delle demaX.^ ^\5lC^^%'®:^^ 
di ^ nel primo membro di (V) d \\«^^ <òx?C\\!Còxàs2 



282 Capitolo VII. — § 12. 

— - ■ I I 

i termini: 






+ Xo 



/ d'^-^y, dci d*"-^ Vn dCn \ 

Vda:«-i ^x ^ "' ^ dic*^"'^ dx ] 



e perchè la (1) sia soddisfatta deve dunque essere 
tutta questa espressione eguale a X, 

Ora tutte le quantità contenute nelle prime pa- 
rentesi sono zero perchè 2/i 2/2 . . • J/n sono solu- 
zioni particolari di (2}, onde resta l' altra condi- 
zione a cui debbono soddisfare le derivate delle e, 
cioè: 

d'*"^ ^1 dcj d^-^ Vn dcn _ X 

dx'^-^dcv "* ^ doc^-^ dos ^ Xq 

Se si potranno trovare le e in modo da soddisfare 
a tutte queste n relazioni differenziali cioè le (4) 
e la (5), allora avremo risoluto il problema. 

Ora queste n equazioni sono prima di tutto li- 
neari in: 

dci dc2 dcn .^^ 

dx ' dx ' '•• ' 1^ ^^' 

e quindi potremo ricavare i valori di queste de- 
l'ivate se il àeteximw^xiX.^ ^sv ^<i^^<i.\fò\iti non è 
zero. 



I Equazioni lineari non omogenee. 283 

Ora ciò si verifica effettivamente perchè il de- 
terminante dei coefficienti è: 



Vi' 



ì^2 • • • 
2/2 • • 



Vn 

yn 



yj(n-l) y^Cn-l) . . . 2/„(«-l) 



cioè pròprio il determinante fondamentale delle 
soluzioni particolari 2/i J/2 • • 2/« 1 il quale (vedi pa- 
ragrafo precedente) è diverso da zero altrimenti 
(3) non sarebbe l'integrale generale di (2). 

Determinate dunque le derivate (6) in funzione 
di ^, con semplici quadrature saranno poi deter- 
minate le e 

La determinazione di ciascuna e porta con sé 
daccapo una costante arbitraria, quindi si hanno 
ancora in tutto n costanti arbitrarie. 

Si abbia da integrare 



dOD 



.2 



2 



n^y=ze^. 



Bisogna prima di tutto trovare Tintegrale gene- 
rale di: 



d^ 
doc^ 



— n^ yz=. 



che è: 



y=C^^na;4.c2e-"«^. 



284 Capitolo VII. — § 12. 



Indi bisogna determinare le Ci e, in modo che 

dci , dco 



cioè 



,, dci , dc2 r. 

dx dx 

dci , ^ dco 
dx dx 



donde 



d Ct \ ,. . d c> 1 /, , X 

doo 2n ' rfit? 2m 

Di qui si ha: 



e, = --— e^^-'Ox d co --■ - — j^ : ea-w>r + Ci 

n J 



1^ 

2nJ ^ ^^^ 2n{l~n) 

\ r ^ 1 



quindi V integrale generale della data equa- 
zione è: 

2 n(l — 70 2m(1 +7*) 

+ Co e-"^ =- ^1 -. e^ 1- C^ 6"^ + Co e-"-^. 

1 — n^ 



Teoremi sulle equazioni differenziali lineari, 285 



§ 13. Teoremi sulle equazioni differenziali lineari. 
Formola di Liouville. — Abbiamo visto nel prece- 
dente capitolo come si può ricavare l'integrale 
dell'equazione lineare completa fcon secondo mem- 
bro diverso da zero) da quello deirequazione omo- 
genea che si ricava sopprimendo il secondo mem- 
bro. Ora vogliamo dimostrare alcuni altri teoremi. 
Sia data l'equazione 

^'dFn-^^'dl^^'^ ...--f-X«2/ = X (1) 

e formiamo l'equazione omogenea corrispondente: 

Si conosca un integrale particolare di (1), e sia 
Y e V integrale generale di (2), che sia Yi; allora 
si potrà subito conoscere ^integrale generale di (1) 
che sarà dato semplicemente dalla formola: 

Y+Y, 

Infatti per ipotesi si ha che Y sostituito in luogo 
di y, nel primo membro di (1) lo riduce eguale 
ad X, e Yi sostituito nello stesso modo nel primo 
membro di (1) lo riduce eguale a zero, dunque 
(Y+ Yi) sostituito nel primo membro di (1) lo ri- 
durrà eguale ad X, cioè {Y+ Y^ è integrale di (1), 
e poiché contiene n costanti (perchè Y^ è integrale 
generale di (2) ) si ha che esso è l' integrale ge- 
nerale di (1). 

Si vede dunque che mentre coWw, \.^ci^\a. ^^'^^^^«^^è* 
paia nel paragrafo precedente, cowo^cvu\.o X Vc^^- 



286 Capitolo VII — § 13. 



graie generale di (2), per conoscere quello di ( 
bisognava ancora fare n quadrature, queste ultìr 
si possono risparmiare se si conosce un integrai 
particolare di (1). 

Consideriamo p. es., l'equazione: 

—^ + a^y==2 cos mx + S sen m x. 
Conoscendo l'integrale generale di: 

che è: 

Fj = Ci cos a 0? + Ca sen a x 

per risolvere l'equazione data ci basterà di trova 
un suo integrale particolare. 
Sperimentiamo un'espressione della forma: 

F — a cos m a? + p sen m x 

dove a, p sieno due costanti incognite. 

Facendo le derivate e sostituendo nell'equazio 
data si trova che essa è soddisfatta se: 

2 ^ 



a^ — m^ * a^ — m^ 



dunque : 

, 2 cos m .^ -f 3 sen m 
y = Ci coBax + C2 sen ax -\- 



9 9 



ò l'integrale T\c\\\e^to. 



Teoremi sulle equazioni differenziali lineari. 287 



Si può ora passare a dimostrare i seguenti teo- 
remi: 

1.** Se si conosce un integrale particolare di 
(1) allora V integrazione si può ridurre a quella 
di un^ altra equazione lineare dello stesso ordine 
ma omogenea* 

2.® Se si conosce un integrale particolare di 
(2j allora V integrazione si può ridurre a quella 
di un' altra equazione lineare non omogenea ma 
di ordine inferiore. 

Sia Y l'integrale particolare di (1\ allora basta 
fare la trasformazione 

2/= Y + z 

e si giunge facilmente ad avere un' equazione in 
z omogenea e dello stesso ordine, e con ciò resta 
dimostrato il 1.® teorema. 

Se poi Yi è un integrale particolare di (2) al- 
lora colla trasformazione 

y = Y^z 

3Ì dimostra il secondo teorema. 

Togliamo finalmente dimostrare un teorema no- 
tevole dovuto a Liouville sull'espressione del de- 
terminante wronskiano D {v. Calcolo differenziale, 
Gap. V, § 3j degli n integrali particolari dell'equa- 
zione differenziale lineare omogenea. 

Dalle relazioni: 

^dx^ ^dx^-^ ^ dx^-^ ^^ 






288 



Capitolo VII. —§13. 



eliminando X» X» . . . Xn si ha : 






dx*» 



da,"-i ' (ia;»-2 ' 



^ d«y„ , ^ d»-iy« d»-2t/„ 



e poiché gli elementi della prima colonna tìì 
tano di due termini così questo determinante 
scinde in due, cioè 



y/n) j^^(n-2) ;. . y^ 



yn^''^yn^'"'^)...yn 



+ 



-X, 



y^in^l) yj(*»-2)...y^ 



Ì2/n(^-^) yn^''-^K..yn 



-0 



e in forza di un teorema dimostrato (v. Colt 
differenziale, Gap. V, § 3), il primo determina 
è la derivata del secondo, che chiameremo 1 
quindi si ha: 



Teoremi sulle equazioni differenziali lineari. 289 



donde 



^^^-5- e/. 



e quindi 

D = Ce ^^^ 

cioè il determinante D si esprime con questa for- 
mola mediante un esponenziale. 
Questa è la cosiddetta formala di Liouoille. 

§ 14. Sopra certe classi particolari di equazioni 
differenziali lineari. — Per il caso in cui le equa- 
zioni lineari abbiamo coefficienti costanti noi ab- 
biamo visto che si può trovare l'integrale generale 
e tale ricerca dipende dalla risoluzione di una equa- 
zione algebrica. 

Nel caso in cui i coefficienti sono funzioni di 
a? non possiamo dare in generale nessun metodo 
per la risoluzione, il cui successo dipenderà da ar- 
tifizii più meno opportuni. 

Togliamo però qui studiare alcuni tipi fra i più 
semplici che ci si presentano. 

Sia l'equazione 

dx'' ax^b dx^'^ •' 

ai d^'-Uj i.__»»v \ =v 

(aa^ + by dxn-i + • • • "^ \ax\ bY '^ 

Fabcal, Calcolo integrale. '^ 



SfBO . Capitolo VII, - § 14. 



doye ai . . .an ^aj) sono costanti e X ò una fun- 
zione qualunque di a?. 
Poniamo : 

a X + b = e* 

e prendiamo per yariabile indipendente t in luogo 
di X. 
Allora: 



dy dy dt dy a 



d^ dt dx dt aic i-b 

d^y _^ dj ji^fdj/\ 
d^^ daó dt\dx) 

* « \(^^y ' ^ ' dy a^ ax+M 
^ ax'-ih\dt^ax 'V b dt (a a; 4- i)^ a J 

•' ~'{àx^b)nT{''"dtì 



Sostituendo questi valori nell'equazione data e 
moltiplicando per {ax -^ i)" si ha un' equazione 
con coefficienti costanti. 

Sia p; esi 

dx" dx 

Dividendo per :7;^ questa equazione risulta esat- 
tamente del tipo sopra considerato. Poniamo: 



X ^=^ e 



X 



f » 



Equazioni lineari particolari, 291 

e allora Tequaziono diventa : 

cioè 

L' equazione algebrica caratteristica corrispon- 
dente è: 

z^--2nz Vn^^O 



• \ 



Cloe 

che dà 

z = n 

come radice doppia. 

Quindi due integrali particolari della proposta 
daranno': 

e" ^ , < e*» ^ 
e perciò Fiptegrale generale è: 

che trasformato in ^ diventa 

Ci «** + Cj cc^ log OJ 

Consideriamo ora ancora T alito W^o ft\ ^«^V^. 
xione differenziale lineare a coefficienti uovv c^^^i 



292 Capitolo VII. — § 14. 

stanti : 

d*^y . J**~^y dy 

+ any = 0. 

Poniamo 

y = x^ 

doye oc sia una costante ancora indeterminata. 
Facendo le derivate si ha: 

dy , 

da; 



rf a;' 



= a(a — l)a:« 



^ = a [oc — 1) . . . (3c — n + 1) a;«-« 



dx 



e sostituendo nell'equazione data si ha per fattore 
comune ^" , e poi 

Gfo a (a — 1) . . . (;: — w + 1) -f 

4- «1 a (a — 1\ . . (a — 7i + 2) H- . . . 

+ an-ia+ Un. 

Perchè dunque l'equazione sia soddisfatta è ne- 
cessario che questa ultima espressione sia zero, 
cioè che « sia radice della equazione di grado n 
in a che si ha pouetiào e^\x«\^ ^ let^ o^^i^taL espres- 
sione. 



Equazioni lineari particolari 293 

Risolvendo tale equazione algebiica si hanno 71 
valori per a, cui corrisponderanno w integrali par- 
ticolari dell'equazione data; di qui può formarsi 
rintej^rale generale nel solito modo. 

§ 15. Equazioni lineari di 2,^ ordine. — Vogliamo 
ora studiare in modo speciale l'equazione lineare 
di 2.® ordine: 

Se si conosce un integrale particolare di 

allora si può abbassare l'ordine di (2) e si ha una 
equazione di primo ordine che si può sempre in- 
tegrare; onde possiamo dire che in questo caso si 
potrà conoscerò l' integrale generale di (2), donde 
poi, come si sa in generale, con sole quadrature 
si ricava l'integrale di (1). 

Per r integrazione delV equazione di 2,^ ordine (1) 
basta dunque la conoscenza di uno solo integrale 
particolare di (2). 

Togliamo mostrare come si può semplificare 
questo calcolo. 

Sia 2/1 l'integrale particolare di (2) in modo che: 

Moltiplichiamo per y^ la (I) e per y la (3), e 
sottragghiamo. Si ha: 



294 Capitolo VII. - § 15. 



Poniamo: 



donde: 



d !/ d y, 






e quindi l'equazione di sopra diventa: 

•J- + Pz-= Xi\. 
dx 

Conosciamo l'integrale di questa equazione li- 
neare di 1.** ordine che è: 



g-5P^xr|'xf/ie5i'^'+c] . 



Intanto da (4) si ha: 

V 



d 
dx" y,^ 



onde: 



y j Vv' 

z 



y = y.\ 



^dx \r C2yt 



e così è trovato \\ \a\oY^ 4\ y ^Vifò ^ lo. colazione 

di il). 



Equazioni linmri di 2.® ordine, 295 

Yogliamo ora passare a dimostiare una proprietà 
interessante, trovata da Sturm, degli integrali parti- 
colari dell'equazione lineare omogenea di 2** ordine. 

Se ViV* sono due integrali particolari distinti 
di (2) il determinante: 

Vi V% 

dyx dy^ 
dx dx 

deve essere diverso da zero per qualunque valore 
di ce compreso nel campo «he si considera, cioè 
la funzione 

''' d^ '^'dx 

per qualunque valore di x racchiusp nel campo con- 
siderato ha sempre lo stesso segnp. Sia p. e. sempre 
positivo. 

Allora se y, = per a? ~ a e per X = b^ sji avrà 
per questi valori di x 

yux<^ 

// il 

cioè 2/2 -\-- saranno di segno contrario. Ora fra i 
dx 

due punti in cui si annulla i\ vi sarà certamente 

un punto intermedio in cui si annulla la prima de- 

dy 
rivata --^ (pel teorema di RoUe), e quindi se X va 
d X 

d V 
da a, a b, -^ deve piutar segno e quindi anche 2/2 
cix 

deve mutar se^no dovendo il prodoUo «ùs^v^'^xs^r.- 

deaimo segno sia in a cbe ia b, i^^t<^\o 'y«i ^^^^ 



296 CapUolo VII. — § 15. 

essere zero in un punto compreso fra a e b. Cioè 
fra dtie punti consecutivi zero di ji , esiste sempre 
un punto zero di y^, e così analogamente fra due 
punti zero di y^. esiste un punto zero di ji , cioè i 
punti zero dei due integrali particolari jì Ys del- 
Inequazione differenziale lineare di 2.® ordine sono 
alternati. Si suppone naturalmente sempre la con- 
tinuità delle funzioni^ altrimenti non potrebbe ap- 
plicarsi il teoroma di Rollo, né potrebbero farsi 
tutte le altre deduzioni. 

§ 16. Sistemi di equazioni lineari simultanee. — 

Immaginiamo n equazioni contenenti n funzioni 
y^z... di una variabile (V^ e le derivate di queste 
funzioni. 

Allora ci possiamo proporre il problema di de- 
terminare queste funzioni. 

Per fissare le idee immaginiamo che si abbiano 
due equazioni contenenti le funzioni y,z e le loro 
derivate fino a quelle di 2.^ ordine: 



Y dy dz d^y d^ z\ 

{^''^'^'dx'dx'dx^'dx^)"^ 

I dy dz^ d^j fj\_f. 



(l) 



Allora poniamo: 

dy dz ^^. 

a X dx ^ ' 



si ha 



A ^w dv\ 




Sistemi di equazioni lineari simultanee, 297: 

le qnali insieme con le (2) danno quattro equazioni 
contenenti le quattro funzioni rr, 0, w, i? e le loro 
derivate di 1.® ordine. 

In generale si vede dunque che dato un sistema 
di n equazioni differenziali contenenti n funzioni 
e le loro derivate di ordine superiore noi possiamo 
sempre ridurci ad un sistema di m equazioniiva^-w) 
fra m funzioni e le loro derivate di 1° ordine. 

In altri termini aumentando il numero delle equa- 
zioni e delle funzioni noi possiamo sempre abbas- 
sare l'ordine delle equazioni date. Così per es. se 
sì ha una sola equazione con una sola funzione y 
e le derivate di questa fino a quella di r.^ ordine, 
evidentemente ponendo 

dy d z _ 

'~Z Z m f U » » * • 

dx ' dx ' 

si avranno altre r — 1 equazioni che insieme colla 
data formano r equazioni fra le r funzioni 2/, z^ w, . . . 
e in tali equazioni entrano soltanto le derivate 
prime di queste funzioni. Ma evidentemente la ri- 
soluzione di questo sistema non dovrà offrire mi- 
nori difficoltà che la risoluzione della primitiva 
equazione. 

Vediamo ora come si può fare un procedimento 
inverso, cioè da un sistema di n equazioni di 1.® or- 
dine fra n funzioni ricavarne un altro di un nu- 
mero minore di equazioni differenziali di ordine 
superiore, fra un un numero minore di funzioni, e 
quindi in particolare una sola equazione difiFereU' 
ziale con una sola funzione. 

Per semplicità supponiamo il ca^o ft\ Vt^ '^^^ 
equazioni con tre. funzioni 2/1 2:, itu 



298 



Capitolo VII. — § 16. 



Sapponiamo risolate queste tre equazioni rispetto 
alle tre derivate prime di ?/, z^ w, o piii generalr 
mente immaginiamo queste tre equazioni ridotto 
con processi di eliminazione alla forma: . 










Dall' ultima ricaviamo y espresso per x, z^ if, -,- ^ 
e quindi derivando possiamo ricavare -r-^ espresso 



por: 



du d z d^u 
dx dx dx^ 



Sostituendo questi valori nello duo prime equa- 
zioni si hanno allora due equazioni del tipo: 







/ du d^ii d z\ 

(du d z\ ^ 

le quali risolute rispetto a—, — possono trasfor- 
marsi in due altre equazioni del tipo: 

, r dz d^u\ ^ 



Sistemi di equazioni lineari simultanee* 299 



, r du d^u] _. 



dalla seconda dolle quali possiamo ricavare z espresso 

du d^ u - . - . , dz 

per Wj Uj-z—, TI' ^ derivanuo si ha -j— espresso 

ci oc a ce a co 

du d^u d^u 

^^'"'^' '''~dw'dx^'d~co^' 

Sostituendo questi valori nella prima equazione 
si ha un'equazione differenziale di 3.® ordine colla 
sola funzione u. 

Un analogo procedimento si potrebbe tenere in 
prenerale; del resto questo procedimento, esattissimo 
dal lato teorico, molte volto può offrire difficoltà 
pratiche, e quindi essere inattuabile. 

Diventa invece attuabile quando le equazioni 
date sono equazioni differenziali lineari, e quindi 
sempre facilmente risolubili rispetto alle variabili 
che contengono. 

Possiamo mostrare su di un esempio come si 
applica questo metodo nel caso delle equazioni 
lineari. 

Siano date le due equazioni: 

d V 

7^4 32/1^ = 

dx 

d z 

^ t/ + z — 0. 

dx 

Dalla seconda ricaviamo: 

d z 



300 Capitolo riL - § 16. 

donde 

dp d' z , d z 

d'C d ^^ d X 

e ([uindi sostituendo nella prima sì ha 



z 



d^ z .d ^ ^ . ^ 
d x^ d X 

che ò un'equazione lineare omogenea a coefficei 
costanti. 
L'equazione caratteristica corrispondente è 

^2 , 4^4 4=:0 

cioè 

{t + 2)2 -= 

e quindi si hanno due integrali particolari 
per modo che l'integrale generale è: 

e quindi: 

y = (r, - e,) e-2-^ - Co r e-^^. 

§ 17. Equazioni differenziali d'ordine superic 

— Fra le equazioni differenziali di ordine superi' 
al primo non abbiamo considerato che le cosidde 
equazioni linean. Oxa ^o^^x^m^ ^\.\iA\ax^ «.Uri i 

di equazioni. 



Equazioni differenziali d'ordine superiore. 301 

1. Si abbia un'equazione contenente solo la 
derivata n"'^ di y, cioè del tipo : 



' [doo^ i 



(/'* y 
Risolvendola rispetto a-7— *-si ha 

d(V'' 

dove X è una funzione di x. Con ciò l'equazione 
è ridotta alla forma lineare. 

Per integrarla si potrebbe adoperare il metodo 
generale sviluppato nei paragrafi precedenti ricor- 
dando che l'integrale generalo dell'equazione cor- 
rispondente senza secondo membro 

e: 

?/ = Ci a?«-i + C, a:""-2 + . . . + Cn--\ x + On. 

Però in questo caso la cosa si semplifica, perchè 
dall'equazione di sopra si può ricavare coli' inte- 
grazione: 

dp^ C^^^ 
da cui, integrando daccapo, si ha: 



302 Capitolo VII. - § 17. 



e così continuando si giungo finalmente al valore 
di y. 

2. Consideriamo un* equazione nella quale non 
compariscono che due derivate successive: 






Ponendo 



ci»-i xj 



dx^"^ 



-,=P 



si avrà 



d^V_ dp 
dx» dx 

e allora l'equazione è ridotta a: 

= 



.r dp] 



d t) 
e quindi risolvendola rispetto a -^ — si ha: 



dp . . 



donde : 



f dp 

X = I -^—, -f cost. 



ip) 
Se di qui ricadiamo ^oi p la funzione di a:: 



Equazioni differenziali d^ordine superiore, 303 



lore I abbiamo: 



lon 



d a»»-! ^ ' ^ 



e questa è una equazione del tipo ultimamente 
considerato. 

Come esempio si potrebbe scegliere Tequazione 



d'^jt ^ 
~dx^ 

che dà per integrale 



v/' - [I 



^-<"2 4- g- ar-c») 



3. Consideriamo ora un'equazione nella quale 
compariscono solo due derivate i cui ordini diffe- 
riscano di due unità: 



Poniamo 



I donde 



doc 






do)»-^ 



P 






2 



304 Capitolo VII. - § 17. 

e quiadi l'equazione diventa: 



dx* 



-fip) 



Poniamo in quest' ultima equazione : 

dp d^p d q dq^ 

dx'^^ doo^ dcjo dp 



e abbiamo: 



dp 



donde 

qdq^f{p)dp 

e iutecrrando si ha: 



|g^= lf(p)dp+C 



e quindi 

donde 

dp 



dx — 



]ri 



2ff(pìdp + 2C 

Integrando si ha infine: 

dp 



X -■ 






Equazioni differenziali d'ordine superiore, 305 

Da questa equazione ricavando p in funzione 
di a: e sostituendolo in: 

resta da integrare ancora un'equazione del tipo 
considerato sul principio di questo paragrafo. 

4. Vogliamo finalmente considerare il caso in 
cui l'equazione differenziale data sia omogenea di 
grado m rispetto alla y e alle sue derivate. 

Allora si può abbassare l'ordine dell'equazione 
di una unità e per ciò fare si può adoperare il 
seguente metodo. 

Poniamo : 

y = e^. 

Le derivate di y si esprimeranno per mezzo delle 
derivate degli stessi ordini di 0, e avranno sempre 
per fattore l'esponenziale e^ . Questo comparirà allo 
stesso grado m in tutti i termini, e quindi si può 
sopprimere e resta un' equazione contenente le de- 
rivate di z senza contenere esplicitamente z. 

Posto quindi allora 

dz 
dx 

si abbassa l'ordine dell'equazione. 

Questo stesso metodo si può esporre sotto altra 
forma^ ohe compendia le due succeam^ ^Q^\S^\iaàsjrKv 
di prima» 

Pascal, Calcolo integrale. ^^ 



306 Capitolo VII, - § 17. 

Poniamo 

tj =^ u y. 
Allora 

y" = t^'y-^ uy' = it'y + u^y='y {ti + n^) 



Tutte le derivate di y risultano col fattore // 
stesso, e quindi per la supposta omogeneità del- 
l'equazione, tutti i termini verranno a contenere j/'" 
per fattore. Soppresso questo fattore resterà una 
equazione in u di ordine n — i, se la data era di 
ordine n. 

§ 18. integrazione per serie. — Dopo aver stu- 
diato i vari metodi per V integrazione di una equa- 
zione differenziale non ci resta che studiare il me- 
todo délV inteff razione per seriey che, quando riesce, 
rappresenta T ultimo espediente che si può tentare 
per risolvere l'equazione. 

Sia data una equazione differenziale: 

L'integrale generale di questa, come già sap- 
piamo, deve essere una funzione di oo con n costanti 
f?, C2 . . . Cn tale che per ogni valore x-Xo compreso 
in un certo campo di variabilità di x^ assegnati 
ad yy'-.' 2/^" ~ ^^ valori arbitrari yo y'o >*. yo^*^ " ^' 
si possano sempre trovare per le costanti e valori 
che vi corrispondono cioè che facciano che per 
00 = Xo\(ò yy'. * ^ y ^'^ ^ ^^ ^^o^vìistóxvQ effettàv^mente 
i valori fissati. 



1 



Integrazione per serie. 307 

Consideriamo allora un punto oo = 00o e immagi- 
niamo sviluppato l'integrale 2/ ignoto nell'intorno 
del punto ooo mediante la formola di Taylor, 

Si ha: 

l/ = yo + [o(; — Xq) y'o + '^ ~^^'' !/"o + . . . + 

ni (w -f- 1; ! 

Intanto dall'equazione differenziale si ricava: 

e derivando consecutivamente si hanno le altre 
formole (2) 



Da queste relazioni si possono avere i valori di 

y{u) y{n + 1) . . . per X -= Xo 

quando si son fìssati arbitrariamente i valori di 

Tali valori sieno yo^*^^ yj<'^ + ^K . . 

Sostituendoli allora nella formola (I) si ha una^ 
funzione y espressa per una serie in ^, e nella 
quale ci entrano le n quantità costanti arbitrarie 
yo...yo^''-^\. 

Ora se questa serie è convergente in un certo 

campo attorno Xo, essa può coiift\àfòT«LT«^Q.<yH\è'^'\SL-^ 

tegrale generale neirintorno del p\m\,o cco^ ^ ^«^^ 



308 Capitolo VII. - § 18. 

essa se ne potrà effettuare la somma si avrà al- 
lora l'integrale generale sotto forma finita. 
Ma. potrebbe accadere che le equazioni (2) per 

diano luogo a delle incompatibilità (per es. che 
alcune J/^**) diventassero infinite), a togliere le quali 
bisognerebbe mutare i valori fissati arbitrariamente, 
e allora la (1\ anche che sieno soddisfatte tutte le 
condizioni di convergenza, non potrà più conside- 
rarsi come integrale generale, ma come un inte- 
grale particolare, perchè per l'integrale generale 
è necessario che i valori di y, y\...y^**^^^ pos- 
sano essere assolutamente arbitrari. Ciò significherà 
che r integrale generale non potrà svilupparsi in 
serie di Taylor neir intorno del punto Xo. 

Un esempio che si presenta assai bene per ri- 
schiarare il metodo sviluppato ci è fornito dalla 
cosiddetta equazione di Bessel^ che ha la forma: 

d^V , m dy , ^ 

dx^ X dx 

E una equazione lineare omogenea di 2.** ordine. 
Avendosi da essa 

^ 2/ ' + m 2/' 4- n ^ ^ = (3) 

si ha derivando 

xy'" + {m + 1)2/" + nxy' + ny^O 

xy^^+{m^-2)y''' + nxy" -\-2ny'--{^\{Ì) 



e la legge di formaziotve e e^VisJtó.^^ 



Integrazione per serie. 509 

Qui si vede appunto che per Xo'=0 noh può 
prendersi arbitrariamente yoey'o^ perchè se non 
8Ì prende per es. y'o =^ si ha che y'o diventa in- 
finito. Quindi Fintegrale generale della nostra equa- 
zione non potrà svilupparsi in serie di Taylor nel- 
l'intorno del punto x^=0. 

Con questo metodo dunque potremo solo rica- 
vare un integrale particolare nell' intorno del 
punto x=^0. 

Poniamo 

a; == iTo -= y-=yQ y' = y'o^O 
e allora dalle equazioni (4) precedenti si ha: 

3 n^ Po 



2/0 = -^ 



(m + 3)(m4-l) 



(si noti che nella prima delle (4) per x = sconi- 
pare J/'", quindi è da essa che si xicaVa y*\ e così 
dalla seconda delle (4) si ricava y' e così di se- 
guito). 
Sostituendo si ha dunque l'integrale 

^ r. \.n,x^ X.^.n^x'^ 1 

y-^y^Y 2!(m-^l)"'"4!(m+l)(m^3) "\ 
Il termine generale di questa serie è: 



(2r + 2)! {m + ì){m\^) ^\'i^r\^ 



310 Capitolo VII. - § 18. 

ed è facile vedere che il rapporto di un termine 
al precedente tende a zero e perciò possiam diro 
che la serie è convergente per ogni valore di x 
finito. Esso rappresenterà un integrale particolare 
dell'equazione di Bessel. 
Per m^^l^ n = 1 si ha: 

y -'-y^y 2^ ^ ¥~A''"¥T¥T¥ + . . . j. 

La quantità dentro parentesi è una funzione co- 
nosciuta in analisi sotto il nome di funzione di 
Bessel. 

Per m — 2^ n = 1 si ha la funzione: 

di cui il secondo membro non è altro che 

seno? 



2/0 



X 



come si vede facilmente ricordando la serie di svi- 
luppo del seno. 

§ 19. Equazioni a derivate parziali. — Finora ab- 
biamo considerato funzioni di una sola variabile, 
le quali danno luogo alle equazioni differenziali 
ordinarie. 

Immaginiamo ora una funzione di piii variabili 
indipendenti, quindi una relazione fra la funzione, 
Je variabili iud\pe\\ìVetvV\ ^ \^ ^x^a ^<è\v\^\fò ^'jsxtàq.U 
rispetto a queste Vixt\a\A\\. 



Equazióni a derivate parziali. 311 

• Il problema che ci proponiamo è quello di ri- 
trovare mediante l'equazione a derivate parziali la 
forma più generale della funzione che tì corri- 
sponde, e che si chiamerà l'integrale dell'equa- 
zione data. 

Cominciamo a considerare un caso assai semplice 
di equazioni a derivate parziali. Si abbia un'equa- 
zione: 



("^'fe) 



dove si debba considerare z funzione di x e y, 
nientre che nella equazione non entra che solo la 
derivata di z rispetto ad ^ e non quella rispetto 
ad y. 

Allora considerando y come costante, si può in- 
tegrare l'equazione che ne risulta che è allora una 
equazione differenziale ordinaria. 

Patta questa integrazione si ha: 

z^fixyc) 

dove e è la. costante d'integrazione. Questa fun- 
zione z soddisfa alla equazione data nel senso che 

d z 
ricavata da essa la derivata parziale— ed elimi- 

a jc 

nando e si ricade nell'equazione data. 

Ma allora è evidente che se invece di conside- 
rare e come costante, si considera come una fua- 

dz 

zione arbitraria di y, poiché la -z-^ verrà, allora 

(ài ic 

espressa nella stessa maniera com^ ^tykv^ ^ ^\\^^ 
ja tal caso la z continuerà a soàdiVa^^uTeiX ^o^^tKss^^ 



312 Capitolo VII. — § 19. 



data; quindi nella risoluzione delle equazioni a de- 
rivate parziali si presenta già questo fatto, che cioè 
neirespressione deirintegrale, pia che una costante 
arbitraria, può entrare una funzione arbitraria. 

Non possiamo passare a studiare la teoria gè* 
nerale delle equazioni a derivate parziali, ma ci 
limitiamo solamente a quelle di 1.^ ordine e lineari 
rispetto alle derivate. 

Consideriamo il caso di due variabili indipen- 
denti a:, y. 

Allora la forma generale di un' equazione a de- 
rivate parziali. e lineari rispetto alle derivate è 

Pp\-Qq = R (1) 

essendo /?, q le derivate di z rispetto ad a: e y, ed 
essendo P, Q^ R funzioni di 2?, a?, y. 

Ora dico che la risoluzione di questa equazione 
si può ridurre a quella di un sistema di equazioni 
differenziali ordinarie. 

Sia II =-- cost. una funzione di a?, t/, 2?, soluzione 
(supposto che esista) della equazione data. Allora 
ricavandone 



p = — 



du 


du 


du 


dy 


dz 


dz 



e sostituendoli nella proposta equazione, questa 
devo essere identicamente soddisfatta, cioè deve 
essere : 



Equazioni a derivate parziali. 313 

e so si suppone che esista un'altra soluzione: 

V = cost. 
diversa dalla precedente, si ha analo^airienfe: 

pdv.^Qdv_^dv^ 

doc ^dy dz 

ed essendo poi 

dn ,. , du j X du j , ^ 

d^ dy dz 



sì ha cho i rf.r, dy^ dz ricavati dalle due rela- 
zioni : 

u = cost. V = cost. 

devono essere tali che: 

dx_dy _ dz . 

cioè debbono essere proporzionali a P, Q^ R. 

Ora le due equazioni (2) possono ritenersi come 
formanti un sistema di due equazioni differenziali 
ordinario nelle quali due delle tre variabili x, y, z 
si considerano funzioni della terza. 

Questo sistema, come sappiamo, ammette sempre 
una soluzione, cioè si possono sempre trovare due 
relazioni fra ^, y, z tali che da esse ricavando 
due di quelle variabili in fuwTÀow^ è^s^^ \fe^TA. ^sv 
abbiano due funzioni soddlsfac^tvW *A ^Ye\.^^s\sw '^ 



àl4 Cajntolo FiT. — §19. 

Questi due integrali earanno precisamente: 

u = cost, V = cost. 

(li cui ciatcuno rappresenterà un integrale della 
equazione a derivate parziali. 

In questa maniera possiamo trovare due inte- 
grali distinti dell'equazione data. I due integrali 
compariscono risoluti rispetto a due costanti arbi- 
trarie. 

Ma adesso è facile vedere che si può ricavare 
ancora una soluzione molto più generale. Si può 
cioè mostrare che la espressione: 

dove cp ò simbolo di mia funzione arbitrarla^ sod- 
disfa anche all' equazione data. 

Infatti da tal nuova relazione fra x^ y, z (con- 
tenute in 1/, v) si ha: 

du ,du ', \\dv , dv 1 



donde 












Equazióni a derivate parziali. 315 

^" ■!■■■■■■ M W I .MI—» ^^^^^ T- —■■ ■■■■-.- — —-, 

e quindi sostituendo nelF equazione data si ha: 

che è evidentemente zero qualunque sia la fun- 
ziono 9, perchè i duo termini in parentesi sono zero. 
Si ha dunque questo risultato intereasante che, 
conosciuti f^M integrali «, t?, possiamo formare un 
integrale più generale introducendo il simbolo di 
una funzione arbitraria. 

. Tale integrale chiamasi V integrale generale deh 
V equazione a derivate parziali. 

Vogliamo ora passare ad un^applicazione di questa 
teoria. 

1). Vogliamo ricercare V equazione di una su- 
perficie tale che il piano tangente in ogni punto 
sia parallelo ad una retta fissa. 

La retta condotta per Torigine delle coordinato sia : 

aZ=X , bZ=Y 
cioè : 

à~ b + i 

essendo n, b due costanti. 
Il piano tangente in un punto di una superficie 

e; 



■ ti •. .ìi-^. «-_. -. 



àie Capitolo VII. - §19. 

e la condizìoDe perchè questo sìa parallelo alla 
retta precedente è: 

ap + bq — \-Q. . 

Per la determinazione della superficie siamo 
dunque giunti ad un' equazione a derivate parziali 
di 1.** ordino e lineare. 

Applicando il metodo sviluppato avanti bisoprna 
considerare il sistema di equazioni differenziali 

dx _ dy _ dz 

e ricavarne i due integrali risoluti rispetto alle 
costanti: 

u = cost. V -= cost. 

Queste equazioni si possono scrivere: 





dx 
dz 


~ a 




dy 
dz 


— h 


donde: 
















X- 


- az 


+ cost. 








y- 


= bz 


+ cost. 




e quindi 


nel nostro 


caso: 










u 


X 


— az 








V 


-y 


— bz; 





la soluzione generale sarà una funzione arbitraria 
di 1^ e i; eguagliata; a zero, cioè l'equazione della 
superficie richiesta aaxa 



Equazioni a derivate parziali, 317 

Ogni superficie di questa specie uon è che un 

cilindro colle generatrici parallele alla retta fissa. 

Infatti se 07 2/ 2? è un punto della superficie e se : 

os — az^oL y — bz^^ 

è chiaro che ogni punto della retta di cui queste 
due sono le equazioni è anche un punto della su- 
perficie. 

2). Vogliamo trovare V equazione di una super- 
ficie tale che il piano tangente in ogni punto passi 
per un punto fisso. 

Se ooo Po Zo è il punto fisso, la condizione pel 
piano tangente in un punto xy z h 

{x — xq)p -i-(y'-yo)q—(z — zq) 

che sarà P equazione a derivate parziali della su- 
perficie richiesta. 

Per integrare questa equazione dobbiamo consi- 
derare il sistema di equazioni differenziali: 

dx d y dz 



X 


^0 


y-2/o 


Z Zo 


che integrate 


danno: 






log (x 
log'y 




= log (z - 
= log {z>^ 


-Zo) + logC^ 

- Zq) + log Cg 


anche: 










z- 


-^0 

-^0 


e, 




y 


-J/o 


n. 



Z — Z( 



318 Capitolo VII. - § 19. 

» quindi T equazione della superfìcie sarà 

\ Z — Zq Z — Zq) 

dove ^ è una funzione arbitraria. 

Queste superficie sono coni col vertice nel punto 
cCoy^Zo* Infatti se xyz sono le coordinate. di un 
punto della superficie (^ = o allora evidentemente 

^-4-^-^0 y-f ^t/o z + y^Zo 
l+X ' 1 + X ' 1 + X 

sono anche le coordinate di un punto della super- 
ficie, come si può subito verificare. 



□LI m 

ULRICO HOEPLI HE, 

LIBRAIO-EDITORE DELLA RBAL CASA 

MILANO 

ELENCO 




DEI 



ANUALI HOEPLI 



PUBLICATI SINO AL 1894 



La collezione dei MAiruALi Hoepli, iniziata col fine di 

Sopolarizzare i principii delle Scienze, delle Lettere e delle 
jti, deve il suo grandiseimo successo al concorso dei più 
autorevoli scienziati e letterati d'Italia, ed ha ormai conse- 
guito, mercè la sua eccezionale diffusione, uno sviluppo di 
più che quattrocento volumi, per cui si è dovuto classifi- 
carla per serie, come segue: 

SERIE SCIENTIFICA, STORICA, LETTERARIA, 

aiURIDICA E LOraUISTICA 

(a L. 1,60 il volume) 

pei Manuali che trattano delle scienze e degli studi letterari. 

SERIE PRATICA 

(a L. 2 il volume) 

pei MAinjALi che trattano delle industrie agricole, manifat- 
turiere e degli argomenti che si riferiscono aUa vita pratica. 

' SERIE ARTISTICA 

(a L. 2 il volume) 

pei Manuali che trattano delle arti e delle industrie arti- 
stiche nella loro storia e nelle loro applicazioni pratiche. 

SERIE SPECIALE 

pei Manuali che si riferiscono a qualsiasi argomento, 
ma che per la mole e per la straordinaria abbondanza di 
incisioni, non potevano essere classificati in 
una delle serie suddette, a prezzo determinato. 

1 



Bl 




Mi ì JfaDuaJi Hoepli \m i\4p\m^^\\\^^\^'^ 



Elenco dei Manuali Hoefpli, 



L. e. 

ArUnetlea pratlèa, del Dott F. Pakizza^ di pa- 
gine vni-188 1 50 

Aritnetlea razionale, del Prof. Dott F. Panizza, 
2* ediz., pag-. xn-210 1 50 

Arte del dire (L\ del Prof. D. Ferrari, 2* ediz., 
corretta ed anipliata, di pa^. xvi-190 1 50 | 

— (Vedi Rettortca — Bitmtca — Stilistica), I 
Arte oillltare. (Vedi Storia ddV), 
ìkrie nlnerarla, dell'Ing. Prof. V. Zoppbtti, di pa- 
gine iv-182, con 112 figure in 14 tavole 2 — 

Arte ifreea, etrasea e romana. (Vedi Archeologia 
delVarte). 

Arti. (Vedi Anatomia pittorica — Archeologia deU^arte 
— Architettura — Decorazione — Disegno — Pit- 
tura — Scienza dei colori — Scoltura). 

Arti (Le) arrallelie fotonpeeeanlelie. Zincotìpia, 
Autotipia, Eliografiftì Fototipia, Fotolitografia, Foto- 
Bilograna. Tipototografia, ecc., secondo i metodi più 
recenti, dei grandi maestri nell'arte: Albert, Àjs- 
GERER, Cronenberg, EdeilGillot, Hubnik, Kofahl, 
MoNET, PoiTEViN, Roux, TURATI, occ, cou un conno 
storico sulle arti grafiche e un Dizionarietto tecnico ; 
pae. iv-176 con 9 tavole illustrate 2 — 

— (V. Dizion. Fotografico — Fotografia dei colori —■ 
Fotografia per dilettanti — Ricettario fotografico). 

Asfalto (Li*), fabbricazione • applicazione, dell*Ing. E. Ri- 
ghetti, con 22 incisioni, di pa^. vin-152 2 — 

Asslearazlone «alla vita, di 0. Pagani, di pa- 
gine vi-152 1 50 

Assistenia deffìì Infermi noirOspedale ed In fa- 
niig>lia, del Dott. 0. Galliano, di pag. xxiv-448, con 
7 tavole 4 50 

— (V. Acque minerali — Igiene — Soccorsi d*urgenza). 
Assonometria. (Vedi Disegno assonometrico). 
Astronomia, di I. N. LocKYBR, tradotta ed in parte 

rifatta da E. Sergent e riveduta da Gt. V. Sghiapa- 
RELLij 3' ediz., di pag. vi-156, con 44 incisioni ... 1 50 

— (Vedi Gravitazione — Spettroscopia). 
Atlante ifeog-ralleo-storleo deiritalla, del Dott G. 

G AROLLO, 2i carte, 76 pag. di testo e un'Appendice. 2 — 

— (Vedi Alpi — Dizionario geografico — Esercizi 
geografici — Geografia — Prontuario di Geografia). 

Atlante i^eorralleo nnlrersale, di KlEPERT, con no- 
tizie geogranche e statistiche del Dott G. Garollo, 
8" ediz. (dalla IWÒ aW^b '^fms c»^i«.\, ^ carte, 88 pa- 
gine di testo *^,v* \ *. x^"~ 

M tmoafer a. (V. TUmatologia- Igrosc(yp^-lJLe,\JW^A.^i«wì\, 

Àkttl Botartit. (Vedi Notare — Te«taw«l^t^^, 



Elenco dei Manuali Moepli. 



L. e. 
AUrezzatara, manovra delle navi e seg^nalazlonl 
marlulme, di F. Imperato, di pag:. xxii-36(), con 
fig. 232 nel testo e xv tavole litografate 4 50 

— (vedi Ing^nere navale — Macchinista navale), 
itatotlpla/(vedi Arti Grafiche), 

Avieoltara. (Vedi Animali da cortile — Colmnòi do- 

mestùd — Pollicoltura), 
Bachi da seta, del Prof. T. Nenci, di pw?. vi-276, 

2* ediz., con 41 incisioni 6 2 tavole ....... 2 ~ 

— (Vedi Gelsicoltura — Industria della aef/i — Tintura 
della seta^. 

Balistica. (Vedi Esplodenti -Storia dell'Arte Militare), 
Batter ioiogfla, dei Protf. G. e R Canestrini, di pa- 
gine vi-210 con 2ì> illustrazioni 1 50 

— (Vedi Animali Parassiti — Microscopio - Proti- 
stologia). 

Bestiame (B) e ragro*!®®!*»*** >■> Italia, del Prof. F. 
Alberti, di pag:. vin-312, con 22 zincotipi() . . . . 2 50 

— (Vedi Àaricoltura — Alimentazione del bestiame). 
Biancheria. (Vedi Disegno, taglio e confezione di — 

Macchine da cucire), 
Biblioifralla, di G. Ottino, 2* ediz., riveduta di pa- 
g:ine vi-166, con 17 incisioni 2 — 

— (Vedi Dizioìiario bibliografico), 

KÌblÌot€»carlo (Manuale del), di Petzholdt, tradu- 
zione di Gr, BiAGi, e Gr. Fumagalli, di pag. xx-364 con 
un'appendice di pae:. 213 7 50 

Bloifrafla. (Vedi Cristoforo Colombo — Dante — 
Omero — Shakespeare), 

Bitume. (Vedi Asfalto). 

Blasoni. (Vedi Araldica — Paleografia). 

Borsa (Oper. di). (V. Valori pubblici - Debito pubblico). 

Botanica, del Prof. L D. Hooker, ti-aduz. del Prol N. 
Pedicino, 4* edizione, di pag. xiv-134, con 68 in- 
cisioni 1 50 

Bromatoloif la. (Vedi Adulterazione — Alimentazione 
— Conserve alimentari — Frumetito e mais — Latte 
burro e cacio — Panificazione). 

Burro. (Vedi Latte — Caseificio). 

Cacciatore (Manuale del), di Gt, Franceschi, di pa- 
gine vin-268, con 10 tavole e 14 incisioni nel testo. 2 50 

Calcolo diflerenziale, del Prof. E. Pascal (volume 
doppio). (In lavoro). 

Calcolo integ^rale, del Prof. E. Pascal (voi. doppio). 
(In lavoro). 

C^Uigrtkùti (Manuale diì. Cernvo b>Vo\\vì,q, ^^^^ \ìnssx'^ 
rìche, matonaie adoperato pei \aL ^caWX^JlX^ ^ psìwQfta 

>, con 69 UvQ\eeà\xvvi^tì^^«v^^^»s^^^?^ 



d'insegnamonto. 



6 Elenco dei Manuali Hoepli, 



L. e. 

caratteri coniomii ai programmi govomativi del Pro- 
fessore R. Pebcossi, con 35 tacHsiniili di scritture, 
elogantcmento l(^to, tascabile, con leggio annesso al 

manuale per tenere il modello 3 — 

Calore (11), del Dott. E. Jones, trad. di U. Fornaei, 

di paer. vm-296 con 98 incisioni 1 50 

CaUriferl. (Vedi BisccUdamento), 
Candele. (Vedi Stearineria e Fabb, di Candele), 
Cantante (Manuale del), di L. Mast&igli, di p. xn-132. 2 — 
Cantiniere. Lavori di cantina mese per mese, dell'Inge- 

PTicro A. Strucchi, di pag. vin-172 con 30 incisionL 2 — 
Carte|frall4i (Manuale teorico-pratico della), con un 
sunto sulla storia della Cartografia, del Pro£ E. Qel- 
cicu, di pag. vi-257, con 37 iUustrazioni 2 — 

— (Vedi Disegno topografico — Telemetria), 
Case. — (Vedi Proprietario di Case). 
Caseillclo, di L. Manetti, 2* edizione, completamente 

rifatta di Sartori, di pagine iv-212, con 34 incisioni. 2 — 

— (Vedi AdiUterazione degli alimenti — Latte, burro, 
cacio). 

Catasto (Il nuovo) italiano, dell'Ayy. E. Bruni, di 
pag. xii-346, voi. doppio 3 — 

Cavallo (Manuale del), del Ten. Colonnello C. Vol- 
pini, di pag. iv-2(X) con illustrazioni e 8 tavole. . . 2 50 

Celeriniensnra (Manuale pratico di), e tavole loga- 
ritmiche a quattro decimali dell' Ing. F. Borletti, 
di pae. vi-lfe con 29 incisioni 3 50 

Celerimensnra (Manuale e tavole di), dell'Ing. Gt. Or- 
landi, di p. 1200 con quadro generale d'interpolazioni. 18— 

— (V. Cartografia — Compensazione degli errori — Di- 
scQno topografico — Geometria pratica — Telemetria), 

Cementazione. (Vedi Tempera). 

Ceralacche. (Vedi Vernici). 

Cereali. (Vedi Frumento e Mais — Panificazione). 

Chimica, del Prof. H. E. RoscoE, traduzione del 

IVof. A. Pavesi, di pag. vi-124, con 36 ine, 4* ediz. 1 50 
Chimica ag^raria, del Dott. A. Aducco, di p. vin-328. 2 50 

— (Vt^di Concimi). 

Chimico (Manuale del) e dell' industriale, ad uso 
dei Chimici analitici e tecnici, degli industriali, ecc., 
del Dott. Prof. L. Gabba, di pag. xn-354 5 — 

— (Vedi Analisi volumetrica). 

Ciclista (Manuale del), di A. Galante, riccamente 

illustrato, di pa^. vi-194, con 73 fototipie 2 50 

ClimatoloK'ia, di L. De 3Iarchi, p. X-2Q4, con 6 carte 1 50 

— (VeiU Igroscopi — Meteorologia — SxamologiaN, 
Codice dófiranale italiano eou com^a^n*» *u»Uis 

dolVAvv. E. Bruni, di pa.e:. xx-lW'^ cwv Vm^^^^.'^^ 
- (V. Amministrazione jna>blica - TrosporU e UT^t[^^« 



Elenco dei Manuali Hoepli, 7 

—— 

Codlee metrico Intemazionale. (Vedi I Prototipi 

del metro e del kilogramma). 
Cof^nae (Fabbricazione del) e dello spirito di vino 

e distillazione delle fecce e delle vinacce, di 

Dal Piaz-di Prato, di pag. x-168, con 37 incisioni. 2 — 
Coleotteri Italiani, del Dott. A. Geiffini, p. xvi-334 

con 215 incisioni (volume doppio) 3 — 

Colombi domestici e colombleoltnra, del Prof. P. 

BoNizzi, di pag. vi-210, con 29 incisioni 2 — 

— (Vedi ÀnimaH da cortile — Pollicoltura), 
Colombo C- (Vedi Cristoforo Colombo), 

Colori e la pittura (La scienza dei), del Prof.L. (tUaita, 
dipa^. 248..* 2 — 

— ( V edi Anatomia pittorica). 

Colori e vernici, di Gt. GoRiNi, 3* ediz., di p, iv-181 2 — 

— (Vedi Fotografia — Lu>ce e colori — Vernici). 
Coltivazione ed Indnstrle delle piante tessili, 

propriamente dette e di quelle che danno materia per 
legacci, lavori d'intreccio, sparteria, spazzole, scope, 
carta, ecc., coU'ag^unta di un Dizionano delle piante 
ed industrie tessm, di oltre 3000 voci, del Prof. M, A. 
Savobgnan D'Osoppo, di pag. xn-476, con 72 incis. 5 — 

— (Vedi Filatura - Gelsicoltura - Pianl^ industriali). 
Compensazione degfll errori con speciale applica- 
zione al rilievi gfeodetlcl, di F. CStOTTijaag. iv-160. 2 — 

Com|>ntlsteria, del Prof. V, Gitti, voL L Computi- 
steria commerciale, 3* ediz., di pa^. yi-168. . . . . 1 50 

— VoL n. Computisteria finanziaria, di pag. vni-156. 1 50 
Computisteria af^rarla, del Profl L. Fetbi, di pa- 
gine vi-212. 1 50 

— (Vedi Contabilità — Logismografia — Ragioneria 
— 8critty/re. d*affariì. 

Concia delle pelli ed arti affini, di Gr. O^ORINI, 
3* edizione interamente rifatta dai Dott. Gt, B. Fran- 
ceschi e G. Venturoli, di pag. ix-210 2 — 

Concimi, del Pro£ Funaro, di pag. vn-253 .... 2 — 

— (Vedi Chimica agraria). 

Confezione di biancheria. (Vedi Disegno, taglio e). 

Conserve alimentari, di G. GoRiNi, 3* ediz. intera- 
mente rifiatta dai Dott. (x. B. Franceschi e G. Ven- 
turoli. (In lavoro). 

— (Vedi Adulterazione — Alimentazione — Fì*umento 
e mais — Latte, burro e cacio — PanificazicmAV 

Contabilità comunale, secondo \e uuqn^ ^"^cséax^^ 
iéeis/aÉiVe e regolamentari (Testo nmco 10 10cJcsm^'^SS^ 
eK Decreto 6 luglio 1890, del Pxot -fe^ 1>^ ^^^s«.^ 

<& JW. viii'2M . . . . • . »-^»^ 

- rVeS Dtrttto amministrativo -^ Legge* cow^w«^• 



8 Elenco dei Mantudi Hoepli, 

L. e. 
Contabilità ifenerale dello Stato, dell'Avr. E. 
Bruni, pag. xn-422 (voi. doppio) . 3 — 

— (V. Computisteria — Ragioneria — Logismografia). 
Corpi |(rassl e stearlnerla, dell'Ingf. E. Marazza. 

— ( vedi IndiMtria stearica). 

Correttore e eomposltore tlpojrrafo. (V. Tipografia). 

Corse (Dizionario delle), (Vedi Cavallo). 

Costitazlone di tatti gli Stati. (Vedi Ordinamento). 

Costumi. (Vedi Etnografia). 

Cristallografia ifeometrlea, fislea e ehlnlea ap- 
plicata ai minerSi, del Pro£ F. Sansoni, di p. xvi-3^ 
con 231 incisioni nel testo (voL doppio) 3 — 

— (Vedi Geologia — Mineralogia). 

Cristoforo Colombo, di V. Bbllio, con 10 inc.,p.iy-lS6 1 50 

Crlttofl^ame. (V. Malattie crittogamiche delle piante). 

Cronoloflrla. (Vedi Storia e Cronologia). 

Cabatora. Prontuario per la cubatura dei legnami, di G. 
Belluomini, 2* ediz. aumentata e corretta, di pag. 201 2 50 

Corre. Manuale pel tracciamento delle curve delle Fer- 
rovie e Strade carrettiere di (jI^. H. KrOhnke, tradu- 
zione di L. Loria, 2' ediz. di pag. l&l, con 1 tavola. 2 50 

Dantologria, di Gt. A. ScABTAZZiNi, 2" ediz. Vita ed 
Opere di Dante Alighieri, di pag. vi-408 (voi. doppio) 3 — 

Debito (B) pabblieo Italiano e le regole e i modi per 
le operazioni sui titoli che lo rai)presentuiOt di F. Az- 
zoNi, di pag. vni-376 (voi. doppio) 3 — 

Deeorazione e Indostrle Artlstlebe^ con una intro- 
duzione sulle industrie artist. nazionali, dell'Ardi. A. 
Melani, 2 voL dì complessive pag.xz-460, con US inds. 6 — 

Demografia. (Vedi Statistica). 

Diboscamento. (Vedi Selvicoltura). 

Didattica per eli alunni delle scuole normali e pei mae- 
stri elementari del Prof. G. Soli, di pag. vm-214 . 1 50 

Discosto (II), di C. Ferrini, di pag. iv-lM 1 5U 

Dinamica elementare, del Dott. 0. CATTANEO, di 
pag. viii-146, con 25 figure 1 50 

— (Vedi Termodinamica). 

Diplomatica, del Prof. L. Zdekauer. (In lavoro). 
Diplomi. (Vedi Araldica — Paleografia). 
Diritti e doveri del cittadini, secondo le Istituzioni 
dello Stato, per uso delle pubbliche scuole, del Proi D. 
Maffioli, 8* 8d., di pag. xvi-208 ........ 1 50 

Diritto amministrativo giusta i programmi governa- 
tivi, ad uso deg\i IstVtvitv tAciÙGv del Prof. Gt. Loris, 
2" edizione, di pae. X3ai-53^ V^Q\\im^ ^«\k^Y;J\» , . » ^ — 
Olrltto elvlle Italiano, à€^YTOi.^,K3iB»\^X3&v^.^l3a.^^aK^V 
Olritto commereVaVe. C^^\ MauAa^^, _,^,^ 

Olritio camuiiMe e ^ro^Vi.c^\*\^> ^ ^^kt^t^^^.^^ 
(Vedi Legge comuncae e promwìxaUS^^ 



Elenco dei Mantuili Hoepli. 



L. e 
Diritto eostUailenale, di F. P. OONTUZZI, p. xn-320. 1 50 
Diritto eeeleslastieo, del Dott 0. Olmo, di paghine 
xii-472 (volume doppio) 3 — 

— (Vedi Benefici vacanti). 

Diritto iaternaiiooale privato, delVAvv. Prof. F. P. 
CoNTUzzi, di pag. xvi-ì^ (volume doppio) . . . . 3 — 

Diritto Internaiiooale pabblleo, dell Aw.Prof.F.P. 
CoNTUzzi, di paff. XTi-320 (volume doppio) 3 — 

Diritto penale, delVAw. A. Stoppato, di p. viii-192. 1 50 

Diritto romano, del Prof. C. Ferrini, di pae. vin-132. 1 50 

Dioefpno. I principii del Diserao e gli stili dell'Oraa- 
mento, del Prof. C. Borro, 3' edizione, di pag. iv-206, 
con 61 silog . 2 — 

Disegfno assonometrleo, del Prof. Paoloni, di pa- 
gine iv-122 con 21 tavole e 23 figure nel testo. . . 2 — 

Dioeifno gfeometrieo, del Prof. A. Antilli, di pa- 
gine vni-85, 6 figure nel testo e 26 tavole litografiche 2 — 

Dlseipno topo|fraflco, del Capitano (}. Bertelli, 
2* ^z. di pag. vi-137, con 12 tavole e 10 incisioni . 2 ~ 

— {Vedi Cartografia — Teleynetria). 

Disegno, taglilo e eonfezione di bianelierla (Ma- 
nuale teorico pratico di), di E. Bonetti, con un 
Dizionario di nomenclatura, p. vin-216 con 40 tav. 3 — 

Disinfezione. (Vedi Infezione). 

Distillazione. (Vedi Alcool — Cognac). 

Dizionario alpino Italiano. Parte 1* : Vette e valichi 
italiani, dell'lng. E. Bignami-Sormani. — Parte 2': 
Valli lombarde e limitrofe alla Lombardia, dell'lng. C. 
Scolari, di pag. xxii-310 3 50 

— (Vedi Alpi e Frealpi bergamasche). 
Dizionario Eritreo Italiano arabo-amarico, dì 

A. Allori. (In lavoro). 
Dizionario della llng^na del Galla (Oromonlea). 

(Vedi Grammatica). 
Dizionario biblio|rrafleo, di 0. Arlìa, di pas:. 100. 1 50 
Dizionario Filatelico, per il Raccoglitore di nunco- 
boUi con introduzione storica e bibliografia di J. Gelli 

di pag. LXiv-412. 4 50 

Dizionario fotoffrafleo ad uso dei dilettanti e profes- 
sionisti, contenente oltre 1500 voci in 4 lingue, nonché 
500 sinonimi e 600 formule del Dott. Luigi Gioppi, 
di pa§:. viii-600 con 95 incisi e 10 tavole fuori testo. 7 50 

— (Vedi Arti grafiche fotomeccaniche — Fotografia per 
dilettanti — Ricettario fotografico). 

Dizionario g'eog'raflco universale, del Dott. G. Ga- 

ROLLO, 3* edizione, di pae. TL-SSi^k ^mc^ e."^«w\ifò » .'^'^^ 
Dlmlonarìo f (aliano. (Vedi Voccìbolarxo Italvxìvc^k. 
O/jT/onarfo Italiano e ITolan^W, ^\C:,.^^JUt^^vV:^'^^ 
Volapuk). 



10 Elenco dei Manuali HoeplL 



L. 
Dizionario termini delle eorse, di C. VOLPINI, di 

pag;. 47 1 

Dlilonarlo nnlTersale delle llnji^ne Italiana, te- 
desea, Ingflese e fk*aneeoe, disposte in un unico 

alfabeto, 1 voi. di pag. 1200 8 

Degnane. (Vedi Codice doganale — Trasporti^, 
Dottrina popolare, in 4 lingue. (Italiana, Francese, 
Inglese e Tedesca). Motti popolari, frasi commerciali e 
proverbi, raccolti da Gt, Sessa, 2* ediz., di pag. iv-212. 2 
Eeonomla del fabbricati rurali, di V. XTlGCOLI, di 
pag. vi-192 .2 

— (Vedi Estimo rurale — Legislazione rurale). 
Eeonomla politica, del Prot. W. S. Jbvonb, tradnz. 

del Prof. L. Oossa. 3* ed., riveduta, di pag. ziy-174. 1 

— (Vedi Scienza delie finanze). 

Elettricista (Manuale dell*), di G^. Colombo e R. Fer- 
rini, di pag. vin-204-44 con' 40 incisioni 4 

— (Veidi Illuminazione — Telefono — Telegrafia), 
Elettricità, del Prof. Fleeming Jenkin, traduz. del 

Prof. R. Ferrini, di pag. vin-lSO, con 32 incisioni. 1 

— (Vedi Magnetismo — Unità assolute). 
Elettrolisi. (Vedi Galvanoplastica). 
Elionprafla. (Vedi Arti grafiche). 

Embrlolo|fla e morfolog>la fl^enerale, del Prof. G. 
Cattaneo. (In lavoro). 

Enciclopedia Hoepll (Piccola)^ in 2 volumi di 3375 
pagine di duo colonne per ogni pagina con Appen- 
dice. L'opera completa elegantemente legata. . . . 2C 

Energ-ia fisica, di R. FERRINI, di p. vi-l()6, con 15 ine. 1 

— (Vedi Dinamica elementare — Termodinamica). 
Enolog>la, precetti ad uso degli enologi italiani, del 

Prof. 0. (JTTAVI, 2' ediz., riveduta e amp^liata da A. 
Strucchi, di j)ag. xn-lW, con 21 incisioni . . ... 2 

— (Vedi Analisi del vino - Cantiniere - Cognac ^Enologia 
domestica - Malattie dei vini - Vino - Viticoltura). 

Enviofria domestica, di R. Sernaqiotto, pasr. vin-223. 2 
Entomoiog*!». (Vedi Coleotteri italiani — Insetti no- 
civi — Insetti utili — Lepidotteri). 
Ec| nazioni (Teoria delle)j del Prot. S. Pincherle, di 
pag. xii-170, con 4 incisioni 1 

— (Vedi Algebra complementare). 

Errori e prcg-lndlzi Toig'arl, confutati colla scorta 
della scienza e del raziocinio da Gr. Strafforello, 
di pag. iv-170 1 

Esercizi g-eof^raflci e quesiti, di L. HUGUES, snl- 
i' Atlante di R. Klepert<, 2* ediz.. di pag. 76 . . 1 

Emerelxl di traduzione a eov^x^^^^^^^l^ ^^\%. 
irrammatlca francese, M VTQ\.,^,^\i.t^'^>^»^vSSàk' 



Elenco dei Manuali HoeplL 11 

L. e. 

Esercizi di traduzione con vocabolario a eom- 
piemento della g-rammatlea tedesca, del Prof. G. 
Adler, di pag:. iv-236 1 50 

— (Vtìdi Grammatica tedesca — Letteratura), 
Esplodenti e modo di fabbricarli, R.MOLINA, p.XX-900 2 50 
Estetica, del ProL M. Pilo, di pa^. xx-280 .... 1 50 

— (Vedi Etica — Filosofia — Logica — Psicologia). 
Estimo rurale, di F. Cabeqa di Mubicge, p. vi-16i. 2 — 

— (Vedi Agronomia — Disegno topografico — Eco- 
nomia dei fabbricati rurali — (Geometria pratica). 

Etica, del Prof. L. Friso. (In lavoro). 
i2;tnog>rafla, del Prof. B. Malfatti, 2* ediz., intera- 
mente rifusa, di pag. vi-200 1 50 

— (Vedi Antropologia — Paleoetnologia). 
Etnoloffia. (Vedi Antropologia). 
Fabbricati rurali. (Vedi Economia dei). 
Pabbriebe. (Vedi Proprietario di Case) 
Fabbro. (Vedi Fonditore — Operaio — Tornitore). 
Falef^ame ed ebanista. Natura dei legnami, maniera 

di conservarli, prepararli, colorirli e verniciarli, loro 
cubatura, di (à. Belluomini, pag. x-138, con 42 ine. 2 — 

Faisiflcazlone deg-li alimenti. (Ved* Adulterazione). 

Farmacista (Manmle del), del Dott. P. E. Alessandri, 
di pag. xn-628, con 138 tav. e 80 incisioni originali. 6 50 

Ferro. (Vedi Siderurgia). 

Ferrovie. (Vedi Trasporti). 

Filatelia, (Vedi Dizionario filatelico) 

Filatnra. Manuale di filatura, tessitura e lavorazione 
meccanica delle fibre tessili, di E. Grothe, traduzione 
sull'ultima edizione tedesca, di p. vin-414, con 105 ine. 5 — 

— (Vedi Coltivazione — Piante industriali). 
Fiioloifia elassica, rreca e latina, del Prof. V. 

Inama, di pag. xn-19o 1 50 

— (Vedi Letteratura greca e romana). 
Filonaata. Quadro generale di navigazione da diporto 

e consigli ai principianti, con un Vocabolario tecnico più 

in uso nel panfiliamento, del Gap. Gr. Olivari,p.xvi-286 2 50 

Filosolla morale, di L. Friso, p. xvi-336 (voi. doppio) 3 — 

—- (Vedi Estetica — Etica — Logica — Psicologia). 

Finanze (Vedi Scienza delle). 

Fiori. (Vedi Floricoltura — Piante e fiori). 

Fisica, del Prof. Balfour Stewart, trad. del Prof. G. • 

Cantoni, 4" ediz., di pag. x-188, con 48 incisioni . . 1 50 

— (Vedi Calore — Energia fisica — Luce e suono], 
Fisiolog-la, di Foster, traduz. ^d^Toi. Q^. k.\5!xjsv> 

3' ediz., di pag-. xn-Ì58, con Ift mcmom , , . ». .V^*^ 
£M0lorU e«flyiaraia. (V. Anatomia— Em>)T*\oloQ\g\« 
FttoU^m. (Vef - Mora itcdxawx — ^\^- 

r$eaitUm — jp 



12 Elenco dei Manuali Hoeplù 

L. e. 

Flora italiana tascabile, di R PlBOTTA. (In lavoro). 
Florieoltara (Manuale di), di G. M. Fratelli Eoda, di 

pag. vni-186, con 61 incisioni 2 — 

— (Vfìdi Botanica — Piante e fiori). 

Fo|fnatnra cittadina, dell'Ine. D. Spatabo. (In lav.). 

Fonditore in tnttl I metalli (Manuale del), di Gt. Bel- 

LUOMiNi, di paR. 146, con 41 incisioni . . . . . . 2 — 

Fonoloifla iri*®®<^« del Prof. A. Cinqxtini. (In lavoro). 



Foooloyia italiana, ddD^ttL. Stoppato, p.vin-l(>2. 1 50 
Fotojcrafla def colori, del Dott C. BoNACiNi. (In lav.) 



Fonolofrla latina, di S. Consoli, di pag. 2D6 . . . 1 50 
Fotogfaliranotlpla. (Vedi Arti grafiche). 

tt. C.JBonac] 



Fotoff'rafla.pel dilettanti. (Come il sole dipinge), di 
G. AIuFFONE, di pag. x-2()4, 2* ediz., con molte inds. 2 — 

— (Vedi Arti grafiche — Dizionario fotografico — 
Ricettario fotografico). 

Francobolli. (Vedi Dizionario Filatelico). 

Frumento e mais, di G. Cantoni, p. vi-16a e 13 inds. 2 — 

— (V. Adulterazione — Alimentazione — Panificazione), 
Frutticoltura, del Prof. Dott. D. Tamaro, con 63 il- 
lustrazioni, di pag. vni-192 2 — 

— (Vedi Pomologia artificiale — Uva pasm). 
Fulmini e parafulmini, del Dott. FroL E. Cane- 
strini, di pag. vin-166, con 6 incisioni. . . . . . 2 — 

Funj^hl (I) ed 1 tartufi, loro natura, storia, coltura, con- 
servazione e cucinatura. Cenni di Folco Bruni . . 2 — 

Fuochi artificiali. (Vedi Pirotecnia), 

Fuochista. (Vedi Macchinista). 

Galvanoplastica, ed altre applicazioni dell'elettrolisi, 
Galvanostx3gia, Elettrometallurp:ia, Affinatura dei me- 
talli, Preparazione dell'alluminio, Sbiancliimento della 
<',arta e dello stoffe, Risanamento delle acque, Concia 
elettrica delle pelli, ecc., del Prof. R. Ferrini, 2* ed., 
completamente rifatta, di pag. xii-392 con 45 indsioni. 4 — 

Gelsicoltura, del Prof. Dott. D. Tamaro, p. xvi-175, 
con 22 incisioni nel testo 2 — 

— (Vedi Coltivazione e industria delle piante tessili). 
Geodesia. (Vedi Compensazione degli errori — Cele- 

tHmensura — Curve — Disegno topografico — Geo- 
metria pratica — Telemetria). 

Geodinamica. (Vedi Sismologia — Termodinamica 
— Vulcanismo). 

Geog^rafla, di Gr. Grò VE, trad. del Prof. E. Galletti, 
2* ediz., riveduta, di pag. xn-160, con 26 incisioni. . 1 50 

— (Vedi Alpi — Atlante — Carlopratla — Disegno to- 
pografico — Dizionario geogralico — VLox^ — ^twvt 

ote del Prof. L Gekiile, W «to-, ^ -«»%• ^'^^ '^^ 



Elenco dei Mamiali Hoepli, 13 

L. e. 

Geogprafla llslea, di A. Geikie, traduzione sulla 6* 
edizione inglese di A, Stoppani, 3' ediz., pag. iv-132, 
con 20 incisioni 1 50 

Geologpla, di Geikie, traduzione sulla 3* edizione in- 
glese di A. Stoppani, 3* ed., di p. vi-154, con 47 ine. 1 50 

— (Vedi Cristallografia — Mineralogia), 
Geometria analitica dello spazio^ del Prof. F. 

AscHiERi, di pag. vi-196, con 11 incisioni 1 50 

Geonetrla anali tlea del jplano, del Pr. F. AsCHIEBI, 

di pag. vi-194, con 12 incisióni 1 50 

Geometria deserlttlva^ del Prof. F. AscHlEBi, di 

p«ig. iv-210, con 85 incisioni 1 50 

Geometria metrica e trlflponometrla, del Prof. S. 

PiNCHERLE, 3' ediz., di pag. vi-152, con 16 incisioni. 1 50 
Geometria pratica, dellli^. Profl G. Erede, 2" ediz., 

riveduta, di pag. x-184, con 124 incisioni 2 — 

— (Vedi Cdertmensura — Disegno assonometrico — 
Disegno geometrico — Disegno topografico — Geo- 
desia — Regolo calcolatore — Statica — Telemetria), 

G<»ometrla projettira del plano e della stella, 
del Prof. F. Apchifri, 2' ed., di p. vi-22d con 86 ine. 1 50 

Geometria projettlva dello spazio, del Prof. F. A- 
scHiERi, con molte incisioni. (In lavoro). 

Geometria pura elementare, del Prof. S. PlN- 
CHERLE, 3* ediz., dì pag. vi-140, con 112 incisioni . . 1 50 

Ghisa. (Vedi Siderurgia), 

Giardino (II) infantile, del Prof. P. OoNTl, di pa- 
gine iv-214, con 27 tavole (voi. doppio) 3 — 

Ginnastica (»Storia della), di F. Valletti, di p. vin-184. 1 50 

Ginnastica femminile, di F. Valletti, di pag. yi-112, 
con 67 illustrazioni 2 — 

Ginnastica masclille (Manuale di), i)er cura di J. 
Gelli, di pag. vni-108, con 216 incisioni 2 — 

— (Vedi Scherma). 

Gioielleria, oreficeria, oro, arg-ento e platino, 
di £. BosELLi, di pag. 336, con m incisioni . . . 4 — 

— (Vedi Pietre preziose — Metalli preziosi), 
Ginochi. (Vedi Scacchi). 

Giurisprudenza. (V. Codice doganale — Digesto — 
Diritto amministrativo — Diritto civile — Diritto 
costituzionale — Diritto ecclesiastico — Diritto in- 
ternazionale pubblico e privato — Diritto penale — 
Diritto romano — Imposte dirette — Legge comu- 
nale — Legislazione rurale — Mandato commerciale 
— Notaio — Ricchezza mobile — Testamenti). 

Grafologia con numerosi autogwA. ^"^ ^xq>ì» ^,\jKS*r 

BBoso. (In Javoro). 
CvramaiAllea araidlea. (Yedi Araldica^. 






14 Elenco dei Manuali Hoepli. 

L. e. 
Graoiiuatlea e dizionario delia llii|p«a del Galla 
(oroBioniea), dol Prof. E. Viterbo. 

Voi. L Galla-Italiano, di pag. vin-152 2 50 

Voi. IL Italiano-Oalla, di pagr. lxiv-106 2 fiO 

Gramiuatlca fk*ancese, del Pro£ Gr. Peat, p. xi-287. 1 50 

— (Vedi Esercizi di traduzione). 

Granmatlea is:reea, del Prof. Inama. (In lavoro). 

(Vedi Fonologia — Morfologia). 
Grammatica 'delia llng-iia ^reea moderna, del 

Prof. R. LovERA, di pag. vi-154 1 50 

Grammatica in^piese, del Prof. LuGi Pavia, p. xn-200 1 50 
Grammatica italiana, di T. CoNCARl, di p. vn-204. 1 50 
Grammatica latina, del Prof. Valmaggi, m p. x-^. 1 50 

— (Vedi Fonologia latina — Letteratura ronuina). 
Grammatica e vocabolario della iing-na rumena, 

del Prof. 11. Lo VERA, di pag. viii-200 1 50 

Grammatica sanscrita. (Vedi Sanscrito). 
Grammatica spas-nnoia, del Prof. L. Pavia. (In lav.). 
Grammatica tedesca, del Prof. L. Pavia, p, xviii-25i. 1 50 

— (V. Esercizi di traduzione — Letteratura tedesca). 
Gravitazione. Spioo:azione elementare delle principali 

perturbazioni nel sistema solare di Sir G. fi. Airy, 
traduzione con note ed ag:g:iunte del Pro£ F. Porro, 
con 50 incisioni, di pag. xxiv-176 1 50 

— (Vedi Astron(ymia — Spettroscopio). 

Grecia (La) antica, di G. ToNiAZZO. (V. Storia antica). 

Idroterapia. (Vedi Acqiie [cura delle\), 

Igfleue del lavoro, TRAMBUSTI A. e Sanarelli. di pa- 
pine viii-'V32 con 70 incivsioni 2 50 

lg>lene della vita pnlibllca e privata, del Dott. G. 
Faralli, di pag. xii-250 2 50 

■igiene privata e medicina popolare ad uso delle fami- 
glie, di 0. BocK, trad. di E. Parietti sulla 7* ediz. ted. 
oxm una introduzione di G. Sormani, di pag;. xu-278. 2 50 

■iciene pubblica, del Prof. Sormani. (In lavoro). 

lg>Ìeno rurale, A. Carraroli, pag. x-470(vol. doppio). 3 — 

— (Vedi Assistenza agli infermi — Soccorsi d^urgenza), 
Igrieue scolastica, di A. Hepossl 2* ed., di pag. IV-246. 2 — 
lg>iene veterinaria, del Dott. U. Barpi, di p. vin-228. 2 — 

— (Vedi Zoonosi). 

lg>roscopÌ, Ìg>rometrl, umidità atmosferica, del 
Prof. P. Cantoni, di pag. xn-146, con 24 ine. e 7 tab. 1 50 

— (Vedi Climatologia — Meteorologia). 
Illuminazione elettrica (Impianti di), dell'Ing. E. 

PiAzzoLi^ 2" edizione inteiameiite rifatta^ di pag. xrv- 
466, con 26:i incisioni, 78 ta\»\\ft ek'i\a.^,^i\*i?:»S».\fò.^^ 
imbaisamaiore (Manuale deWì, ^xe^x^W^ \»i^^«t- 
^ista, di R. Gestro, 2* ed. tìv., òi ^. TsiAAa^'^ \aR..^ - 
— (Vedij^aturalista vioggiatoreV 



Elenco aet Mamiali Moeplù 15 

" ' LTc." 

Impianll el Attrici. (V. Elettricità — Illuminazione). 

ImposUi sai reddlll di ricchezza mobile (Vedi 
Hicchezza mobile). 

Imposte direlte (Riscossione delle), E. BRUNI, p. yni-158 1 50 

Imposte sui fabbrleatl. (Vedi Proprietario di case), 

lochlostrl. (Vedi Vernici). 

lodustria della seta, di L. Gabba, 2' ed., p. lv-208. 2 — 

Indastrla (L') stearica. Manuale pratico dell*lng:. E. 
Marazza, di pag. 288, con 76 ine. e con molte tab. 5 — 

Indostrle. (Vedi Apicoltura — Arte mineraria — 
Asfalto — Bachi da seta — Caseificio — Concia delle 
pelli — Conserve — Galvanoplastica — Gioielleria 
— Merceologia — Molini — Olio — Orologeria — 
Piccole industrie —- Tabacco — Tintore, ecc.). 

Indastrie artistiche. (Vedi Decorazione). 

Industrie tessili. (Vedi Coltivazione — Gelsicoltura 
Filatura — Seta), 

Infezione, disinfczione e disinfettanti, del Dottor 
Prof. P. E. Alessandri, di pag. vin-190, con 7 ine. 2 — 

■ogr^gT"*"'* civile. Manuale dell'Cigegnere civile e indu- 
striale, di a. Colombo, 13* ed. (31*, 32? e 33» mieliaio), di 
p. xrv-356, con 2C^ tìg. e con una Bibliografia dell'Inée- 
gnere disposta in ordine alfabetico delle materie di p.ì48 5 50 
Il medesimo tradotto in francese da P. Margillac. 5 50 

Inipeffnere navale. Prontuario di A. Cignoni, con 
« 36 fig., di pag. xxxn-292. Leg. in tela L. 4 50, in pelle. 5 50 

— (Vedi Attrezzatura — Macchinista navale). 
Ingfrassl. (Vedi Chimica agraria — Concimi), 

Insetti nocivi, F. Francesohini, p. vin-264, 96 inds. 2 — 
Insetti ntlll, di F. FBANcriscHiNi, di pag. xn-160, con 

43 incisioni ed 1 tavola 2 — 

Interesse e sconto, di E. Gagliardi, di paff. vi-20i 2 — 

— (Vedi Contabilità — Computisteria — Debito può- 
hliro — Raaùmeria — Valori ryiMlici\. 

istituzioni dello Stato (Le). (Vedi Diritti e doveri 
dei cittadini — Ordinamento degli Stati). 

Ittiologia. (Vedi Piscicoltura — Ostricoltura e Mi- 
tilicoltura). 

Latte, burro e cacio. Chimica analitica applicata al • 
caseificio, del Pro! Sartori, di pag. x-162, con 24 ine. 2 — 

— (Vedi Adulterazione degli alimenti — Caseificio). 
^egge sulle caldaje. (Vedi Macchinista e Fuochista). 
^^9K^ (La nuova) comunale e provinciale, anno- 
tata dall'Avv. E. JMazzoccolo, 3* ediz., con raggiunta 

di due regolamenti e due indici, di pjag, viii-?*S , . 4. ^ 
^^S9^*(Yoàì Codice doganale — Biritto amm^m^Xiva- 

tivo-dvile- commerciate - ecclesiastico -peYvale -Tow.auo 
— Imposte dirette — Legislazioue r\irale — Ot^x- 
namento degli stati -— Ricchezza mobile^. 



16 Elenco dei MamuUi Hoepli, 



L. e. 

LieipislazUne rurale secondo il prog^ramma governativo 
per gli Istituti Tecnici dell* Aw. E. Bruni, di p. xi-422 3 — 

Leg'naml. (Vedi Cubatura dei legnami — Falegname). 

Lepidotteri Itallaol, del Dott. A. Qbiffini, di pa- 
gine viii-238 con 149 incisioni 1 50 

Letteratura amerlemoa, di G^. Stbafforello, p. 158 1 5U 

Letteratura danese. (Vedi Letteratura norvegtana). 

Letteratura ebraica, di A. Revel^ voi., di pag. 364. 3 —- 

Letteratura e|plzlana, del Dott. L. Bbigiutl (In lav.). 

Letteratura francese^ del Prof. F. Marcillac, trad. 
di A. Paganini, 2* ediz., di pag. vin-184 1 50 

Letteratura gr**®^*' del Prof. V . Inama, 10* ediz., mi- 
gUorata (dal 35' al 40« migliaio), di pag. vin-234 . . 1 50 

— (Vedi Filologia classica — Verbi Greci Anomali), 
Letteratura Indiana, del Prof. A. De Qubernatis, 

di pag. vni-159 1 50 

Letteratura ln|plese, del Profl E. SOLAZZI, 3* ediz., 

di pag. vra-194 1 50 

Letteratura Islandese, di S. AmbbosOLL (In lavoro). 
Letteratura italiana, di 0. Fenini, 4* ed., di p. yi-204 1 50 
Letteratura latina. (Vedi Fonologia latina — CHram" 

matica latina — Letteratura romana). 
Letteratura norveipiana del Dott. S. CONSOLI, di 

pag. xvi-272 1 50 

Letteratura persiana, del Prof. I. Pizzi, di pag. x-208. 1 50 
Letteratura provenzale. A. Restobi, di pag. x-220. 1 50 
Letteratura romana, del Prof. F. RamobINO, 3* ediz. 

riveduta e corrotta (dall' 8" al 12" migliaio), p. iv-320. 1 50 

— (Vedi Filologia classica — Grammatica latina). 
Letteratura spa|[pnuola e jportogfliese, del Prof. L. 

Cappelletti, di pag. vi-206 1 50 

Letteratura tedesca, del Prof. 0. Lange, traduz. 
di A. Paganini, 2' ediz., corretta, di pag. xn-168. . 1 50 

— (Vedi Esercizi — Grammatica tedesca). 
Letteratura ungfherese, di ZiGÀNY AÌeipàd, di pa- 
gine xn-295 1 50 

Letterature slave, di D. ClÀMPOLI, 2 volumi: 

L Bulgari,Serbo-Croati, Yugo-Russi, dijpag.iv-144. 1 50 
jX Russi, rolacchi. Boemi, ai nas:. iv-1^ . . . . 1 50 
Liliri. (Vedi Bibliografia — Bibliotecario — Dizio- 
nario Bibliografico — Paleografia — Tipografia). 
Llngfua araba. (Vedi Arabo' volgare). 
Lingfua dei Galla (orononlca). (Vedi Grammatica). 
MAngna francese. (Vedi Grammatica e Esercizi). 
Ling-ua greetk. (Vedi Grammatica — Letteratura). 
Lingua ^reca moderna. (Veòi GrammaUcoìN, 
Lingua latina. (Vedi Grammatica — L.etteTa\wfa 

romana). .. . 

Llngum, ramena. (Vedi QTaminat%ca^, 



Elenco dei Manuali Soeplù 17 

L. e. 

Llni^aa saoserlia. (Vedi Sanscrito), 

Ungnm tedesea. (Vedi Esercizi — Grammatica — 
Letteratura). 

LIogfaa tigrrè* (Vedi Tigre). 

LIogfae comparate. (Vedi Storia comparata). 

Etìngne diverse* ( V. Letteratura delle singole lingue). 

Llorae delP Afrlea, di K CusT, versione italiana 
del Prof. A. De Gttjbernatis, di pag. iv-110. ... 1 50 

-— (Vedi Arabo volgare — Dizionario eritreo — - Gram- 
matica oromonica — Tigre). 

Llo^ne Deo-latloe, del Dott E. GoRRA, di pag. 147. 1 50 

LiDgfne siraolere (Stadio delle), di Marcel, ossia 
TArte di pensare in una Ungaa straniera, traduz. del 
Prof. Damiani, di pag. xvi-i36 1 50 

Livree* (Vedi Araldica). 

Kt9gmrìimì (Tavole di), con 5 decimali, pubblicate per 
cura di 0. Mùller, 3' ediz., di pag. xx-142 .... 1 50 

Loiplea, di W. Stanley Jevons, traduz. del Prof. 0. 
Cantoni, 4" ediz., di pag. vin-154, e 15 incisioni . . 1 50 

— (Vedi Estetica — Etica — Filosofia — Psicologia). 
Loiplea -matemailca, di 0. Burali-Forti, p. vi-158. 1 50 
L.oiflsiiiografla, di 0. Chiesa, 3* ediz., pag. xiv-172. 1 50 

— (V. Computist. - Contabilità dello Stato - Ragioneria), 
Etnee e eolori, del Prof, Gr. Bellotti, di pag. x-156, 

con 24 incisioni e 1 tavola. 1 50 

Etnee e snooo, di E. Jones, trad. di U. FoRNARL(]jilav.) 

MacciilDlsia e fuociilsla, del Prot. Gr. GhAUTERO, 
6* edizione, con aggiunte dell' Ing. L. Loria, di pa- 
gine xiv-180, con SS incisioni e col testo della Legge 
sulle caldaie, ecc. (dal 10** al 12** migliaio) 2 — 

MaechlDlsia oavaie (Manuale del) di M. Lignarolo, 
di pag. xn404, con 164 figure 5 50 

MaeelilDe agricole^ del ■ conte A. Cencelli-Perti, 
di pag. viii-216, con 68 incisioni 2 — 

Maechlne da caclre e ricamare, dellTng. Alfredo 
Galassini, di ^ag. vn-230 con 100 incisioni . . . . 2 50 

MaeelilDe. (Vecu Ingegnere civile — Ingegnere na- 
vale — Macchinista e fuochista — Macchinista navale 
— Meccanismi (500) — Meccanica — Orologeria). 

Magcneilsmo ed eleliricità, del Dott. Gr. Poloni, 
di pag[. xn-204, con 102 incisioni 2 50 

Mais. (V. Agricoltura — Frumento — Fanificazione), 

Maialile crillenmiche delle plaole erbacee 
colli vate, del Dottor R. Wolp, traduzione con note 
ed aggiunte del Dottor P. Baccarini^ p. x-288^5Q vaa. 2. — 

Maialile ed allerazlonl del irliA^ ^^\^\q*l'^,^'L^- 

TOLiNi, di pag. xi-138, con Vò iwemom ^ 

Malattie Irasmlsslblll daffU aMmaW «W v^^m^- 

(Vedi Zoonosi). 



18 Elenco dei Manuali Hoepli. 



L, e. 

Mandato eommerelale, del Prof. E. VlDARl, p. vi-160 1 50 

Maro (II), del ProL V. Bellio, di pag. iv-140, con 
6 tavole litografate a colori 1 50 

Marino (Manuale del) mliliare e mereaniile, di 
De Amezaqa, con 18 xilografie ed un elenco del per- 
sonale dello Stato ma^g^iore, di pag. yin-251. . . . 5 — 

Mastici. (Vedi Vernici e lacche). 

Materiali da costruzione (Vedi Resistenza dei — 
Travi metallici composti). 

Matematica. (Vedi Algebra — Aritmetica — Cele- 
rimensura — Compensazione — Equazioni — Geo- 
metria — Logaritmi — Logica matematica). * 

Materia medica moderna (Manuale di), del Dott 
(}. Malacrida, (In lavoro). 

Materie coloranti. (Vedi Colori e Vernici — Tin- 
tore — Piante industriali — Ver^iici e Lacche), 

Meccanica, del Prof. R. Stawell Ball, traduz. del 
Prof. J. Benetti, 3* edizione, di pag. xvi-214, con 89 
incisioni 1 50 

Meccanismi (500), scelti fra i più importanti e recenti 
riferentisi alla dinamica, idraulica, idrostatica, pneu- 
matica, macchine a vapore, molinL torchi, orologerie 
ed altre diverse macchine, da H. T. Bbown, tra- 
duzione italiana sulla 16* edizione inglese, dall* In- 
gegnere F. Oerruti, p. vi-176, con 500 ine. nel testo 2 50 

— (Vedi Orologeria — Tornitore meccanico). 
Medagflie. (Vedi Numismatica). 

Medicina. (Vedi Anatomia — Animali parassiti — 
— Assistenza agli infermi — Batteriologia — Em- 
briologia — Fisiologia — Farmacista — Igiene — 
Materia medica — Protistologia — Soccorsi d'ur- 
genza — Terapeutica — Zoonosi), 

Metalli. (Vedi Peso dei metalli — Operaio — Fondi- 
tore — Tempera — Tornitore). 

Metalli preziosi (oro^ argento, platino, estrazione, fu- 
sione, assali, usi), di Q. Gorini, 2* ediz., di pag. 196, 
con 9 incisioni 2 — 

— (Vedi Oreficeria e Gioielleria). 
Metaliurgfia. (Vedi Siderurgia). 
Meteorologfia generale, del Dott L. De Mabchi, 

di paar. vi-156, con 8 tavole colorate 1 50 

— (Vedi Climatologia — Igroscopi — Sismologia). 
Metrica dei j^reci e dei romani, di L. MiJLLEB, 

tradotta dal Dott. V. Lami, di pa^. xvin-130 ... 1 50 

— (Vedi Letteratura greca — Ritmica — Verbi greci). 
Metrologia. (Vedi Prototipi iuteTìvaiio'aali del wfttro 

e del kilogrammcCs. „ ^, , ... ,^ .. 

Jfff colonia. (Vedi Fungili e Tartutv — UoXaXUe. Ct\\.- 

togamiché). 



Elenco dei Manuali Hoepli, 19 

__ 

Microscopio (B), ossia Quida elementare alle più fa- 
cili osservazioni di Microscopia, del Pro£ Camillo 
Acqua, di pag. xii-226, con 8l incisioni 1 50 

— (Vedi Batteriologia — Protistologia — Tecnica 
microscopica). 

Hi eie. (Vedi Apicoltura). 

Hiliiaria. (Vedi Esplodenti — Scherma — Storia 
art^ militare). 

Hioeralogria gfODerale, del Prof. L. BOMBICCI, 2* edi- 
zione riveduta, di pag. xiv-190, con 183 incisioni e 
3 tavole cromolitografate 1 50 

Mineraiogfia descrilllva, del Prot L. Bombicci, 2* 

. ediz. di pa^. iv-300, con 119 incisioni (voi. doppio). . 3 — 

— (Vedi Cristallografia). 
Hioiere. (Vedi Arte mineraria). 

Miniatara. (Vedi Colori e vernici — Luce e colori — 
Decorazione e omafnentazione — Pittura), 

Miti. (Vedi Errori e pregiudizi). 

MililicoKara. (Vedi Ostricoltura — Piscicoltura). 

Mitoiogrla eoiuparata, di A. De Gubernatis, 2* ediz., 
di pag. vm-150 1 50 

Mi tologf la irreea, di FORESTI Voi. I Divinità, p. vin-264 1 50 
Voi. U, Eroi 1 50 

MKolog-ia romana, di A. Foresti. (In lavoro). 

Mollai (Industria dei), di C. Siber-Millot. (In lavoro). 

Momenti resistenti e pesi di travi metallleiie 
composte. Prontuario ad uso degli ingegneri, archi- 
tetti e costruttori, con 10 figure ed una tabella per 
la chiodatura, di E. Schenck, di pag. xl-188. ... 3 50 

— (Vedi Peso dei metalli — Resistenza dei materiali). 
Monete. (Vedi Archeologia — Numismatica — Paleo- 
grafia — Tecnologia e Terminologia monetaria), 

Morfologria, (Vedi Embriologia), 
Morfoioifia s-reca, del prof. V. Bettei. (In lavoro). 
Morale. (Vedi Etica — Filosofia m>orale), 
Mnsica. (Vedi Armonia — Cantante — Pianista — 

Storia della musica — Strumentazione — Strumenti 

ad arco ecc.). 
Mutuo soccorso. fVedi Società di) 
Maturalista yrìsiggìmtTe, ^ A. Jbbel e K GESTRO 

(Zoolo^a), di pag. vin-144, con 38 incisioni .... 2 — 

— (Vedi Imbalsamatore — Zoologia). 

!Vantlca. (Vedi Attrezzatura — Filonauta — In- 
gegnere navale — Macchinista navale — Marino). 

iHotaro (Manuale del), aggiunte^ \qT«j9&^ ^\«£tó«si>^ 
bollo ed ipotecarie, le norme ©à. \ Ta.o\\JX\ ^^^<^>^ j 

pabbUoQ, del Notaio Avy. iL QiLBEnm,^'^ ^^àa..,Ttosiw ^ 

eno^volmente ampliata, ài_pa«. :ax-^M5 ,•*••'* 

— (Vedi Churisprudenzh — Tcstameati^. 



20 Elenco dei Manuali HoeplL- 



L. e 

xHoBiisiiiatica, del Doti. S. Ambrosoli, di pa^. xyi-216, 
con 100 fotoincisioni nel testo e 4 tavole 1 50 

— (Vedi Araldica — Archeologia — Paleografia), 
Olii veg'etali, animali e minerali) loro applicazioni, 

di G. &ORINI, di pagf. vni-214, con 7 incis., 2* ediz., 
completamente rifatta dal Dott Gt. Fabbis . . . . 2 — 

— (Vedi Industria stearica — Olivo ed olio — Saponi), 
OIIto ed olio, Coltivazione deWolivOf estrazione, pu^ 

rificazione e conservazione dell' olio^ del Pro! A. Aloi, 

3' ediz., di pag. xn-330, con 41 incisioni 3 — 

Omero, di W. Gladstone, traduz. di K Palumbo e 
0, FiORiLLi, di paff. xn-196 1 50 

Operalo (Manuale dell'). Raccolta di cognizioni utili 
ed indispensabili a^li operai tornitori, fabbri, calderai, 
fonditon di metalli, bronzisti, ap:iustatori e mecca- 
nici, di Gr. Belluomini, 3' edizione, di pag. xvi-216. 2 — 

— (V. Falegname - Fonditore - Paga operai - Tornitore), 
Operazioni dogfanali. (Vedi Coaice doganale — Tror 

sporti). 
Opifici. (Vedi Proprietario di Case), 
Ordinamento dejp li fUtall liberi d' Europa, del 

Dott. F. Racioppi, di pag:. viu-310 (voi. doppio) . . 3 — 
Ordinamento deg-il Stati liberi fuori d'Europa, 

del Dott. F. Racioppi, di pagr. vni-376 (voi. doppio). 3 — 
Oreficeria e iplojellerla, oro, argento e platino, di 

E. BosELLi, di pag. 336, con 125 incisioni .... 4 — 

— (Vedi Metalli preziosi — Pietre preziose). 
Oriente antico (L*), di I. GENTILE. (V. Storia antica). 
Ornamentazione. (Vedi Colori — Decorazioni — Di- 
segno — Pittura — Scoltura), 

Orografia. (Vedi Alpi — Dizionario Alpino — Pre- 
alpi Bergamasche), 

Orolojfcrla moderna, dell' Ing. Garuffa, con 187 
illustrazioni, di pag:. viii-302, con 276 incisioni . . . 5 — 

Orticoltura, del Prof. D. Tamaro, con 60 incisioni. 4 — 

— (Vedi Agricoltura), 

Ostricoltura e mitilicoltura, del Dott. D. Oabazzi, 

con 13 fototipie, di pag. vin-202 2 50 

Ottica, di E. (jelcich, con molte illustrazioni (In lav.). 
Ovicoltura. (Vedi Alimentazione — Bestiame), 
Pagfa ifiornailera (Prontuario della), da cinquanta 

centesimi a lire cinque, di C. Neqbin, di pag. 222. 2 50 
Paleoetnoiogria, di I. Regazzoni, p. xi-252, con 10 ine. 1 50 
Paleogrrafla, di E. M. THOMPSON, traduz. dall'inglese, 
con ao'giunte e note di G. Fumagalli, di pag. viii-156, 
con 21 incisioni nel testo e ^ taiTro\^ Vdl i'Q\riC\e»» . .^ — 
f^m^lfamento. (Vedi FiloYiautaV 

f^junllicacfone razionale, àiPoìBraAO>^ WL«^-^28k,^ — 
f*ar«raliiifnf . (Vedi Elettricità — Fulm\ni^. 



JL-J 



Jenco dei Manuali Hoepli. 21 



L. e. 

ParassItolQiirl** (Vedi Animali parassiti), 

Peda|poirÌa* (Vedi Didattica — Giardino infantile — 
Ginnastica femminile e maschile — Igiene scolastica). 

Pelli. (Vedi Concia delle pelli). 

Pensioni. (Vedi Società di Mutuo soccorso). 

Peso dei melali!, ferri quadrali, rellangfolarl, 
eilindricl, a squadra, a U, a IT, a Z, a T e 
a doppio T, e delie laniere e labi di Inlll I 
neialll, di Gt. Belluomini, di pag. xxiv-218 ... 3 50 

— (V. Fimditore — Ingegnere civile — Ingegnere navale 

— Momenti resistenti — Operaio — Resistenza). 
Planisia (Manuale del), di L. Mastrigli, di p. xvi-112. 2 — 
Planle e fiori sulle finestre, sulle terrazze e nei cor- 
tili Coltura e descrizione delle principali specie e va- 
rietà, di A. Pucci, di pag. viii-l98 con 116 incisioni. 2 50 

— (Vedi Botanica — Floricoltura — Frutticoltura), 
Piante Indnsirlall, coltivazione^ raccolto e prepara- 
zione, di G. (xORiNi, nuova edizione, di pag. ii-144. 2 — 

Planle lessili. (Vedi Coltivazione ed industrie delle 

— Gelsicoltura), 

Pleeole Indnsirie, del Proi. A. Errerà, di p. xvi-186. 2 — 
Pietre preziose, classificazione, valore, arte del ^o- 
jelliere, di G. Gorini, 2' ed., di pa^. 138, con 12 ine 2 — 

— (Vedi Metalli preziosi — Oreficeria — Gioielleria). 
Plroleenlea moderna, di F. Di Maio, con 111 inci- 
sioni, di pag. vin-150 2 50 

Plseieoliara^ del Dott. E. Bettoni. (In lavoro). 

— (Vedi Ostricoltura e Mitilicoltura). 

Pllinra. Pittura italiana antica e moderna, del Proi. A. 
Melani, 2 voi., di pag. xx-164 e xxvi-202, illustrati 
con 102 tav., di cui una cromolit, e 11 figure nel testo. 6 — 

— (Vedi Anatomia pittorica — Colori (scienza dei) — 
Colori e vernici -r- Decorazione — iMce e colori). 

Poesia. (Vedi Arte del Dire — Dantologia — Lette- 
ratura — Omero — Bettorica — Ritmica — Shak- 
speare — Stilistica). 

Pollleoliara, del March. Q. Trevisani, con 70 illu- 
strazioni, di pag;. xvi-176 2 50 

— (Vedi Animali da cortile — Colombi). 
Pomologia artiflciale, secondo il sistema Gamier- 

Valletti, del Prof. M. Del Lupo, p. vi-132, con 44 ine 2 — 

— (Vedi Frutticoltura — Orticoltura). 

Pralo (II), del Prof. G. Cantoni, di pag. 146, con 13 ine. 2 — 
Prealpl berg-amasohe (Guida-itmerario alle), com- 
presi i passi alla Valtellina, con prefazioii^ di St^i^- 
PANiy 2* ediz., di pag. xx-124, con c&i^Ak \«\>a«wJftRSw ^ 

panommà delle Alpi Orobiche "^ 

- (Vedi A/m — Dizionario alpino — Q-eogrofU^- . ^ 
r^griadiMh (Vedi Errori e pregiudizi — M.^to\o«wi^• 



22 Elenco dei Manuali HoeplL 



L. e 
Pr^ntaarlo di |fe«§^«fl« e stotlstiea, di G, Qtkr 
BOLLO, pag. 62 1 — 

— (Vedi Atlante Universale — Atlante d'Italia — 
Dizionario geografico — Geografia). 

ProDlnarlo per le pafflie* (Vedi Pa^he), 
Proprietario di case e di opifici (Mannaie del), . 

Imposta sui fabbricati dell'Avv. (Giordani, pag. xx-264. 1 50 
Pro(istolo||pla, di L. Maggi, 2* ediz., di pag. xvi-278, 

con 93 incisioni nel testo (volume doppio) 3 — 

— (Vedi Animali parassiti — Batteriologia — Mi- 
croscopio), 

Prototipi (I) intemazionali del metro e del kilogramma 
ed il codice metrico intemazionale,di A.TACCHiNi.(Inlav.) 
Proverbi io qaattro lingrne. (V. Dottrina popolare), 
Psicoloipia, del Prof. C. Cantoni, di pag. iv-158 . . 1 50 
Psicoloflria flsioiogrlca, di G. Mantovanl (In lav.). 
Raecog'litore di fraoeobolli. (Vedi Dizionario fila- 
telico). 
Raflrioneria, del Prof. V. Gitti, 2* ediz., di pag. vi-132. 1 50 

— ( V . Computisteria — Contabilità — Logismografia), 
Reclami rerrovlari. (Vedi Trasporti), 

Reg-olo calcolatore e sue applicazioni nelle ope- 
razioni topog^raflche, delllng. G. Pozzi, di pag. 
xv-'23S con 182 incisioni e 1 tavola 2 50 

Religfione e ilng-ne delPIndla Ingflese, di R. OuST, 
trad. dal Prof. A. Db (^ubkenatis, di pag. iv-124 . 1 50 

— fVftdì Jjpttfiratura indi/ina). 

Resistenza del materiali e stabilità delle castra- 
zlonl, deiring. Gallizia, pag. x-336, 236 incisioni e 
2 tavole .• • • 5 50 

— (Vedi Peso dei metalli — Travi metallici), 
Rettorica, ad uso delle Scuole, di F. Capello, p. vi-122. 1 50 
~ (Vedi Arte del dire — Ritmica — Stilistica), 
Ricamo. (Vedi Macchine da cucire). 

Ricchezza mobile (Imposta sui redditi di), dell'Av- 
vocato E. Bruni, di pai. viii-218 1 50 

Ricettarlo fotoicraflco, l)ott. LuiGI Sassi, di p. vi-150 2 — 
Rimedi. (Vedi Terapeutica), ' 

Riscaldamento e irentllazione dogali ambienti abi- 
tati, del Prof. R. Ferrini, 2 voi, di pag. x-332, 94 inds. 4 — 
Riscossione dMniposte. (Vedi Imposte dirette). 
Risorgimento italiano (Storia del), del Prof. F. Beb- 
TOLiNi, di pag. vi-154 1 50 

— (Vedi Storia e cronologia — Storia italiana). 
RiMtaaraiore del dipinti, de\CoiL\fò O . ^^cccv-^tsksj^q. 

2 voi, di pag. XVI-2Ò9, xii-ìà©2 cotì ^ Va^às\wi\ . . . ^ — 
HSimlea e metrica ra»laiia\«> XlaWana^, ^^ Vx^- 

fossore Rocco Mtjbabi, àìv^^ .^^"'^^Q^iioùnAN * 
- CVedi Arte del dire — Bcttorica - Stilvitwia^. 



Elenco dei Manuali Moepli. "£i 

RUolazione (La) franeese (1789-1790), del Prof. Dott 
Gian Paolo Solerio, di pag. iv-17() 1 50 

Saoserlio (Avviamento allo studio del), di F. G-. Fumi, 
2* ediz., rifatta, di pag. xn-2&4 (voi. doppio) .... 3 — 

SapoDerla, dell'Ing. E. Mabazza. (In lavoro). 

Scacchi (Manuale pel giuoco de^li), di A. Seghiebi, 
di pag. xv-222, con 191 illustrazioni 2 50 

Schema iialiaoa (Manuale di), su i principii ideati da 
Ferdinando MasieÙo, di J. (Jelli, di pag. vm-191, 
con 66 tavole 2 50 

Scieoza delle finanze, di T. Carnevali, pag. iv-140. 1 50 

Scienze natarall. (Vedi Anatomia comparam — Ani- 
mali parassiti — Antropologia — Arte mineraria 

— Batteriologia — Bestiame — Botanica — Chimica 

— Coleotteri — Chimica avaria — Concimi — Cri- 
staUografia — Fisiologia — Flora italiana — Funghi 
e Tartufi — Gelsicoltura — Geologia — Imbalsa- 
matore — Insetti — Lepidotteri — Microscopio — 
Mineralogia — Naturalista — Ostricoltura — Piante 
e Fiori — Piscicoltura — Pomologia — Protisto- 
logia — Selvicoltura — Zoologia), 

Scollnra* Scoltura italiana antica e moderna, statuaria 
e ornamentale dell' Archit Prof. A. Melani, di pa- 
gine xvni-196, con 56 tav. e 26 fig. intercalate nel testo. 4 —- 

Seollnra In leffne. (Vedi Decorazione e industrie 
artistiche — JFaleqname), 

Scrutare d' affari (Precetti ed esempi di}, per uso 
delle Scuole tecniche, popolari e commerciali, del Pro- 
fessor D. Maffiou, di pag. vni-203 1 50 

SelTlcoUnra, di A. Saihjilli, pag. vin-220 e 46 ine. 2 

Serlceltora. (Vedi Bachi da seta — Gelsicoltura - 
Industria ddla fteta — Tintura della seta), 

Shakapeare, di DowDEN, trad. di Balzani. (In lav.). 1 50 

Sldernripla (Manuale di), deiring. V. Zoppetti, pub- 
blicato e completatoper cura dell' Ing. E. Garuffa, 
di pag. iv-368. con 220 incisioni 5 50 

— (vedi Metalli — Tempera), 

SUmoloirla, del Capitano L. Gatta, di pag. vin-175, 
con X6 incisioni e 1 carta 1 50 

Soccorsi d' urg-enza, del Dott. 0. Galliano, di pa- 
gine XLi-299, con 6 tavole litografate, 3' edizione. . 3 

Società di .Unlno soccorso (Manuale Tecnico per le). 
Norme per l'assicurazione delle pensioni e dei sussidi per 
malattia e per morte del dott. Gr. Gardenqhi (in lav.). 

SpeUroscoplo (Lo) « le sne applicazioni^ di EL A^ 
Pboctob, traduz. con note ed agglnxv^fò ò\^.^Qi«Wi^ 
di pag; vi-178, con 71 incisioni e una cat^A ^ «^"^"^^ ^ ^ 
SpMto 41 vitto. (Vedi Alcool — Cognac^. 



21 Elenco dei Mcmutdi HoeplL 

L. e 

Sport. (Vedi Alpi — Cacciatore — Ciclista — Dizio- 
nario Alpino — Ginnastica — Scacchi — Scherma), 

Statica (Prìncipi di) e loro applicazione alla teoria 
e costrnziooe deg-ll stranienti metrici, per Vlng. 
E. Bagnoli, di pag:. vni-252 con 192 incisioni . . , 3 5i) 

Statistica, di F. ViRGiLn, di pag. vin-176 .... 1 50 

Stearlneria. (Vedi Inditstria stearica). 

Stemmi. (Vedi Araldica). 

Stenogfrafla, di CI. QiOBGETTl 6 M. Tebsaroli (se- 
condo il sistema Gabelsbei^er-Noe), di pag. 200. . . 2 — 

Stilistica, del Prof. F. Capello, di pag. xn-164. . . 1 50 

— (Vedi Arte del dire — Rettorica — Ritmica, 
Storia antica (Elementi di). VoL L V Oriente Antico, 

prospetto storico, di L (3^entile, di pae. xn-232 . . 1 50 

Voi. IL La Grecia, di Gt. Tonla.zzo, di pag. vi-216. 1 50 
Storia e cronologfla medioevale e moderna, in 

CO tav. sinottiche, di V. Casagrandi, di pag. xvin-2()l 1 50 
Storia dell^arte militare antica e moderna, dì V. 

Rossetto, con 17 tavole illustrative, di pag. vin-501. 5 50 
Storia delia gfinnastlca. (V. Ginnastica - Scherma)» 
Storia italiana (Manuale di), di C. Cantù, di p. iv-160. 1 50 

— (Vedi Risorgimento — Storia e cronologia). 
Storia della musica, del Dott. A. Untebsteimeb, di 

pag. 300 (voi. doppio) 3 — 

Storia iiatarale. (Vedi Scienze naturali), 
Stratej^ia. (Vedi Storia dell'arte militare), 
Stramentazione (Manuale di), di E. Prout, trad. itaL 

con note di V. Ricci, con 95 esempi, di pag. x-222. 2 50 

— (Vedi Armonia — Cantante — Pianista), 
Strumenti ad arco (Gli) e la musica da camera, 

del Duca di Caffarelli F., di pag. x-235 . . . . 2 50 

Strumenti metrici. (Vedi Statica), 

Suono (Vedi Luce e suono). 

Sussidi. (Vedi Società Mutuo soccorso). 

Tabacco, del Prof. G. Cantoni, di p. iv-176, con 6 ine 2 — 

Tacheometria. (Vedi Celerimensura), 

Taglio e confezione di biancheria. (V. Disegno). 

TarilTe rerroirlarle. (V. Codice doganale - Trasporti), 

Tartufi e rungrhi. (Vedi Funghi). 

Tasse di rejfistro, bollo, ecc. (Vedi Notare). 

Tassidermista. (Vedi Imbalsamatore — Naturalista 

viaggiatore). 
Tavole loj^arltmiche. (Vedi Logaritmi), 
Tavole tacheometriche. (Vedi Celerim^iMura), 
Tecnica di anatomia microscopica, del Prof. D. 
Cabazzi. di pag. xi-*2ll coTv b w\^\QTÀ. . . . . .V^tì 

Tecnologia e termlaolo|^la moik«ta.T\iL^ ^Q^.^tkS^ 

GHETTI, di pag. xiv-ivy2 » ^ 



Elenco dei Manuali Eoepli, 25 

Teiefooo, di D. V. Piccoli, di pag. iv-120, con 38 ine 2 ~ 
Telegrrafla, di R. FERRINI, di pag. VI-318, con 95 ine. 2 — 
Teleij^rafla marittima. (Vedi AUrezzatura), 
Telemetria, misnra delle disianze lo ifaerra, 

di G. Bertelli, di pag. xiii-145, con 12 zincotipie . 2 — 

— (Vedi Cartografia — Celerimensura — Compensa- 
zioni errori — Disegno topografico). 

Tempera e eemeniazioiie, dell' Ing. Fadda, di pa- 
rine viri-108, con 20 incisioni 2 — 

Terapeutica (Manuale di) l'impiego ipodermico e la 
dosatura dei rimedi del Dott. (3^. Malacrida. (In lav.) 

Termodinamica, di C. Cattaneo, p. x-19tt, con 4 tìg. 1 50 

Terremoti. (Vedi Sismologia — Vulcanismo). 

Tessitura. (Vedi Filatura), 

Testamenti (Manuale dei), per cura del Dott L. Sb- 
rina, di pag. VI-23S 2 50 

Tigfrè-ltaliano (Manuale), con due dizionarietti ita- 
liano-tigre e tigre-italiano ed una cartina dimostrativa 
degli idiomi parlati in Eritrea, del Gap. Manfredo 
Camperio, di pag. 180 250 

— (V. Arabo volgare — Grammatica Galla — Lingue 
dell'Africa), 

Tintore (Manuale del), di R. Lepetit^ 3' ediz., di pa- 
gine x-279, con 14 incisioni (voi. doppio) 4 — 

Tintura della seta, studio chimico tecnico, di T. Pa- 
scal, di pag. xvi-432 5 — 

Tipojgrafla. L — Guida per chi stampa e & stamj^re. 
— (Jompositori e Correttori, Revisori, Autori ed Edi- 
tori, di S. Landi, di pag. 2B0 250 

Topoiprafla. (Vedi Cartografia — Celerimenswra — 
Compensazione errori — Disegna topografico •— Be- 
golo calcolatore — Telemetria), 

Topogrrafla di Roma antica^ di L. BORSARI, con 
illustrazioni. (In lavoro). 

Tornitore meccanico (Guida pratica del), ovvero 
sistema unico per calcoli in g^enerale sulla costruzione 
di viti e ruote dentate, arricchita di oltre 100 pro- 
blemi risolti, di S. Dinaro, di pa^. 164 2 — 

— (Vedi Meccanica — Meccanismi — Operaio\ 
Trasporti, tariffe, reclami ferroviari ed ope- 
razioni doipanali. Manuale pratico ad uso dei com- 
mercianti e privati, cx)lle norme per l'interpretazione 
delle taritfo e disposizioni vigenti, per A. G. Bianchi, 
con una carta delle reti ferroviane italiane^ di pa- 

gìne xvi-ìb'2 ^ — 

Tr»wi metallici eomposil QJLom«kTi\A x«&AsXfò\ìL>àL^ \^ 

dei), di E. 8cHENCK,pagiiiexL-lfièA^^^«Q^^'^^'^*^'^'^^ «x 

por ciuodatura ^^ -«a^^v 

- (Vedi Peso dei metalli — Resisteuxa 6bci maUrvUX^* 



26 Elenco dei Manuali Hoepli. 

L. e 
Trlani^lazloni topograflehe e irÌAii|r«l«cliiiil ea- 

iastaii, delllng:. 0. Jacoanqeli. (In lavoro). 
Trig^onoanetria* (Vedi Geometria metrica). 
Unlià assolute. Dofinizione, Dimonsioiiì, Rappresenta- 

zione, Problemi, delllng. G. Bertoldo, di p. x-124-44. 2 50 
Uva passa (Industria dell*) • della essleaziene delle 

fratta e deffll ertairAT^ Prof. L. Papaerlu. (In lav). 
Valli Lombarde, di SCOLARO. (Vedi Dizion. alpino). 
Valori pobbliel (Manuale per l'apprezzamento dei) e 

per le operazioni di Borsa, Dott F. Piccinelli, di 

pag. XI7-236 2 50 

Veloelpedlsmo, di A. Galante. (Vedi Ciclista). 

Veotllazione. (Vedi Riscaldamento). 

Verbi ipreel aoomall (I), di P. Spagnotti, secondo le 

Grammatiche di Curtius e Inama, di pag. xxiv-107. 1 50 
Vernici, laeehe, mastlel, loehlostrl da stampa, 

eeralaeehe e prodotti aflÌBl (Fabbricazione delle), 

delllng. Ugo Fornari, di pag. vni-262 2 — 

— (Vedi Colori e Vernici). 

Veterloarla. (Vedi Bestiame — Cavallo — Igiene 
veterinaria — Zoonosi). 

VitkggU (Vedi Ciclista — Cristoforo Colombo — Na- 
turalista viaggiatore). 

VIoaeee (Fabbricazione delle). (Vedi Cognac). 

Vino (II), di Grazzi-Soncini, di pag. xvi-152 .... 2 — 

Viticoltura. Precetti ad uso dei Viticoltori italiani, 
del Prof. 0. Ottavi, rived. ed ampliata da A. Strucx^hi, 
3* ediz., di na^. vm-184 e 22 incisioni 2 — 

— (Vedi Analisi del vino — Cantiniere — EnolMia 
— Enologia domestica — Malattie dei vini — Uva 
passa — Vino). 

Vocabolario (Nuovo) della llnipna Italiana, di 
A. Straccali e L. (j^entile. Volume di circa 1400 pa- 
gine. (In lavoro). 

Volapiik (Dizionario italiano-volapùk), preceduto dalle 
Nozioni compendiose di grammatica della lingua, del 

l (Prof. C. Mattei, secondo i i)rincipii dell'inventore M. 
Schleyer, ed a norma del Dizionario Volapiik ad upo 
dei francesi, del Pro£ A. Kerckhoffs, di pae. xxx-196. 2 60 

— (Dizionario volapiik-italiano), del Pro£ 0. Mattei, 

di pag. xx-204 2 50 

— JVlanuale di conversazione e raccolta di vocaboli e 
dialoghi italiani-volapiik, per cura di M. Rosa Tom- 
jtfASi e A. Zambelli, di pag- ^52 . 2 50 

Foluoielrla* (Vedi Analisi volumetriccA. 
Wulemalmmo^ del Capitano Li. QcJi!iTfe.,^^5a^.NTX\r^2^ 

con 28 incisioni .• • T.r^*l •^A^;^ 

- (Vedi Climatologia — Igroscopi - Keteorologva. - 

Sismologia). 



Elenco dei Manuali Hoepli. 27 

L. e. 

Zlneotlpla* (Vedi Arti grafiche). 

Zooloffia, Proff. E. H. GiOLiou e Gt, Cavanna, 3 voi.: 

L Invertebrati, di pag:. 200, con 45 figrure ... 1 50 
n. Vertebrati Parte I, Generalità, Ittiopsidi (Pesci 

ed Anfibi), di pag. rvi-156, con 33 incisioni. . 1 50 
HL Vertebrati. Parte II, Sauropsidi, Terioi)sidi (Ret- 
tili, Uccelli e Mammiferi), p. xvi-200 con 22 ine. 1 50 

— (Vedi Animali parassiti — Batteriologia — Coleot- 
teri italiani — Imbalsamatore — Insetti — Xcpt- 
dotteri — Naturalista viaggiatore — Frotistologta). 

Zoonosi, del Dott. B. Galli Valerio, di pag. xv-227 1 50 

— (Vedi Igiene veterinaria). 
Zootecnia, del Prol Tampelini. (In lavoro). 



INDICE ALFABETICO DEGLI AUTORI. 



Aoqua C. Microscopio. . . pag, 19 
AdUr G. Esercizi di lingua te- 
desca 11 

Adueeo A. Chimica agraria . . 6 
Alry G. B. Gravitazione .... 14 
Alberti F. U bestiame e l'agri- 
coltura. 5 

Albicini. Diritto civtie 8 

Albini G. Fisiologia 11 

Alessandri P. E. Analisi volu- 
metrica 8 

— Infezione, Disinfezione . . 15 

— Farmacista (Manuale del). 11 
Aiiori A. Dizionario eritreo. . 9 

Alci. OUvo ed OUo 20 

Ambrosoli. Numismatica .... 20 

— Letteratura islandese ... 16 
Amezaga. Manuale del Marino 18 
Antilli A. Disegno geometrico. 9 
Arlia C. Dizion. Bibliografico. 9 

Arti praficlte, ecc 4 '. 

Ascltieri F. Geometria proiet- 
tiva dello spazio 18 

— Geometria projettiva del 
piano e della stella 13 

— Geometria descrittiva ... 13 

— Geometria analit. d. piano 13 , 

— Geometrìa analit.d. spazio ] 3 i 
Azzoni. Debito pubblico ita- 
liano 8 ' 

Baccarini P. Malattie crittog. 17 

Bagnoli. Statica 24 

Balfour-Stewart. Fisica 11 

Ball J. Alpi (Le) 2 

Ball R. Stawell. Meccanica . . 18 

Balzani A. Shakspeare 23 

Barpi U. Igiene veterinaria. . 14 
Barti) M. Analisi del vino. . . 3 
Belilo V. Mare (II) 18 

— Cristoforo Colombo 8 

Bellotti 6. Luce e colori. ... 17 
Belluomini G. Cubatura legnami 8 

— Peso dei metalli 21 

— Falegname ed ebanista . . 11 

— Manuale dell'Operaio ... 20 

— Fonditore . . . , 12 

Bonetti J. Meccanica 18 

Bertelli G. Disegno topografico 9 

Bertelli G. Telemetria 25 

Bette! V. Morfologia greca . 19 
Sertolini F. Storia del risorgi- 
mento italiano ^ 

Bertollni G. Unità assolute . . . 2fò 
Beata R, Anatomia e fisiologia 
compArata ^ 



Bettoni. Pisciooltnra . . . pag. 21 
Blagi G. Bibliotecario (Manna- 
ie del) 6 

Bianchi A. G. Trasporti, tariflè, 

reclami, oper. dogan. ... 25 
Bignami-Sormani.Diz. Alpino. . 9 

Book. Igiene privata 14 '. 

Botto C. Disegno (Prino. del). 9 
Bofflbicoi L. Minerai, generale 19 

— Miner. descrittiva 19 

Bonacina. Fotografia d. colori 12 
Bonetti E. Disegno, taglio e 

confezione di biancheria. . 9 
Bonizzì P. Anim. da cort. ... 8 

— Colombi domestici 7 

Borietti F. Celerimensora ... 6 
Borsari L. Roma antica. .... 25 
Boseiii E. Gioiell. e Orefic 13-20 ! 
Brigiuti R. Letterat. egiziana. 16 

Brown. 500 Meccanismi 18 \ 

Bruni F. Tartufi e funghi. 12-24 
Bruni E. Imposte dirette. ... 15 

— Contabilità dello Stato . . 8 

— Catasto italiano 6 

— Codice doganale 6 

— Legislazione rurale. .... 6 

— Ricchezza mobile 22 

Burali-Forti. Logica matematica 17 
Caiiiano C. Soccorsi d'urgenza 28 

— Assistenza infermi 4 

Camperio li. Manuale Tigre- 
Italiano 25 

Canestrini E. Fulm. e paraftilm. 12 
Canestrini Gh Apicoltura .... 3 

— Antropologia 3 

Canestrini G. e R. Batteriologia 5 
Cantamessa F. Alcool (Indu- 
stria e fabbricazione dell'). 2 

Cantoni C. Logica 17 

— Psicologia 22 

Cantoni G. Fisica. 11 

— Tabacco (II) 24 

— Prato (II) 21 

— Frumento e Mais 12 

Cantoni P. Igroscopi, Igrome- 
tri. Umidità atmosferica. . 14 

Cantù C. Storia italiana .... 24 
Capello F. Rettorica 22 

— Stilistica 24 

Cappelletti L. Letterat. spagn. 

e portoghese 16 

^wvuX V^. O^^Vw'^W.^Qx^ 20 

\ — 1Si»\àssio TW«2vft "^^ 



\N 



Indice alfabetico degli autori. 



29 



ali. Scienza di finanze. 23 
sii A. Igiene rurale ... 14 
«udì V. Storia e crono- 

»o e. Dinamica element 8 

rmodinamica 25 

eo G. Embriologia e 

fologia 10 

la G. Zoologia 27 

Ili-Perti A. Macchine agr. 17 
ini S. Malattìe dei vini. 17 
I C. Logismografia ... 17 
oli D. Letterature slave 16 
il A. Ing. navale (Pron- 

rio dell') 15 

ni A. Fonologìa greca . 12 
bo G. Ingegnere civile 

nuale dell') 15 

jttricista (Manuale dell') 10 
mi E. Analisi del vino . 8 
ri'T. Grammatica ital. . 14 
li S. Fonologia latina . 12 
tter atura Norvegìana e 
lese 16 

Giardino infantile ... 18 
ai F. P. Diritto costitu- 

lale 9 

ritto intemaz. privato . 9 
ritto intemaz. pubblico 9 

L. Economia politica . 10 

na I. Alpi (Le) 2 

F. Compensazione degli 

>ri 7 

t. Religione e lingue dei- 
dia inglese 22 

igue d'Africa 17 

az di Prato. Ck)gnac, Vi- 
ce, ecc 7 

ni. Lingue straniere . . 17 
lezaga. Marino militare 

lercantile 18 

un A. Contabilità comu- 

3 7 

iberaatis A. Mitologia 

iparata 19 

tteratura indiana .... 16 
ligione e lìngue dell'In- 

inglese 22 

igue d'Africa 17 

ipo P. Pomologia artific. 21 
irchi L. Meteorologia . . 18 

matologia 6 

iriich. Arabo volga.Te , . 3 
Mddag, Arabo volgare . 3 
relli F. 8trmn. ad arco 24 

F. Pirotecnica 21 



I Dinaro S. Tornitore meccanico 25 

I Dizionari 9-10 

Dowden. Shakspeare 28 

Enciclopedia Universale 10 

Erede u. Geometrìa pratica . 13 
Errerà A. Piccole industrie. . 21 
Fadda. Tempera e cementa- 
zione 25 

Faralli G. Igiene pubblica. . . 14 
Fenini C. Letteratura ital. ... 16 
Ferrari D. Arte (L') del dire ... 4 
Ferrini C. Diritto romano ... 9 

Ferrini C. Il Digesto 8 

Ferrini R. Elettricità 10 

— Elettricista (Manuale dell') 10 

— Energìa fisica. 10 

— Galvanoplastica 12 

— Riscaldamento e ventilaz. 22 
>— Telegrafia 24 

Fiorini C. Omero 20 

Foresti A. Mitologia greca. 
Voi. I Divinità e voi. U Eroi 19 

— Mitologia romana 19 

FomaH U. Vernici e lacche. . 26 

Foster M. Fisiologia 11 

Franceschi G. Cacciatore ... 5 
Franceschini F. Insetti utiU . . 15 

— Insetti nocivi 15 

Friso. Filosofia morale 11 

— Etica 11 

Fumagalli G. Paleografia. ... 20 

— Bibliotecario 5 

Fumi F. G. Sanscrito 23 

Funaro A. Concimi (I) 7 

Gabba L. Chimico (Man. del). 6 

— Seta (Industria della) ... 15 

— Adulterazione e falsifica- 
zione degli alimenti 2 

Gabeisberger. Stenografia ... 24 
Gagliardi E. Interesse e sconto 15 

Galante A. Ciclista 6 

Galassini A. Macchine da cu- 
cire e da ricamare 17 

Galletti E. Geografia 12 

Galli-Valerio B. Zoonosi .... 27 
Gallizia. Resistenza di mater. 22 
Gardenghi G. Società di Mutuo 

Soccorso 23 

Garetti A. Notare (Manuale del) 19 
Garnier- Valletti. Pomologia . . 21 
Garello G. Atlante geografico 
universale 4 

— Atlante geo^^AR.^-^Wcv'yci 
deWltaWa. \ 



'KL 



:«» 



Indice alfabeticv degli autori. 



Garuffa E. Orologeria . . pag, 'JO \ 

- Siderurgia 28 

Gatta L. SiBmologia 28 

Gatta L. Vnlcaniamo 26 

Gautero G. Macchinisti e fuocii. 17 
Geikie A. Geografìa fisica ... 18 

— Geologia. 13 

Gelcich E. Cartografia 6 

— Ottica. 2l» 

Galli J. Dizionario fìiateiico . 

— Ginnastica 13 

— Scherma 28 

Gentile I. Archeologia dell'arte 8 

— Geografia classica 12 

— Storia antica 24 

Gentile L. Vocabolario italiano 26 
Gestro R. Naturalista viaggiat 19 . 

— Imbalsamatore 14 

Gian Paolo Solerlo. Rivoluzione 

(La) francese 23 

Giglioll E. H. Zoologia 27 

Gioppl L. Dizionario fotograf. 9 
Giordani. Proprietario di case 

(Manuale del) 22 ■. 

Giorgetti G. Stenografia .... 24 
Gitti V. Computisteria 7 

— Ragioneria 22 

Gladstone W. E. Omero . . . . 2() 
Gorini G. Colori e vernici. . . 7 

— Concia di pelli 7 

— Conserve alimentari .... 7 

— Metalli preziosi 18 . 

— Olii 20 

— Piante industriali 21 

— Pietre ])rezio8e 21 , 

Gorra E. Lingue neo-latine . . 17 

Grazzi-Soncini. Vino (II) 20 

Griffini A. Coleotteri italiani . 7 

— Lepidotteri italiani 1<» 

Grothe E. Filatura, tessitura. 11 

Grove G. Geografia 12 

Guaita L. Colori e pittura. . . 7 

Hoepli U. Enciclopedia l*' 

Hooker I. D. Botanica 5 

Hugues L. Esercizi geografici 10 
Imperato F. Attrezzatura navi 5 
Inama V. Letterat. greca. ... 16 

— Grammatici }j:reca 14 

— Filologia classica 11 ! 

Issel A. Naturalista viaggiat. 19 
Jacoangeli 0. Triangolazioni 

toftogratiche e catastali. . . 20 i 

Jenkin F. Elettricità 10 ' 

Jevons W, Stanley. Econ. poVi- 
tjca V^ 

— Logica n 



Jones E. Calore (II). . . . pag. 

— Luce e suono 

Kfepert R. Atlante ^ogr. oniv. 

— Esercizi geografici 

Kopp W. Antich. priv. dei Bom. 
Krtthnke G. H. A. Curve (Trac- 
ciamento delle) 

Lami V. Metrica dei Greci e 

dei Romani 

Landi S. Tipografia 

Liinge 0. Letteratura tedesca 

Lepetit R. Tintore 

Lignaroio. Macchinista navale 
Lockyer I. N. Astronomia . . . 
Lombardini A. Anatomia pltt. 
Lombroso C. Grafologia .... 
Loria L. Curve (Trace, delle) . . 

— Macchinista e fuochista. . 
Loris. Diritto ammlnistr. . . . 
Lovera R. Grammatica greca 

moderna 

— Grammatica rumena .... 
liafffloli D. Diritti e doveri . . 

— Scritture d'affari 

Maggi L. Protistologia 

Malacrida G. Materia medica. 

— Terapeutica 

Malfatti B. Etnografia 

Manettì L. Caseificio 

Mantovani G. Psicologia fisio- 
logica 

M arazza E. Corpi grassi. . . . 

— Industria stearica 

— Saponeria 

Marcel. Lingue straniere . . . 
Marcillac F. Letteratura frane. 
Marciliac P. Ingegnere civile. 
Mastrigii L. Cantante 

Mattel C." Voiap'tik (Dizion.y. ! 

Mazzoccolo. Legge (La nuova) 

comunale e prov, annotata 

Melani A. Scoltura italiana . . 

— Architettura italiana . . . 

— Pittura italiana 

— Decoraz. e ind. artistiche 
Mercanti F. Animali parassiti 
Molina R. Tisplodenti e il modo 

di fal)l>ricarli 

Moreschi N. Antichità private 

dei Romani 

Muflone G. Fotografia 

MUller L. Metrica dei Greci e 

^.e\ "Suoxaa.xà , . , 

WAVw ^. \ì0^^.tSX.\o1 



6 

17 

4 

10 
8 

8 

18 
85 
16 
25 
17 

4 

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18 

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8 

14 
14 

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15 
6 
21 
26 

15 

23 

8 

21 
8 
8 

li 



8 



Indice alfabetico degli autori. 



29 



Carnevali. Scienza di finanze. 23 
Carraroii A. Igiene rurale ... 14 
Catagrandi V. Storia e crono- 
logia 24 

Cattaneo C. Dinamica element. 8 

— Termodinamica 25 

Cattaneo G. Embriologia e 

morfologia 10 

Cavanna G. Zoologia ...... 27 

Cencelli- Parti A. Macchine agr. 17 
Cettoiini S. Malattie dei vini . 17 
Chiesa C. Logismografia ... 17 
Ciampoli D. Letterature slave 16 
Cignoni A. Ing. navale (Pron- 
tuario dell') 15 

Cinquini A. Fonologìa greca . 12 
Colombo G. Ingegnere civile 
(Manuale deU') 15 

— Elettricista (Manuale dell') 10 
Comboni E. Analisi del vino. 8 
Concari 'T. Grammatica ital. . 14 
Consoli S. Fonologia latina . 12 

— Letteratura Norvegiana e 
jDanese 16 

Conti. Giardino infantÙe ! ! . 18 
Contuzzi F. P. Diritto costitu- 
zionale 9 

— Diritto intemaz. privato . 9 

— Diritto intemaz. pubblico 9 
Cossa L. Economia politica . 10 

Cremona I. Alpi (Le) 2 

erotti F. Compensazione degli 

errori 7 

Cust R. Religione e lingue del- 
l'India inglese 22 

— Lingue d'Africa 17 

Dai Piaz di Prato. Ck)gnac, Vi- 
nacce, ecc 7 

Damiani. Lingue straniere . . 17 

De Amezaga. Marino militare 
e mercantile 18 

De Brun A. Contabilità comu- 
nale 7 

De Gubematis A. Mitologia 
comparata 19 

— Letteratura indiana .... 16 

— Religione e lingue dell'In- 
dia inglese 22 

— Lingue d'Africa 17 

Dei Lupo P. Pomologia artific. 21 
De Rlarchi L Meteorologia . . 18 

— Climatologia 6 

De SteriJch. Arabo volgare . . 8 

Dib Khaddag. Arabo volgare . 8 

DlCaffarelU F. Strum. ad arco 24 

DI Malo F, Pirotecnica 21 



\ 



Dinaro S. Tornitore meccanico 25 

Dizionari 9-10 

Dowden. Shakspeare 23 

Enciclopedia Universale 10 

Erede G. Geometria pratica . 13 
Errerà A. Piccole industrie. . 21 
Fadda. Tempera e cementa- 
zione 25 

Faralli G. Igiene pubblica. . . 14 
Fenini C. Letteratura ital. ... 16 
Ferrari D. Arte (L') del dire ... 4 
Ferrini C. Diritto romano ... 9 

Ferrini C. n Digesto 8 

Ferrini R. Elettricità 10 

— Elettricista (Manuale dell') 10 

— Energia fisica 10 

— Galvanoplastica 12 

— Riscaldamento e ventilaz. 22 

.— Telegrafia 24 

Roriiii C. Omero 20 

Foresti A. Mitologia greca. 

VoL I Divinità e voi. U Eroi 19 

— Mitologia romana. 19 

Fomari U. Vernici e lacche. . 26 

Foster M. Fisiologia 11 

Franceschi G. Cacciatore ... 5 
Francescliini F. Insetti utiU . . 15 

— Insetti nocivi 15 

Friso. Filosofia morale 11 

— Etica 11 

Fumagalli G. Paleografia. ... 20 

— Bibliotecario 5 

Fumi F. G. Sanscrito 23 

Funaro A. Concimi (I) 7 

Gabba L. Chimico (Man. del). 6 

— Seta (Industria della) ... 15 

— Adulterazione e falsifica- 
zione degli alimenti 2 

Gabeisberger. Stenografia ... 24 
Gagliardi E. Interesse e sconto 15 

Galante A. Ciclista 6 

Galassini A. Macchine da cu- 
cire e da ricamare 17 

Galletti E. Geografia 12 

Galli-Valerio B. Zoonosi .... 27 
Gallizia. Resistenza di mater. 22 
Gardengiii G. Società di Mutuo 

Soccorso 23 

Garetti A. Notaro (Mannaie del) 19 
Gamier-Valletti. Pomologia . . 21 
G arollo G. Atlante geografico 
universale ^ 

àftWltAYva. \ 



32 



Indice alfabetico degli autori. 



Tacchini A. Metrologia.. 1X^.18-22 
Tamaro D. Frntticortara . ... 12 

— Gelsiooltnra 12 

— OrUcoltnra 20 

Tampelini. Zootecnia 27 

TcMaroll M. Stenografia. ... 24 
Thompson E. IH. Paleografia . 20 
Tioli L. Acque minerali e onre 2 
Tommasi M. R. Mannaie di con- 

verBazioneitalìano-volapùk 26 

Toniazzo G. La Grecia 14 

Tozer H. F. Geografia classica 12 
Trambusti A. Igiene del lavoro 14 
Trevisani G. Pollicoltura .... 21 
Tribolati F. Araldica (Gram- 
matica) 3 

Untersteiner.Stor. della musica 24 
Valletti. Ginnastica fem 13 



Valletti, 
etica 



Storia della 



gmna- 

pag. 13 

Valmaggl. Grammatica latina. 14 
Vidari E. Mandato commerc. . 18 

Virgilil F. Statistica 24 

Viterbo E. Grammali a e Di- 

Eion. dei Galla (Oi m nica) 14 
Volpini. Cavallo. ... ... 6 

— Dizionario delle ' ■ t . .8-10 
Wolf R. Malattie crit' '^vaniche 17 
Zambelli A. Mannaie di con- 

versaz. italiano-volapiik . . 26 

Zdeicauer. Diplomatica 8 

Zigàny-Arpéd. Letteratura nn- 

giierese 16 

Zopf W. Malattie crittogam. . 17 
Zoppetti V. Arte mineraria . . 4^ 

— Siderurgia 21 



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146 



Capitoln TV. — S 9 



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